Внеклассное занятие по математике "Мир математики"

Цели внеклассного занятия:

1. Формирование и развитие представлений учащихся о математических объектах и математических понятиях, об их роли в отражении реальных объектов и явлений.
   
2. Формирование и развитие представлений о математическом языке.
   
3. Расширение математического кругозора учащихся.
   
4. Развитие мышления, речи учащихся.
   
5. Развитие интереса учащихся к изучению математики.
   
6. Развитие интеллектуальных способностей учащихся.
   
7. Воспитание доброжелательности, уверенности в общении, справедливости друг к другу при работе.
   

Задачи внеклассного занятия:

1. Рассмотреть практическое применение математических знаний в современном мире.
   
2. Познакомиться с историей возникновения математики.
   
3. Рассказать о числах, которые имеют названия и имена.
   
4. Дать информацию о видах кривых, которые не изучаются в школьном курсе математики.
   
5. Сравнить изображения геометрических фигур и объектов с действительностью.
   

Формируемые умения:

1. Умение применять полученные знания в практической деятельности.
   
2. Формирование умения проведения математических рассуждений.
   
3. Умение использовать математический язык.
   
4. Умение использовать свои интеллектуальные способности.
   
5. Формирование информационно-коммуникационной компетентности учащихся.

Формы организации работы учащихся: фронтальная, групповая.

Формы организации работы учителя: руководящая, организационная, координирующая.

Технические условия: мультимедийный кабинет.

Используемое оборудование: компьютер, проектор, экран, CD-носитель.

Дополнительный материал:

Приложение 1: презентация «Удивительный мир чисел».
Приложение 2: презентация «Замечательные кривые».
Приложение 3: презентация «Занимательный мир геометрии».
Приложение 4: Интеллектуальный мини-турнир.

Ход занятия.

Учитель: «Что дала математика людям? Зачем её изучать? Когда она зародилась, что явилось причиной её возникновения? Что интересного в математике? С какими науками она связана?»

Немного истории.

( Учитель рассказывает о возникновении математики, об ученых-математиках и показывает их портреты)

Математика со времени её зарождения как науки и много раньше была тесно связана не только с цивилизацией, с практикой, но и со всей общечеловеческой культурой – со всем миром. И математические теории, и методы открывались, создавались конкретными личностями, математиками, жизнь и судьба которых, интересная и насыщенная, поучительная и порой трагическая, неотделима от исторической эпохи, в которую они творили.

В истории науки принято называть первым математиком Фалеса из города
Милет – греческого купца, путешественника и философа (VII в.до.н.э.). Конечно, существуют более ранние египетские и вавилонские источники, содержащие разнообразные арифметические и геометрические сведения, но в них нет даже намётка на доказательства. Фалесу же приписывают первые математические теоремы (Диаметр делит круг пополам, теоремы о равенстве вертикальных углов, о равенстве углов при основании равнобедренного треугольника и т. д.). Он сделал ряд открытий в области астрономии, установил время равноденствий и солнцестояний, определил продолжительность года. Фалес был причислен к группе «семи мудрецов».

Евклид (III в. до н.э.) – древнегреческий математик, автор труда «Начала» в 13 книгах, в котором изложены основы геометрии, теории чисел, метод определения площадей и объёмов. Он самоотверженно любил науку и никогда не допускал неискренности. Однажды царь обратился к нему с вопросом, нет ли более краткого пути для познания его трудов. На что он гордо ответил, что «в математике нет царской дороги». В истории Западного мира его книга после Библии издавалась наибольшее число раз и более всего изучалась.

Пифагор (VI в.до н.э.) – древнегреческий филосов и математик, основатель пифагорейской школы, преобразовал математику из собрания формул и рецептов в абстрактную дедуктивную науку; ему приписывают изучение свойств целых чисел и пропорций, доказательство теоремы о соотношении сторон прямоугольного треугольника. По легенде, в честь открытия своей знаменитой теоремы о катетах и гипотенузе, учёный принёс в жертву 100 быков. Но позже выяснилось, что эта теорема была известна ещё древним шумерам. На сегодняшний день известно около 150 доказательств этой теоремы.

В прежние времена, вплоть до конца XIX в., математикой занимались немногие, но каждый, кто занимался этой наукой, внёс вклад в её развитие.

Р.Декарт (1596-1650) – французский филосов и математик, заложил основы аналитической геометрии, дал понятия переменной величины и функции, ввёл многие алгебраические обозначения.

Ф.Виет (1540-1603) – французский математик, ввёл в алгебру буквенные обозначения и построил первое буквенное исчисление, до него в математике не было формул.

Г.В.Лейбниц (1646-1716) – немецкий философ, математик и физик, один из создателей дифференциального и интегрального исчислений.

Л.Эйлер (1707-1783) – швейцарский математик, физик, астроном, работал в России и Германии. Эйлер внёс вклад в теорию чисел, геометрию, математический анализ, вывел теорему о связи рёбер, вершин и граней многогранника. Эйлер внёс большой вклад в топологию-раздел геометрии, который изучает свойства фигуры, не меняющейся при непрерывных деформациях.

П.Л.Чебышев (1821-1894) – русский математик, основатель петербургской научной школы, внёс вклад в теорию вероятностей, проводил разнообразные прикладные исследования в теории механизмов.

«Математика – наука великая, замечательнейший продукт одной из благороднейших способностей человеческого разума».

Удивительный мир чисел.

( Презентация 1 «Удивительный мир чисел». В ходе рассказа учителя о числах, которые имеют названия и обладают какими-то свойствами, учащиеся рассматривают эти числа, их свойства и могут назвать свои числа или продолжить ряд чисел).

Две стихии господствуют в математике – числа и фигуры с их бесконечным многообразием свойств и взаимосвязей.
(Слайд № 1)

«Мысль выражать числа десятью знаками настолько простая, что трудно понять, насколько она удивительна».

Вся математика начинается с «природных» чисел, т.е. натуральных, да и в любой другой науке без натуральных чисел не обойтись. Первыми записями чисел можно считать зарубки на деревянных бирках или костях, а позднее – чёрточки. (Слайд № 2) Первые иероглифы, обозначавшие числа, появились в Древнем Египте около 5000 лет назад. Из Древнего Рима до нашего времени дошли числа Ι-1, V-5, X-10, C-100, D-500, M-1000. Современная запись натуральных чисел впервые появилась в Индии в VI в. Через арабов, завоевавших через век обширные районы Средиземноморья и Азии, индийская нумерация получила широкое распространение (отсюда и название – арабские цифры). Цифры выглядели так:

«Число – это закон и связь мира, сила, царящая над богами и смертными», «Сущность вещей есть число, которое вносит во всё единство и гармонию», «Всё есть число» - вот такие положения проповедовали древнегреческий математик Пифагор и его ученики-пифагорейцы.

У некоторых чисел есть названия и даже имена.

1. (Слайд № 3). Фигурные числа.
   Треугольные числа: 1,3,6,10,15,21,28,36,…
   (1, 3=1+2, 6=1+2+3, 10=1+2+3+4 и т.д.).
   Квадратные числа: 1,4,9,16,25,36,…, т.е.квадраты натуральных чисел.
   
2. (Слайд № 4). Совершенные числа: 6,28,496,8128,…
   Это числа, которые равны сумме своих делителей.
   
3. (Слайд № 5). Обращённое число – число, записанное теми же цифрами, но в обратном порядке.
   Например: 5204 и 4025.
   
4. (Слайд № 6). Палиндромическое число – равное обращённому. Например: 121, 5995, 66,…
   
5. (Слайд № 7). Дружественные числа – пара чисел, обладающих свойством: сумма делителей первого числа равна второму числу, а сумма делителей второго числа равна первому числу. Например: 220 и 284,
   1184 и 1210, …
   
6. (Слайд № 8). Числа Фибоначчи: 1,2,3,5,8,13,21,… (каждое последующее число, начиная с третьего, равно сумме двух предыдущих чисел).
   
7. (Слайд № 9). Число Архимеда – число π ≈ 22/7.
   Школьники знают это число как число, выражающее отношение длины окружности к её диаметру. π – первая буква слова «периферия» (от греч. «окружность»). Общеупотребительным такое обозначение стало с середины XVIIIв. Число выражается бесконечной непериодической десятичной дробью и приближённо равно 3,141592653589…
   В глубокой древности считалось, что окружность ровно в три раза длиннее диаметра, т.е. первым приближением числа π было 3. Однако уже во II тысячелетии до н.э. математики Древнего Египта находили более точное отношение для числа π=(16/9)2 , в десятичном приближении это 3,16.
   С VI в. до н.э. математическая наука стремительно развивалась в Древней Греции. Именно древнегреческие геометры строго доказали, что длина окружности пропорциональна её диаметру. Эти доказательства приписывают Евдоксу Книдскому и Архимеду. Удваивая число сторон правильных вписанных и описанных многоугольников, Архимед получал всё более и более точное значение числа π.
   На теории Архимеда строили свои выводы и доказательства Ф.Виет, Л.Эйлер, Х.Гюйгенс, Г.В.Лейбниц, И.Ламберт, которые занимались вычислением этого числа. В настоящее время с помощью ЭВМ число π вычислено с миллионами правильных знаков после запятой.
   
8. (Слайд № 10). Неперово число – число е ≈ 2,7182818…
   Это основание натурального логарифма logе х=lnx и названо в честь шотландского математика Д.Непера, изобретателя логарифмов(1614 г.). Но обозначение этого числа ввёл Л.Эйлер в 1736г., который вычислял пределы последовательностей. Поэтому число е ещё называют эйлеровым числом, которое нашло широкое применение в высшей математике.
   

Замечательные кривые.

( Презентация 2 «Замечательные кривые»)

(Слайд № 1) «Математика выявляет порядок, симметрию и определённость,
а это – важнейшие виды прекрасного»

Замечательные геометрические объекты – кривые линии привлекают внимание изяществом своей формы и многими удивительными свойствами.

1. (Слайд № 2) Спираль Архимеда.
   Безобидная воронка, образованная вытекающей из ванны водой; свирепый смерч, опустошающий всё на своём пути; величественный круговорот гигантского космического вихря туманностей и галактик – все они имеют форму спиралей.
   Одну из первых спиралей, описанную Архимедом, нам продемонстрирует светлячок. Отправим его в путешествие вдоль секундной стрелки часов, полагая, что он будет перемещаться с постоянной скоростью, не обращая внимания на равномерное движение стрелки часов по кругу. Если вообразить бесконечно длинную стрелку, то жучок высветит нам спираль Архимеда, которая описывается уравнением r = kφ, где r- расстояние, пройденное светлячком; φ- угол, на который при этом сместится стрелка; k- коэффициент пропорциональности.
   По спирали Архимеда идёт на грампластинке звуковая дорожка.
   Металлическая пластинка с профилем в виде половины витка архимедовой спирали часто используется в конденсаторе переменной ёмкости.
   Одна из деталей швейной машины – механизм для равномерного наматывания ниток на шпульку – имеет форму спирали Архимеда.
   
2. (Слайд № 3) Логарифмическая спираль.
   Рассмотрим ещё одну удивительную спираль, которую на сей раз нарисуют три светлячка. Пусть находящиеся друг от друга на равном удалении, т.е. в вершинах правильного треугольника, жучки А, В и С решили познакомиться друг с другом. А направился прямиком к В, В – к С, С – к А. Путешествуя с постоянной скоростью, в любой момент времени светлячки будут располагаться в вершинах правильного треугольника, подобного исходному. Каждый светлячок при этом очертит дугу логарифмической спирали.
   Логарифмическая спираль задаётся уравнением r = kφ . Впервые о ней говорится в одном из писем Р.Декарта в 1638 году.
   Увидеть логарифмическую спираль можно в витках раковины. Семена в корзине подсолнуха располагаются по кривым, близким к дугам логарифмической спирали. Вращающиеся ножи в режущих устройствах имеют профиль, очерченный по логарифми-ческой спирали. Трубу, подводящую струю воды к лопастям турбинного колеса на гидроэлектростанции, также следует заворачивать по логарифмической спирали. Тогда потери энергии движущейся воды будут минимальными.
   
3. (Слайд № 4) Клофоида или спираль Корню.
   (от греч. «клофо» - «прясть»)
   Спираль Корню названа по имени французского физика А.Корню, применившего её в 1874 году для описания дифракции света. Она описывается уравнением R=k/S, где R- радиус соприкасающейся окружности в точке кривой, S- расстояние, k- постоянная.
   Ещё при строительстве первых железных дорог проектировщики столкнулись с проблемой: если прямой участок железнодорожного полотна сразу переходит в круговой, то не только пассажиры, но и все механические части получат резкий толчок. Чтобы избежать нежелательной встряски, между прямыми и круговыми участками железнодорожного пути устраивают так называемые переходные линии с плавным изменением кривизны в виде спирали Корню.
   
4. (Слайд № 5) Кардиоида.(от греч. «кардиа» - «сердце»). Кардиоида является одной из улиток Паскаля, названного в честь французского математика Э.Паскаля, который впервые рассмотрел и изучил этот класс кривых. Понаблюдаем за какой-нибудь точкой окружности, когда последняя катится по внешней стороне неподвижной окружности равного радиуса. Траекторией точки будет кардиоида. Она отдалённо напоминает форму сердца.
   В технике эта кривая часто используется для устройства кулачковых механизмов.
   
5. (Слайд № 6) Циклоида. (от греч. – «кругообразный»).
   Впервые исследования циклоиды проводил итальянский физик и астроном Г.Галилей. Циклоида – кривая, которую описывает точка окружности, катящейся без скольжения по некоторой прямой в той же плоскости.
   У циклоиды много любопытнейших свойств. Циклоида является кривой наибыстрейшего спуска. Иначе говоря, скатываясь по снежной горке, профиль которой выполнен в виде циклоиды, мы окажемся у основания горки быстрее, чем в случае другой формы горки. Циклоида является такой кривой, по которой должна двигаться тяжёлая материальная точка, чтобы период её колебаний не зависел от амплитуды колебаний. Используя это свойство, Х.Гюйгенс сконструировал первые часы с маятником.
   Замечательных кривых много (Трактриса, гипоциклоида, циссоида Диоклес, конхоида Никомеда, овалы Кассини, директриса, квадратриса, дельтоида, трохоида и т.д.). Все они нашли своё отражение в природе и применяются в практической деятельности человека.
   

Занимательный мир геометрии.

( Презентация 3 «Занимательный мир геометрии»). (Слайд № 1) «Геометрия является самым могущественным средством для изощрения наших умственных способностей и даёт нам возможность правильно мыслить и рассуждать».

Однажды один из учеников сказал, что геометрические теоремы надо доказывать чертежами. «Посмотришь на чертёж, и сразу видно, что теорема верна. Глаз не обманет», - говорил он. Может быть многие из вас тоже так думают. Ну что ж, давайте проверим, может ли чертёж ввести вас в заблуждение, или нет.

( Слайды № 2,3,4,5,6,7). (Ученики должны внимательно рассмотреть представленные учителем чертежи и рисунки на слайдах и ответить на вопросы).

«Я думаю, что никогда до настоящего времени мы не жили в такой геометрический период. Всё вокруг – геометрия».

Математика в современном мире.

Последние три столетия дали науке ряд блестящих математических результатов: решены три классические задачи древности, над которыми трудились учёные в течение четырёх тысячелетий(квадратура круга, трисекция угла, квадратура куба), построены новые математические науки, позволившие открыть неизвестные ранее объекты математического познания, достигнута огромная гибкость математических понятий и методов исследования, способных охватить всё многообразие проблем естествознания, технических и социальных дисциплин.

Жизнь не остаётся на месте, появляются новые проблемы, необходимость их решения. Математика не остаётся к этому безучастной. Нередко при этом оказывается, что разработанных ранее методов недостаточно и требуются новые приёмы исследования, новые методы.

Для прогресса математики в наше время имеются достаточно серьёзные основания, поскольку человечество перешло в новую фазу развития естественных наук и серьёзного обновления инженерной мысли. К науке предъявили свои требования новые области исследований и практической деятельности – электронная оптика, овладение космическим пространством, использование и изучение атомных процессов, прогресс и эксплуатация электронной вычислительной и информационной техники.

Несомненно, что и в будущем математические методы будут всё более расширять поле своих применений, а прикладная математика включать в себя всё новые и новые ветви теоретической математики.

Великих гениев творенье,
Царица всех наук земных,
Ты вызываешь восхищенье
Любимых подданных твоих!
Ты всем наукам помогаешь
Сбирать бесценные дары
И вместе с ними пролагаешь
Пути в далёкие миры!

Интеллектуальный мини-турнир.

Приложение

(Учащиеся делятся на группы по 3-4 человека. Группы получают карточки с заданиями, в которых необходимо из трёх предложенных ответов на вопрос выбрать один).

1.По мнению Л.Н.Толстого, каждый человек подобен дроби. Числитель дроби – это то, что человек собой представляет. А что представляет, по мнению писателя, знаменатель этой дроби?

А). То, как этот человек выглядит.
Б). То, что он о себе думает.
В). То, что про него думают другие.

2. Виктор Гюго заметил однажды, что разум человеческий владеет тремя ключами, позволяющими людям знать, думать, мечтать. Выберите, какие это, по вашему мнению, ключи?

А). Красота, разум, истина.
Б). Цвет, звук, мысль.
В). Буква, цифра, нота.

3. Над входом в Академию Платона было написано: «Да не войдёт в Академию не знающий…». Выберите верное слово, заканчивающее фразу.

А). Геометрии.
Б). Дружбы.
В). Истины.

4. Пифагор является одной из наиболее интересных личностей в истории. Он основал религию, которая нашла свое воплощение в особом религиозном ордене. Выберите из представленных вариантов предписание, которое действительно являлось предписанием пифагорейского ордена.

А). Не плюй в колодец.
Б). Не подставляй ногу.
В). Не откусывай от целой булки.

5. Великий ученый Альберт Эйнштейн говорил так: «Мне приходится делить время между политикой и некоторым предметом. Однако некоторый предмет, по-моему, гораздо важнее. Политика существует только для данного момента, а этот предмет будет существовать вечно». Ответьте на вопрос, между чем Эйнштейну приходилось делить время?

А). Между политикой и книгой.
Б). Между политикой и физикой.
В). Между политикой и уравнениями.