Элективный курс "Геометрия вокруг нас"

Тематическое планирование

1.1. Актуализация знаний

Краткое содержание курса (см. Приложение). Первое занятие курса можно начинать с аукциона: 1) прямые; 2) треугольники; 3) четырехугольники. Ученик проговаривает определения, теоремы, свойства по теме. Выигрывает тот, кто скажет последнее утверждение. Повторяют всю теоретическую часть геометрии 7–8-го класса. Затем проводится тест-контроль. Тест проверяют сами учащиеся на этом же занятии. В результате анализа ответов учащиеся должны получить представление об уровне собственных знаний по геометрии.

Тесты:

Часть А

1. Определите катет РН треугольника РНО, если О = 60°, гипотенуза равна 8 см.

1) 43

2) 42

3) 4

4) 16

2. Диагонали прямоугольника АВСД пересекаются в точке М. Известно, что МАД = 40° . Найдите ВДС.

1) 40°

2) 50°

3) 80°

4) 100°

3. Треугольник ДСЕ – равнобедренный с основанием ДЕ, Д = 30° .Найдите С.

1) 30°

2) 60°

3) 120°

4) 150°

4. Найдите площадь треугольника РКТ, если КН = 12м, PT=16м, PK=15, KT=9

1) 20

2) 96м2

3)150 м2

4) 300 м2

5. Сторона АВ параллелограмма АВСД равна 6 см, а его диагонали равны 8см и 12см и пересекаются в точке М. Найдите периметр треугольника СДМ.

1) 10

2) 16

3) 20

4) 26см

6. АВСД – трапеция. Найдите среднюю линию трапеции МК, если основании 7 и 8 см.

1) 11

2) 7,5

3) 14

4) 22

7. Площадь ромба с диагоналями 4 и 8 см равна

1) 12

2) 16

3) 32

4) 40

8.Окружность с центром О описана около треугольника АВС. Известно, что точка О лежит внутри треугольника, причем ОАС = 50° . Найдите угол АВС.

1) 40°

2) 70°

3) 100°

4)140°

Часть В

1. Прямые a и b параллельны, с – секущая

1 = 135° . Чему равны все остальные углы?

2. В треугольнике МРК высота РН делит сторону МК на отрезки МН и НК. Найдите длину отрезка МН, если МР = 10 см, РН = 6 см.

3. АВ – диаметр окружности, точка К лежит на окружности, АВК = 50° . Найдите ВАК.

4. Две окружности с центрами в точках О и К и равными радиусами пересекаются в точках А и В. Определите вид четырехугольника АОВК.

5. К окружности с центром О проведена касательная АВ, А – точка касания. Найдите радиус окружности, если АВ = 4, ОВ = 5.

1.2. Час одной задачи

Решение задач различными способами представляет большие возможности для совершенствования обучения геометрии. Систематическая, планомерная работа учителя в привитии учащимися навыков в отыскании различных способов решения задач способствует развитию приемов логического поиска, который, в свою очередь, развивает исследовательские способности.

В равнобедренном треугольнике основание равно 16 см, боковая сторона – 10 см. Вычислите радиусы вписанной и описанной окружности треугольника.

Способ 1. Используя свойство радиуса окружности, проведенного в точку касания, рассмотреть подобие треугольников.

Способ 2. r = S/p

Способ 3. Учесть, что отрезок АО₁ – биссектриса треугольника АМВ, и потому (ВМ – r) : r = AB : АМ. Радиус описанной окружности также можно найти различными способами.

1.3. Задача ал-Караджи.

Найти площадь прямоугольника, основание которого вдвое больше высоты, а площадь численно равна периметру.

Задача Евклида

Разделите угол в 90° на три равные части с помощью циркуля и линейки. Знакомства с понятием трисектриса угла.

Самостоятельная работа

1. Поле имеет форму прямоугольника с основанием 250 м и высотой 100 м. Через поле под прямым углом к основанию проходит дорога шириной 5 м. Найдите посевную площадь поля.

2. Для снабжения водой двух селений А и В, расположенных по одну сторону канала, требуется построить на берегу канала водонапорную башню. Где ее нужно расположить, чтобы она была на равных расстояниях от А и от В?

3. На полевом стане требуется установить фонарь так, чтобы он одинаково освещал три объекта, не лежащие на одной прямой. Как выбрать место установки фонаря?

4. Пруд имеет форму квадрата. В вершинах его растут 4 дерева. Как можно увеличить вдвое площадь пруда, сохранив его форму, не уничтожая и не затопляя деревья?

5. В землеустроительной практике иногда нужно разделить участок треугольной формы на три равновеликих трапеции, так как такая форма удобнее для механизированной обработки. Как это сделать?

6. Впервые длину радиуса Земли нашел древнегреческий ученый Эратосфен. Он узнал: когда в городе А солнце находится в зените, в городе В, с находящемся с А на одном меридиане, солнечные лучи образует с отвесной прямой угол величины . Оценив по времени движения каравана расстояние от А до В (800 км), он вычислил радиус Земли. Какое значение у него получилось?

2.1. Геометрия в лесу

Здесь нам поможет очень интересная книга “Занимательная геометрия” (автор Кордемский Б.В.).

Определение высоты предмета.

Самый легкий самый древний способ – без сомнения, тот, который греческий мудрец Фалес за 6 веков до нашей эры определил в Египте высоту пирамиды. Он воспользовался

его тенью. Фараон и жрецы, собравшиеся у подножия высочайшей пирамиды, озадаченно смотрели на северного пришельца, отгадывавшего по тени высоту огромного сооружения. Фалес избрал день и час, когда длина собственной его тени равнялась его росту. Заключенные в ней истины, известные теперь каждому школьнику, не были еще открыты в эпоху Фалеса. А чтобы воспользоваться тенью для решения задачи о высоте пирамиды, надо было знать уже некоторые геометрические свойства треугольника:

1) что углы при основании равнобедренного треугольника равны и обратно – что стороны, лежащие против равных углов, равны между собой;

2) что сумма углов всякого треугольника равна двум прямым углам.

Есть и другие способы решения этой задачи.

А) Можно пользоваться любой тенью, какой бы длины она ни была. Измерив, кроме того, и свою тень или тень какого-нибудь

шеста, мы можем вычислить высоту из пропорции (Рис. 1)

АВ : МК = ВС : КТ

В) С помощью прибора, который легко изготовить из дощечки и трех булавок. На дощечке намечают три точки – вершины равнобедренного прямоугольного треугольника – и в них втыкают торчком по булавке. (Рис. 2)

Отойдите от измеряемого дерева, держа прибор так, чтобы один из катетов треугольника был направлен отвесно, для чего можете пользоваться ниточкой с грузчиком, привязанной к верхней булавке. Приближаясь к дереву или удаляясь от него, всегда найдете такое место Т, из которого, глядя на булавки А и С, увидите, что они покрывают верхушку Д дерева: это значит, что продолжение гипотенузы АС проходит через точку Д. Так как АВ = ВС, то АЕ = ЕД. Измерив АЕ или от точки Т до основания дерева, мы находим его высоту. (Рис. 4)

С) По другому способу можно обойтись даже и без булавочного прибора. Здесь нужен шест, который вам придется воткнуть отвесно в землю так, чтобы лежа, как показано на рисунке, вы видели верхушку дерева. Аналогично находим высоту предмета. Такой способ измерения высоких предметов картинно описан у Жюля Верна в романе "Таинственный остров". (Рис. 3)

Практическая работа.

Измерить высоту дерева, ели перед школой, водонапорной башни. Найти еще несколько способов измерения высоты предмета. Как с помощью зеркала измерить высоту?

2.2. Геометрия у реки

1. Измерение ширины реки.

Не переплывая реки, измерить ее ширину так же просто для знающего геометрию, как определить высоту дерева, не взбираясь на вершину. Недоступное расстояние измеряют теми же приемами, какими мы измеряли недоступную высоту. В обоих случаях определение искомого расстояния заменяется определением другого расстояния, легко поддающегося непосредственному измерению.

Задача: Определить расстояние до пешехода, идущего по другому берегу реки.

Решение: Простейший "дальномер" можно изготовить из спички. Для этого нужно лишь нанести на одной из ее граней миллиметровые деления. Держа ее в своей вытянутой руке и глядя одним глазом, вы приводите свободный ее конец в совпадение с верхней частью отдаленной фигуры. Затем, медленно двигая по спичке ноготь большого пальца, останавливаете его у той ее точки, которая проектируется на основании человеческой фигуры.

Расстояние до человека / расстояние от глаза до спички = средний рост человека / измеренная часть спички

Отсюда нетрудно вычислить искомое расстояние.

2. Определение скорости течения реки.

Лабораторная работа

Измерения выполняют два человека. У одного в руках часы, у другого – любой хорошо заметный поплавок, например закупоренная полупустая бутылка с флажком. Выбирают прямолинейный участок реки и ставят вдоль берега две вехи на расстоянии, например, 10 м одну от другой. После нескольких измерений вычисляют среднюю скорость течения реки поверхностного слоя.

2.3. Геометрия в дороге

1. Искусства мерить шагами

Практическая работа

Измерить среднюю длину своего шага, узнать скорость своей ходьбы.

2. Глазомер

Соревнования на проверку глазомера

Сколько шагов до ближайшего фонаря, до какого – либо предмета?

Глазомерному определению расстояний много внимания уделяют военные: хороший глазомер необходим разведчику, стрелку, артиллеристу.

3. Угол зрения – расстояние между двумя прямыми линиями, проведенными к нашему глазу от крайних точек рассматриваемого предмета.

Задача: Измерить, под каким углом зрения видим мы ноготь указательного пальца своей вытянутой вперед руки.

Решение. Обычная ширина ногтя – 1 см, а расстояние его от глаза в таком положении – около 57 см, поэтому мы видим его примерно под углом в 1°.

4. Острота зрения.

Как можно измерить остроту зрения?

Практическая работа.

Начертите на листе бумаги 20 равных черных линий длиной в спичку (5 см) и в миллиметр толщины так, чтобы они заполняли квадрат. Прикрепив этот чертеж на хорошо освещенной стене, отходите от него до тех пор, пока не заметите, что линии уже не различаются раздельно, а сливаются в сплошной серый фон. Измерьте это расстояние и вычислите – вы уже знаете как – угол зрения, под которым вы перестаете различать полоски в 1 мм толщины. Если этот угол равен одной минуте, то острота вашего зрения нормальная; если трем минутам – острота составляет 1/3 нормальной, и т. д.

Задача. Линии сливаются для вашего глаза на расстоянии 2 м. Нормальная ли острота вашего зрения?

Решение. Мы знаем, что с расстояния 57 мм полоска в 1 мм ширины видна под углом 1°, т. е. 60 минут. Следовательно, с расстояния 2000 мм она видна под углом Х, который определяется из пропорции

Х : 60 = 57 : 2000,

Х 1,7 Острота зрения ниже нормальной и составляет 1 : 1.7 0,6

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

1. Две доступные точки А и В разделены препятствием. Найдите расстояние между ними, пользуясь одним из признаков параллелограмма.
2. Фруктовый сад колхоза имеет форму прямоугольника, стороны которого относятся как 16:11, причем его ширина меньше длины на 250 м. За какое время сторож может обойти по краю весь участок, идя со скоростью 4 км/ч? Ответ: 40,5 мин.
3. Параллельно прямой дороге на расстоянии 500 м от нее расположена цепь стрелков. Расстояние между крайними стрелками равно 120 м, дальность полета пули равна 2800 м. Какой участок дороги находится под обстрелом этой цепи?

Решение.

АВ = 120 м,

АК = ВЕ = 500 м,

AD = 2800 м.

Из треугольника AKD следует, что DK = 2755 м, DC = 2 • 2755 + 120 = 5630 м

4. С вертолета на башню высотой 79,5 м был сброшен вымпел. В этот момент прямая, соединяющая наблюдателя и вертолет, образовывала с горизонтальной плоскостью угол 63° 30, а прямая, соединяющая наблюдателя с верхушкой башни, – угол 20° 45. На какой высоте над землей находился вертолет? Ответ: 421 м.
5. В 800 м за точкой отрыва самолета от земли расположены деревья высотой 20 м. Под каким углом должен подниматься самолет, чтобы не задеть деревьев? Ответ: 1° 26. Самолету следует подниматься под углом, который больше 1° 26.
6. Одна из вершин земельного участка треугольной формы недоступна. Как измерить периметр этого участка? Ответ: Разделить пополам сторону, соединяющую доступные вершины. А и В, и через середину К провести прямую, параллельную стороне АС. Отметить точку М пересечения прямой со стороной ВС. Тогда периметр равен АВ + 2ВМ + 2КМ. Отрезки КМ и ВМ можно измерить.
7. Как высоко должен подняться летчик, чтобы видеть кругом себя на 50 км? Ответ: 200 м
8. Какой гвоздь труднее вытащить – круглый, квадратный или треугольный, – если они забиты одинаково глубоко и имеют одинаковую площадь поперечного сечения? Ответ: Крепче держится тот гвоздь, который соприкасаются с окружающим материалом по большей поверхности. Крепче других должен держаться треугольный гвоздь. Таких гвоздей, однако, не изготовляют. Причина кроется, вероятно, в том, что подобные гвозди легче изгибаются и ломаются.

3.1. Конструирование, моделирование

1. Как удлинить доску?

Имеется доска, 75 см длины и 30 см ширины, а вам нужна доска 1 м длины и 20 см ширины. Как вам поступить?

Можно, конечно, отпилить вдоль доски полоску шириной в 10  см, распилить ее на 3 равных кусочка длиной по 25 см каждый и двумя из них наставить доску. Такое решение задачи было бы неэкономным по числу операций (3 отпиливания и 3 склеивания) и не удовлетворяющим требованиям прочности.

Придумайте способ удлинить доску посредством трех отпиливании и только одного склеивания.

Ребята разбиваются на группы и работают над решением проблемы данной задачи.

Решение: Надо распилить доску по диагонали и сдвинуть одну половину вдоль диагонали параллельно самой себе на величину, равную недостающей длине, то есть на 25 см. Половинки склеить и излишки отпилить.

Каждая группа защищает свой способ решения, затем сравнивают результаты работ всех групп и делают выводы.

2. Треугольник с наибольшей площадью..

Задача. Какую форму нужно придать треугольнику, чтобы при данном периметре он имел наибольшую площадь?

Решение: Площадь треугольника со сторонами a, b, c и периметром a + b + c = 2p, выражается, как известно из курса геометрии, так: S = , откуда = (p – a)(p – b)(p – c).

Площадь треугольника будет наибольшей тогда же, когда станет наибольшей величиной и ее квадрат, или выражение , где p величина постоянная. Но так как обе части равенства получают наибольшее значение одновременно, то вопрос сводится к тому, при каком условии произведение

(p – a)(p – b)(p – c) становится наибольшим. Заметив, что сумма этих трех множителей есть величина постоянная, p – a + p – b + p– c = 3p – 2p = p, то произведение их достигнет наибольшей величины тогда, когда множители станут равны, p – a = p – b = p – c, откуда a = b = c.

Итак, треугольник имеет при данном периметре наибольшую площадь тогда, когда стороны его равны между собой.

САМОСТОЯТЕЛЬНАЯ РАБОТА

1–2-й уровень: Конструирование моделей треугольников и четырехугольников, шарнирных моделей, изготовление разверток для конструирования моделей призм, палеток, приборов для измерения высоты предмета, для построения прямого угла в строительстве.

Разметка земельного участка под посадку плодовых деревьев, овощных культур. Смета на ремонт кабинета, кровли крыши т. д.

План строительства школы, дома.

3-уровень: Исследовать.

1. Может ли точка круга, катящегося по "внутренней стороне" окружности другого круга описать не кривую линию, а прямую? Рассмотреть разные случаи (зависимость от диаметров большого и малого кругов), изготовить модель игрушки "девочка на канате". Что такое гипоциклоида?
2. Как же далеко лежит от наблюдателя линия горизонта? Другими словами: как велик радиус того круга, в центре которого мы видим себя на равной местности? Как вычислить дальность горизонта, зная величину возвышения наблюдателя над земной поверхностью? Провести чисто геометрические расчеты и рассказать об "атмосферной рефракции" (дальность горизонта = = 113 , R – радиус земного шара, h – возвышение глаза наблюдателя над земной поверхностью).

Слушатели курса получают задания и готовятся к презентации.

ЗАЩИТА КУРСОВОЙ РАБОТЫ

Главная цель работы учащихся над курсовой работой – осознание действительного использования элементов математического знания при проектировании современных сооружений, а также понимание связи их эстетических качеств с использованием определенных математических закономерностей, которые рассматривались в данном курсе.

При качественной оценке может быть выстроена определенная иерархия выполненных работ. Можно говорить о выделении самого удачного проекта в отдельных номинациях. В конце все получают дипломы об окончании курсов.

См. Приложение

Литература

1. Атанасян Л.С. Геометрия. 7–9 класс.
2. Гусев. В.А. Задачи по геометрии. 8 класс.
3. Дорофеев Г.В. Оценка качества. – М.: Дрофа, 2001.
4. Кордемский Б. В. "Занимательная геометрия".
5. "Математика в школе" № 6/1990. № 3/1999, № 2/1983.