В последнее время я наблюдаю некоторое снижение интереса учащихся к геометрии. Возможно, это в определенной степени связано с введением ЕГЭ по математике, где приоритет отдан алгебре, а геометрия – “удел” тех, кому необходимы хорошие баллы для поступления в ВУЗ.
Между тем, такое снижение интереса совершенно не оправдано. Действительно, геометрия играет важную роль в жизни человека. Она заставляет “говорить новым языком”: слова уже не рождаются случайно, а повинуются разуму. Привыкая рассуждать доказательно, учащиеся учатся мыслить логически, что позволяет более успешно осваивать другие дисциплины – физику, химию, историю и т.д. Вот почему так важно на каждом уроке пробуждать и прививать интерес учащихся к предмету, демонстрируя гармоничную красоту геометрических методов и их практическую значимость. А применение компьютерных и других современных технологий помогут сделать урок более насыщенным, наглядным и эстетичным.
В качестве примера такого подхода к организации учебного процесса хочу показать, как я провожу практическое занятие по теме “Признаки равенства треугольников”, совмещая групповой метод с использованием специально разработанной презентации в формате MS PowerPoint.
I. Цели урока:
- систематизация, обобщение и расширение знаний и умений учащихся, связанных с применением признаков равенства треугольников; устранение пробелов в знаниях учащихся по этой теме;
- формирование умений выделять существенные признаки и свойства, отличать несущественные и отвлекаться от них; развитие навыков само- и взаимоконтроля; формирование коммуникативной компетентности;
- подготовка учащихся к изучению тем “Признаки равенства прямоугольных треугольников” и “Сумма углов треугольника”;
- воспитание добросовестного отношения к труду, положительного отношения к знаниям, интереса к предмету.
II. План урока
- Вступительное слово учителя
- Актуализация знаний учащихся
- Работа над ошибками
- Решение задач по готовым чертежам
- Историческая справка о признаках равенства треугольников
- Решение задач с практическим содержанием
- Итог урока
- Задание на дом
III. Оборудование
- компьютер, проектор, демонстрационный экран;
- карточки с готовыми чертежами;
- листы цветной бумаги прямоугольной формы.
IV. Ход урока
1. Вступительное слово учителя.
Мы изучили три признака равенства треугольников. Они являются основным рабочим аппаратом всего курса геометрии. От того, как вы научитесь их применять, зависит ваши дальнейшие успехи в освоении геометрии и других наук. Очень много учебных и практических задач сводится к поиску и доказательству равенства треугольников. Сегодня на уроке вы убедитесь в этом.
2. Повторение теоретического материала
Учащимся предлагается на следующем чертеже найти равные треугольники и обосновать их равенство.
Рисунок 1.
Здесь учащиеся должны продемонстрировать не столько знания формулировок теорем, сколько умение их применять. При обосновании они могут формулировать правила своими словами. Например, “чтобы доказать равенство треугольников по второму признаку, нужно найти в них по два соответственно равных угла и проверить равенство сторон, соединяющих вершины этих углов”.
3. Работа над ошибками
На предыдущем уроке была проведена самостоятельная работа на доказательство равенства треугольников. Каждому ученику предлагалась карточка с тремя заданиями, в которых необходимо было доказать равенство треугольников по какому-то определенному признаку. Задания содержали, в том числе, и лишние данные, чтобы проверить, как ученики ориентируются в применении этих признаков.
После проверки выяснилось, что основные ошибки связаны с доказательством по первому и второму признакам. Некоторые решения ребят проектируются на экран. Учащиеся должны выяснить, верно ли доказано равенство треугольников, и если нет, то исправить ошибку.
Для выполнения этого и последующих заданий,
класс делится на три группы. Группы формируются
таким образом, чтобы в каждой из них
присутствовали учащиеся с разным уровнем
усвоения материала, а сами группы были примерно
“равны по силам”. В каждой группе выбирается
старший группы - консультант. Он организует
коллективную работу по решению каждой задачи и
назначает учащегося, который будет защищать это
решение перед классом. В случае затруднения
группа может обратиться за подсказкой, которая
предусматривается электронной презентацией в
виде слайдов с указаниями. Работа в группах
строится по схеме: индивидуальная работа 
обсуждение в группе выступление представителя
группы.
Рисунок 2.
В этом задании первое и второе решения неверные, третье, напротив, верное. Если этого учащиеся не заметят, то учитель напоминает известный из курса математики 5 класса факт, что сумма углов любого треугольника равна 180° . Поэтому, если в треугольниках по два угла имеют равные градусные меры, то равны и градусные меры третьих углов. Этот факт ученики принимают как открытие и запоминают надолго.
4. Решение задач по готовым чертежам
Каждая группа получает карточку, содержащую одно из трех заданий, изображенных на рисунке ниже. При ответе учащиеся пользуются чертежами, спроектированными на экран. Если группа быстро справится с заданием, она может приступить к решению других задач. При наличии времени группам можно предложить все три задачи.
Рисунок 3.
Возможные варианты ответов (равенство некоторых треугольников может быть доказано с помощью нескольких признаков):
Рис.1:
AOD = BOC (I признак)
BAD = ABC (III признак)
BСD = ADC (III признак)
Рис.2:
ABC = ADE (I признак)
CED = ECB (III признак)
BСD = DEB (III признак)
EOB = COD (II признак)
Рис.3:
ABE = ADE (II признак)
ABC = ADC (I признак)
BEC = DEC (III признак)
При контроле ответов пары равных треугольников подсвечиваются средствами презентации PowerPoint, делая восприятие чертежей более наглядным.
5. Историческая справка о признаках равенства треугольников
Здесь заслушиваются сообщения учащихся об истории появления признаков равенства треугольников в геометрии.
Признаки равенства треугольников имели издавна важнейшее значение в геометрии, так как доказательства многочисленных теорем сводилось к доказательству равенства тех или иных треугольников. Доказательством признаков равенства треугольников занимались еще пифагорейцы. По словам Прокла, Евдем Родосский приписывает Фалесу Милетскому доказательство о равенстве двух треугольников, имеющих равными сторону и два прилежащих к ней угла (второй признак равенства треугольников).
Эту теорему Фалес использовал для
определения расстояния от берега до морских
кораблей. Каким способом пользовался при этом Фалес,
точно не известно. Предполагают, что его способ
состоял в следующем: пусть A – точка берега, B
– корабль на море. Для определения расстояния AB
восстанавливают на берегу перпендикуляр
произвольной длины AC 
AB;
в противоположном направлении восстанавливают CE
AC так, чтобы точки D
(середина AC), B и E находились на одной
прямой. Тогда CE будет равна искомому
расстоянию AB. Доказательство основывается на
втором признаке равенства треугольников (DC = DA;
С = A; EDС = BDA как вертикальные).
Рисунок 4.
6. Решение задач с практическим содержанием.
Учащиеся продолжают работать в группах, им предлагается решить две задачи (одинаковые для всех групп), условия которых поочередно отображаются на презентационных слайдах.
Учащиеся обсуждают варианты решения внутри групп. Учитель контролирует ход обсуждения, и в случае возникновения затруднений, предлагает группам обратиться к компьютерной презентации за подсказкой (в виде слайдов с указаниями и иллюстрациями к задачам).
Ниже представлены слайды с условиями этих задач, слайды с указаниями-подсказками и описаны решения.
Задача №1. Слайд условия задачи
Рисунок 5.
Задача №1. Слайд с указанием-подсказкой
Рисунок 6.
Задача №1. Слайд и описание решения
Рисунок 7.
KBC= DEC по первому признаку (BC= CE, KC= CD, BCK =
DCE как углы, дополняющие угол KCD до 90° ).
Из равенства треугольников следует, что, BK= DE= 4.
Тогда AB= BK+ AK= 5.
Ответ: размеры листа 3дм и 5дм.
Перед решением второй задачи ученики получают цветные листы бумаги для моделирования ситуации.
Условие задачи формулируется в 2 этапа. На первом этапе учащимся предлагается с помощью полученных листов бумаги построить модель свернутого по диагонали ковра для более наглядного представления чертежа к задаче. На втором этапе даются числовые данные, по которым следует отыскать требуемые величины. При решении этой задачи полезно рассмотреть несколько способов, либо предложить учащимся подумать над этим дома.
Задача №2. Слайд условия задачи
Рисунок 8.
Задача №2. Слайд с указанием-подсказкой
Рисунок 9.
Задача №2. Слайд и описание решения
Рисунок 10.
EDC= EFA по второму признаку (AF= CD, F= D= 90° , EAF=
ECD).
EAF = ECD , т.к. F= D,
AEF= CED как
вертикальные, а сумма углов треугольника равна 180°
. Из равенства треугольников следует, что AE =
EC= 5 (см. решение задачи № 1). Отсюда AD= AE+ ED= 5+ 3= 8.
Ответ: размеры ковра 4м и 8м.
Возможен так же и другой способ решения.
AFC = CDA по третьему признаку (AF = CD, FC=AD, AC –
общая). Из равенства треугольников следует, что
ACF = CAD, значит, AEC
- равнобедренный. Тогда AE=EC=5 (см. решение
задачи 1). AD = 3+5 = 8. Размеры ковра – 4м и 8м.
При обосновании равенства треугольников AFC
и CDA можно использовать и первый признак
равенства треугольников (AF=CD, FC=AD и AFC = ADC).
7. Итог урока
Сегодня вы убедились, что признаки равенства треугольников являются ключевыми при решении многих задач. Вы уже значительно увереннее пользовались ими, допускали меньше ошибок и научились отыскивать равные треугольники в более сложных ситуациях. При подготовке домашнего задания вы работали с дополнительной и справочной литературой. Это помогло вам подготовить очень интересную и актуальную для темы урока историческую справку.
Сегодня мы вспомнили факт, известный нам из курса математики 5-го класса, что сумма углов треугольника равна 180° . Доказательство этого свойства мы рассмотрим совсем скоро – на ближайших уроках. Сегодня мы работали так же и с прямоугольными треугольниками. Скоро вы узнаете, что для прямоугольных треугольников существуют свои признаки равенства и убедитесь, что пользоваться ими гораздо проще.
Работая в группах, вы учились слушать друг друга, обосновывать и отстаивать свою точку зрения, контролировать себя и находить ошибки в рассуждениях других членов группы.
Я думаю, что за сегодняшний урок вы получили много полезного для себя.
Оценка за урок выставляется каждому ученику. При этом учитывается коллективное мнение группы, представленное в виде оценочного листа, в котором отражается поэтапная работа всех членов группы.
8. Домашнее задание.
Задача №1.
Найдите на рисунке:
а) равные треугольники и обоснуйте их
равенство.
б) равнобедренные треугольники и объясните,
почему они являются равнобедренными.
Рисунок 11.
Задача №2 (повышенной сложности для интересующихся математикой)
От равностороннего треугольника, площадь которого равна 36 см2, отрезали три равных равносторонних треугольника так, что образовался правильный шестиугольник. Найдите площадь этого шестиугольника
Дополнительная информация: шестиугольник называется правильным, если у него равны все стороны и все углы.
Рисунок 12.
Задача № 3.
Подумайте самостоятельно или найдите в дополнительной литературе, как можно измерить длину острова, используя признаки равенства треугольников.
Используемая литература:
- Л.С. Атанасян и др. Геометрия. Учебник для общеобразовательных школ – М.: Просвещение, 2002 г.
- Л.С. Атанасян и др. Изучение геометрии в 7-9 кл. Методические рекомендации к учебнику. Книга для учителя – М.: Просвещение, 2002 г.
- Е.Е. Семенов. Изучаем геометрию. Книга для учащихся - М.: Просвещение, 1987 г.
- Я.И. Перельман. Занимательная геометрия –М.- Л: ГИТТЛ, 1950 г.
- Г.И. Глейзер. История математики в школе, 4-6 кл. Пособие для учителей – М.: Просвещение, 1981 г.
- Г.Г. Левитас. Карточки для коррекции знаний, 7 кл. – М.: Илекса , 2000 г.
- А.В. Фарков. Внеклассная работа по математике, 5-11 кл. М.:Айрис-пресс, 2006 г.
- “Математика”, приложение к газете “Первое сентября”. Статья “Решение задачи несколькими способами”, № 25, 1994 г.,
- “Математика”, приложение к газете “Первое сентября”. Г. Домкина, статья “Эстетическое воспитание на уроках и во внеклассной работе”, № 29, 1996 г.