Часто учителя, репетиторы и родители, помогающие своим детям подготовиться к ЕГЭ, пытаются решить как можно больше вариантов заданий предыдущих лет. Опыт показывает, что такой путь неперспективен. Почему?!
- Варианты не повторяются.
- У школьника не формируется устойчивый общий способ деятельности с заданиями соответствующих видов:
Уже через неделю ученик забывает как он решал это задание. Причем в этом случае он пытается именно вспомнить соответствующее решение, а не применить общий подход к заданиям такого типа. Естественно, запомнить все решения всех заданий невозможно. Поэтому, намного разумнее учить школьников общим универсальным приемам и подходам к решению заданий соответствующих типов.
Опора только на память очень быстро формирует у ученика чувство растерянности и полной безнадежности: заданий так много и все они такие разные, и каждый раз нужно применять соответствующий подход.
Причем, даже если ученик набирается смелости спросить у учителя: “Откуда Вы знаете, что нужно было применить именно этот прием (формулу, способ)? Как Вы догадались?” Учитель зачастую пожимает плечами: “Знаю и все! И вы так делайте. Так нужно делать!”.
Иными словами, не каждый учитель готов (или умеет) раскрыть перед учениками ход своих мыслей, когда он накануне решал это задание, готовясь к уроку. Многие даже не считают это возможным: как можно показывать ученикам, что учитель тоже маялся с этим заданием несколько дней и решил его верно, только посоветовавшись с профессиональным математиком. Это же может пошатнуть его, учителя, авторитет, думают такие учителя.
Полагаю, что это совершенно неверный подход. Самым центральным моментом технологии подготовки к ЕГЭ является обучение школьника приемам мыслительного поиска способа решения, а для этого следует разворачивать перед ним всю картину поиска в трудных задачах.
Я никогда не стесняюсь показывать ученикам черновые записи в трудных примерах, где отражены все этапы поиска верного подхода к его решению, все этапы тупиковых вариантов (и обязательно разбираю с ними причину, заведшую меня в тупик в этом случае).
Я даже могу инсценировать такой “тупик” в процессе решения задания на доске: дети должны понять, что такое тупик и уметь найти место в своем решении, с которого пошел “тупиковый вариант”, чтобы вернуться к нему, попробовать другой способ решения.
Древнее индийское изречение гласит: “Знай, куда идешь. Знай, зачем идешь. Если не знаешь, остановись и подумай. Иногда полезнее вернуться”.
Предлагаю урок в девятом классе по теме.
Цель урока: Выработка умений самостоятельно применять знания в комплексе в новых условиях.
Тип урока: Урок комплексного применения знаний (практикум).
Методы обучения: Управление самостоятельной работой учащихся тренировочного характера.
Оборудование:
- Раздаточный материал: листы с текстом задач и таблицами поиска решения задачи.
- Плакаты с основными математическими моделями функциональной зависимости величин.
- Плакаты с понятием концентрации.
Ход урока:
Подготовка к основному этапу занятия (вводная беседа)
Задачи, которые будут рассмотрены сегодня на уроке, вызывают у ребят чуть ли не ужас, хотя они не сложнее других, которые уже рассмотрены нами: задачи на движение, на работу и производительность труда, урожай и урожайность, покупку и т.д.
Т.е. задачи, в основе решения которых лежит функциональный треугольник.
Итак, тема сегодняшнего урока – решение текстовых задач на концентрацию. Эти задачи довольно часто встречаются на ЕГЭ. Давайте не будем их бояться, т.е. научимся их решать!
В толковом словаре концентрация (лат conc+centrum)-центр, сосредоточение.
В химии – относительное содержание данной составной части (компонента) в смеси, растворе, сплаве.
Сейчас мы во всем с вами разберемся. Обратимся к рисунку №1.
Рисунок№1
Нальем в стакан 150г воды и растворим в ней 50г сахара. Какой станет масса раствора? (Ответ: 200г)
Раствор тщательно перемешиваем.
Введем следующие обозначения:
Мобщ=50г+150г=200г – масса общая.
Мч.в.=50г – масса чистого вещества.
К=50г/200г=1/4 – концентрация растворов, т.е. К=Мч.в./Мобщ
1/4*100%=25% – процентное содержание чистого вещества в данном растворе.
Mобщ=50г+150г=200г
Мч.в.=50г
К=50г/200г=1/4=0.25=Мч.в./Мобщ
0.25*100%=25%
Представим функциональную зависимость величин, входящих в задачи о смесях (сплавах, растворах) в виде следующей математической модели.
И запишем формулы, выражающие функциональную зависимость между величинами.
Эти формулы, выражающих функциональную зависимость между величинами, представляет собой своеобразную теоретическую основу для решения задач о смесях (сплавах, растворах).
Выстроенный функциональный треугольник аналогичен тем, с которыми мы уже очень хорошо знакомы и умеем решать задачи с применением указанной функциональной зависимости.
Во многих текстовых задачах понятие “концентрация” может быть заменено на:
“жирность” (масло, творог, молоко),
“крепость” (уксус),
“соленость” (морская вода),
“проба” (в драгоценных металлах).
“влажность” (в воздухе),
Встречая эти слова в текстах задач, вы должны понимать, что речь идет о “концентрации” того или другого чистого вещества в растворах или сплавах.
Определив функциональную зависимость между массой общей (Vобщ), концентрацией (К) и массой чистого вещества (Vч.в.), мы устанавливаем известный нам тип задач, с общими правилами решения которых мы хорошо знакомы.
Еще раз обращается внимание учащихся на известные математические модели.
Далее учащимся предлагается внимательно прочесть текст задачи №1, установить в чем состоит ее требование (вопросы), каковы условия, исходя из которых надо решить задачу.
Задача №1
Текст №1
Один раствор содержит 30% по объему азотной кислоты, а второй 55% азотной кислоты. Сколько нужно взять первого и второго раствора, чтобы получить 100 л 50% процентного раствора азотной кислоты.
Работа с текстом задачи
После изучения текста задачи, с учащимися проводится собеседование, помогающее установить глубину изучения текста учениками.
| Вопросы учителя | Предполагаемые ответы ученика |
| Какие величины содержатся в задаче? | Общий объем, объем чистого вещества, концентрация. |
| Как связаны между собой Vобщ, Vч.в., К? | Vобщ=Vч.в./К; Vч.в.=Vобщ?К; К=Vч.в./Vобщ |
| Сколько можно выделить в задаче случаев? | Три случая. |
| Какая неизвестная величина является искомой? | Объемы первого и второго растворов. |
| Как найти объем чистого вещества в третьем случае? | Чтобы найти объем чистого вещества в третьем случае нужно 100?0.5 или к Vч.в. в первом случае прибавить Vч.в. во втором случае. |
Выполненный анализ позволяет осуществить запись условия и требования задачи в виде таблицы:
Поиск решения задачи
Умение ученика составить подобную таблицу говорит о том, что он усвоил условие и требование задачи и может самостоятельно приступить к поиску ее решения путем записи ответов вместо знаков вопроса, содержащихся в таблице. В результате, таблица как модель поиска решения задачи позволяет получить соответствующее уравнение. С этой целью вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины в зависимости от выбранной учителем совместно с учащимися стратегии решения задачи.
Далее, пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи, заполняется таблица поиска.
Исходя из модели поиска решения задачи, записывается уравнение
0.3X+0.55*(100-X)=50
Рассмотрим следующую задачу
Задача№2
Текст№2
Один сплав содержит два металла, массы которых относятся как 2/3, а в другом сплаве массы этих же металлов относятся как 3/7. Какие массы первого и второго сплавов надо сплавить вместе, чтобы получить третий сплав, массой 1.5кг, в котором эти металлы (по массе) находились бы в отношении 1/2?
Учащимся предлагается обозначить металлы, из которых состоят сплавы через А и В. И, для удобства дальнейших рассуждений, условие задачи проиллюстрировать диаграммой.
Обращается внимание учащихся на то, что если в задаче известно отношение металлов, то концентрация металлов А и В в сплавах считается известной.
После изучения текста задачи, учащимися выполняется табличная запись текста.
Работа с текстом задачи
Поиск решения задачи
Вводится обозначение искомой или другой неизвестной величины и пользуясь установленными зависимостями между значениями одноименных величин и зависимостью между разноименными величинами, на основе табличной записи текста задачи, заполняется таблица поиска решения задачи.
Обозначив через X кг массу первого сплава и через Y кг массу второго сплава.
Модель поиска решения задачи дает систему уравнений:
Можно заметить, что вместо второго уравнения системы можно было записать и более простое условие на вес сплавов: X+Y=1.5
(в нашем случае это условие получается при сложении уравнений системы).
Поиск решения задачи закончен.
Рассматриваем следующую задачу.
Задача№3
Текст№3
Из сосуда наполненного 96%-ным раствором кислоты отлили 2.5л 80%-ного раствора той же кислоты, затем еще раз отлили 2.5л и снова долили 2.5л 80%-ного раствора кислоты. После этого в сосуде получился 89%-ный раствор кислоты.
Найти емкость сосуда.
Работа с текстом задачи
Учащиеся выполняют табличную запись данных и неизвестных величин, о которых говорится в задаче.
Учащимся предлагается ставить знак минус (-) около тех величин, которые “отливаются” и знак плюс (+) около тех величин, которые “доливаются”.
Поиск решения задачи
После этого заполняется таблица поиска решения, обозначив через X л емкость (объем) сосуда.
Кроме этого, обращается внимание учащихся на тот факт, что по смыслу задачи X>2.5.
Учащимся, закончившим работу быстрее других, предлагается решить полученное уравнение
0.89X=(X-2.5)*(0.96X-0.4)/X+2
Решение
0.89X2=0.96X2-0.4X-2.4X+1+2X
0.07X2-0.8X+1=0
7X2-80X+100=0
X1=10 ; X2=7/10
X=7/10 не удовлетворяет условию X>2.5
Подведение итогов занятия
Для того чтобы научиться решать задачи, надо научиться такому подходу к задаче, при котором задача выступает как объект тщательного изучения, а ее решение – как объект конструирования изобретения.
Древние говорили: Научить нельзя, можно только научиться. Помните всегда об этом.
Информация о домашнем задании
Дома предлагается решить задачи №197,198 из учебника
А.Г. Мордкович с соавт. за 9 класс. Обе обозначены “звёздочкой”. Пусть вас это не пугает. Они не сложнее тех, которые мы сегодня рассмотрели с вами на уроке. При выполнении домашнего задания, в тетрадях необходимо построить две таблицы (по образцу классной работы). В первой таблице записать условие и требование задачи, а затем заполнить таблицу поиска решения задачи.