Цели урока:
- Образовательные – познакомить учащихся с историей комплексных чисел;
формировать навыки выполнения алгебраических действий над комплексными числами; формировать навыки пользования компьютером для выполнения обучающих и контролирующих тестов.
- Развивающие – развивать мыслительную деятельность учащихся на уроке посредством выполнения тестовых заданий;
способствовать формированию навыков самостоятельной работы и работы в мини-группе; развивать интерес к предмету через включение в план урока исторического материала и практических заданий;
развивать интерес к роли личности в становлении математической науки;
развивать творческие способности в ходе выполнения исследовательской работы.
- Воспитательные – воспитывать у учащихся способность подходить к изучаемым проблемам с позиции исследователя; воспитывать чувство личной ответственности за достижение положительных результатов при самостоятельной работе и в группе.
План урока.
- Актуализация знаний.
- Постановка цели урока.
- Решение заданий на выполнение действий с комплексными числами.
- Проведение обучающего и контрольного теста.
- Подведение итогов.
Ход урока.
| Деятельность учителя: | Деятельность учеников: |
| Организационный момент. Учитель приветствует учащихся. | Учащиеся проверяют готовность к уроку, анализируют свое психологическое состояние. |
| Вводное слово учителя (презентация) | |
| Постановка проблемы. Какие задачи исторически привели к введению комплексных чисел? | Отчет учащихся о своей исследовательской работе (демонстрация сайтов). |
| Какие же числа называются комплексными и как выполнять с ними алгебраические действия? (Презентация) | Выполнение серии задач на действия с комплексными числами (в тетради). |
| Как можно узнать результат достижения своих образовательных целей? (Тест) | Выполнение обучающего и контрольного тестов. |
| Подведение итогов урока. |
Конспект урока.
- Сегодня на уроке мы с вами продолжим знакомство с полем комплексных чисел. Тема нашего урока «Алгебраические действия над комплексными числами». (Презентация, слайды 1-4).
- "Комплексное число – это тонкое и поразительное средство божественного духа, почти амфибия между бытием и небытием". Писал Лейбниц Готфрид Вильгельм (1.7.1646 - 14.11.1716) - немецкий математик, физик и философ, организатор и первый президент Берлинской АН (1700), чл. Лондонского королевского общества (1673), чл. Парижской АН (1700).
- Мы с вами на уроке попытаемся снять дух мистики, привнесенный Лейбницем, да и другими математиками, в математическую науку, и не только осознаем необходимость введения комплексных чисел для решения многих задач, но и будем выполнять с ними алгебраические действия: сложение, вычитание, умножение и деление.
- Многовековая история развития представлений человека о числах - одна из самых ярких страниц развития человеческой культуры. В стремлении расширить мир чисел трудноразгадываемым образом переплелись разнообразные мотивы.
- Дроби появились очень рано – уже у египтян и вавилонян – по-видимому, в связи с переходом к более мелким единицам измерения. Их связь с делением натуральных чисел понималась более смутно и вторично.
- Греки осознавали числа через процесс геометрического измерения: именно так они себе уяснили существование иррациональных чисел (несоизмеримость диагонали квадрата и его стороны) и построили теорию «величины» (как мы сказали бы сегодня, теорию положительных действительных чисел).
- Отрицательные числа появились в 5-6 веках в индийской и арабской математике, где на первый план выдвинулась вычислительная сторона дела. При этом вычислители рассматривали отрицательные числа как «воображаемые», ненастоящие числа, которыми удобно пользоваться в промежуточных вычислениях как результатом вычитания, когда оно невыполнимо в области положительных чисел. Ни о каком равноправии отрицательных чисел с положительными речь не шла: в окончательном ответе, кроме простейших ситуаций, отрицательные числа не появлялись. Об отношении к ним выразительно говорят разные варианты их названий: «ложные», «фиктивные», «абсурдные», «невозможные», «мнимые».
- Впрочем, последний термин позднее пришлось «уступить» другому классу чисел, который удивительным образом появился в европейской математике одновременно с первым серьезным рассмотрением отрицательных чисел.
- Восстановить историческую картину нам помогут ученицы, которые, готовясь к школьной научно-практической конференции, были вынуждены для раскрытия своих тем повторить исторические шаги в развитии представления о числе и познакомиться с понятием комплексного числа. (Выступления учениц).
- Итак, наши представления о числах стали более широкими. И теперь для нас не будет проблемой решения любого квадратного или кубического уравнения. Но для этого нужно научиться грамотно выполнять действия с комплексными числами.
- Вспомним основные правила для выполнения алгебраических действий над комплексными числами.
- Действия над комплексными числами в алгебраической форме. (Презентация, слайды 5-8).
- Сложение, вычитание, умножение комплексных чисел в алгебраической форме производят по правилам соответствующих действий над многочленами.
Пример. Даны комплексные числа z1 = 2 + 3i, z2 = 5 – 7i . Найти:
а)z1 + z2; б) z1 – z2; в) z1z2.
Решение.
а) z1 + z2 = (2 + 3i) + (5 – 7i) = 2 + 3i + 5 – 7i = (2 + 5) + (3i – 7i) = 7 – 4i;б) z1 – z2 = (2 + 3i) – (5 – 7i) = 2 + 3i – 5 + 7i = (2 – 5) + (3i + 7i) = – 3 + 10i;
в) z1z2 = (2 + 3i)(5 – 7i) = 10 – 17i + 15i – 21i2 = 10 – 14i + 15i + 21 = (10 + 21) + (– 14i + 15i) = 31 + i
(здесь учтено, что i2 = – 1).
Замечание. При выполнении умножения можно использовать формулы:
(a ± b)2 = a2 ± 2ab + b2,
(a ± b)3 = a3 ± 3a2b + 3ab ± b3.
Пример. Выполнить действия:
а) (2 + 3i)2; б) (3 – 5i)2; в) (5 + 3i)3.
Решение.
а) (2 + 3i)2 = 4 + 2×2×3i + 9i2 = 4 + 12i – 9 = – 5 + 12i;
б) (3 – 5i)2 = 9 – 2×3×5i + 25i2 = 9 – 30i – 25 = – 16 – 30i;
в) (5 + 3i)3 = 125 + 3×25×3i + 3×5×9i2 + 27i3;
так как i2 = – 1, а i3 = – i, то получим (5 + 3i)3 = 125 + 225i – 135 – 27i = – 10 + 198i.
Рассмотрим теперь применение формулы
(a + b)(a – b) = a2 – b2. (*)
Пример. Выполнить действия:
а) (5 + 3i)(5 – 3i);
б) (2 + 5i)(2 – 5i);
в) (1 + i)(1 – i).
Решение.
а) (5 + 3i)(5 – 3i) = 52 – (3i)2 = 25 – 9i2 = 25 + 9 = 34;
б) (2 + 5i)(2 – 5i) = 22 – (5i)2 = 4 + 25 = 29;
в) (1 + i)(1 – i) = 12 – i2 = 1 + 1 = 2.
- Обратим внимание на то, что при использовании формулы (*) всегда получается частный случай комплексного числа – действительное число, а комплексные числа, которые мы умножаем, являются сопряженными.
- Определение. Два комплексных числа называются сопряженными, если они отличаются друг от друга только знаками перед мнимой частью.
- Мы видим, что произведение двух сопряженных чисел всегда равно действительному числу. Воспользуемся этим свойством для выполнения деления двух комплексных чисел. Чтобы выполнить деление, произведем дополнительное действие: умножим делимое и делитель на комплексное число, сопряженное делителю.
Пример. Выполнить деление:
Решение.
Произведем умножение для делимого и делителя в отдельности:
(2 + 3i)(5 + 7i) = 10 + 14i + 15i + 21i2 = – 11 + 29i;
(5 – 7i)(5 + 7i) = 25 – 49i2 = 25 + 49 = 74.
Итак,
Рассмотрим решение квадратных уравнений, дискриминант которых отрицателен.
Пример. Решите уравнение:
а) x2 – 6x + 13 = 0; б) 9x2 + 12x + 29 = 0.
Решение. а) Найдем дискриминант по формуле
D = b2 – 4ac.
Так как a = 1, b = – 6, c = 13, то
D = (– 6)2 – 4×1×13 = 36 – 52 = – 16;
Корни уравнения находим по формулам
б) Здесь a = 9, b = 12, c = 29. Следовательно,
D = b2 – 4ac =122 – 4×9×29 = 144 – 1044 = – 900,
Находим корни уравнения:
Мы видим, что если дискриминант квадратного уравнения отрицателен, то квадратное уравнение имеет два сопряженных комплексных корня.
Тренировочные упражнения. Выполняются учащимися в парах за рабочими местами (задания формируются из предложенных ниже)
1-8. Произведите сложение и вычитание комплексных чисел:
1) (3 + 5i) + (7 – 2i).
2) (6 + 2i) + (5 + 3i).
3) (– 2 + 3i) + (7 – 2i).
4) (5 – 4i) + (6 + 2i).
5) (3 – 2i) + (5 + i).
6) (4 + 2i) + (– 3 + 2i).
7) (– 5 + 2i) + (5 + 2i).
8) (– 3 – 5i) + (7 – 2i).
9-16. Произведите умножение комплексных чисел:
9) (2 + 3i)(5 – 7i).
10) (6 + 4i)(5 + 2i).
11) (3 – 2i)(7 – i).
12) (– 2 + 3i)(3 + 5i).
13) (1 –i)(1 + i).
14) (3 + 2i)(1 + i).
15) (6 + 4i)3i.
16) (2 – 3i)(– 5i).
17-24. Выполните действия:
17) (3 + 5i)2.
18) (2 – 7i)2.
19) (6 + i)2.
20) (1 – 5i)2.
21) (3 + 2i)3.
22) (3 – 2i)3.
23) (4 + 2i)3.
24) (5 – i)3.
25-30. Выполните действия:
25) (3 + 2i)(3 – 2i).
26) (5 + i)(5 – i).
27) (1 – 3i)(1 + 3i).
28) (7 – 6i)(7 + 6i).
29) (a + bi)(a – bi).
30) (m – ni)(m + ni).
31. Выполните деление:
32-35. Решите уравнения:
32) x2 – 4x + 13 = 0.
33) x2 + 3x + 4 = 0.
34) 2,5x2 + x + 1 = 0.
35) 4x2 – 20x + 26 = 0.
Каждому человеку важно знать, какого уровня он достиг в том или ином виде деятельности. Так как главной деятельностью ученика является учебная, то результатом работы будет грамотное выполнение заданий по теме урока, а проверить насколько хорошо вы овладели терминологией и правилами действий над комплексными числами мы сможем с помощью компьютерной программы.
Выполнение теста (Приложение №3).
Подведение итогов урока. (Презентация, слайд 9-10)
«Мы приходим к выводу, что не существует никаких абсурдных, иррациональных, неправильных, необъяснимых или глухих чисел, но что среди чисел существует такое совершенство и согласие, что нам надо размышлять дни и ночи над их удивительной законченностью». Симон Стевин (1548-1620) - нидерландский математик и инженер. Родился в Брюгге. Преподавал в Лейденском университете, служил инженером в армии принца Оранского. Как инженер Стевин сделал значительный вклад в механику. Важнейшие из его работ в области математики: "Десятина" (1585г.) и "Математические комментарии", в 5-ти томах (1605-1608гг.)