Очень близки и понятны мне слова великого Паскаля, в которых говорится, что «жизнь украшена двумя вещами: занятием математикой и ее преподаванием». И для меня очень важно, чтобы каждый урок – главная составная часть учебного процесса – достигая своей цели, обеспечивал качество подготовки учащихся. Чтобы содержательная и методическая наполненность урока, его атмосфера не только вооружали знаниями и умениями, но и вызывали у детей искренний интерес, подлинную увлеченность, формировали их творческое сознание. Чтобы они шли ко мне на урок без боязни перед сложностью предмета, ведь математика объективно считается наиболее трудным для усвоения школьным курсом. Из опыта знаю, что некоторые темы не очень понятны ученикам, и, как следствие, нелюбимы ими. «Уравнение касательной» – один из них. Захотелось сделать так, чтобы ученики испытали удовольствие от изучения этой темы. По-моему, это мне удалось…
Оборудование: компьютер (Презентация в Приложении 1), проектор, экран.
Цели урока (слайд 3):
- Уточнить понятие «касательной».
- Вывести уравнение касательной.
- Составить алгоритм «составления уравнения касательной к графику функции у = f (x)».
- Начать отрабатывать умения и навыки в составлении уравнения касательной в различных математических ситуациях.
- Формировать умения анализировать, обобщать, показывать, использовать элементы исследования, развивать математическую речь.
Структура урока:
- Постановка цели.
- Тест по теме «Производная».
- Домашнее задание.
- Историческая справка.
- Постановка проблемы.
- Объяснение нового материала.
- Создание алгоритма «составления уравнения касательной».
- Устная работа.
- Закрепление. Отработка умений и навыков в составлении уравнения касательной.
- Задавание домашнего задания.
- Подведение итогов урока.
Ход урока
1. Постановка цели урока.
2. Тест (на компьютере или на карточках) (слайд 4).
При его проведении проверяется знание основных правил дифференцирования.
Найти производную функции:
1. f(x) = 2х-7
А. х ²-7 Б. 2 В. 2х
2. f(x) = 3/х + 6 √х
А. 3/х ² + 3/√х Б. -3/х ² + 6/√х В. -3/х ² + 3/√х
3. f(x) = cos x + 2x
А. sin x + 2 Б. - sin x + 2 В. - sin x + 2х
4. f(x) = х ³ + 4х100
А. 3х² + 400х99 Б. 3х³ + 4х99 В. х² + 400х99
5. f(x) = 7tg x + sin x
А. 1/cos²x + cos x Б. 7/cos²x + cos x В. 7/cos²x - cos x
6. f(x) = √х · sin x
А. sin x /(2√x) + cos x · √x Б. 2sin x /(√x) + cos x / √x В. sin x /(2√x) + cos х/√x
7. f(x) = х / (х ²+1)
А. (1+х ²) / (х ²+1) ² Б. (х ²-1) / (х ²+1) ² В. (1-х ²) / (х ²+1) ²
8. f(x) = (5х + 2) 9
А. 9 · (5х + 2)8 Б. 45 · (5х + 2)8 В. ((5х + 2) / 8)8
9. f(x) = √(15 – 8х)
А. 1/(2 √(15-8х)) Б. -4/ √(15-7х) В. -4/ √(15-8х)
10. f(x) = cos(5х + π/3)
А. 5sin(5x + π/3) Б. sin(5x + π/3) В. - 5sin(5x + π/3)
Тест оценивается компьютером или самими учащимися.
Ответы: 1)2 2)3 3)2 4)1 5)2 6)1 7)3 8)2 9)3 10)3 (слайд 5).
3. Проверка домашнего задания (слайд 6).
Группе сильных учащихся к уроку было дано задание расшифровать, как Исаак Ньютон называл производную функцию и ответ занести в таблицу:
С |
f(x) = √(3-2х) |
f '(1) = ? |
Я |
f(x) = 5 / ³√ (3х+2) |
f '(-1/3) = ? |
Ю |
f(x) = 12 / √ (3х ²+1) |
f '(1) = ? |
Ф |
f(x) = 4√ (3-2х²) |
f '(-1) = ? |
К |
f(x) = 2 ctg 2x |
f '(-π/4) = ? |
И |
f(x) = 4/(2-cos 3x) |
f '(- π/6) = ? |
Л |
f(x) = tg x |
f '( π /6 ) = ? |
1 |
4/3 |
9 |
-4 |
-1 |
-3 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: ФЛЮКСИЯ (слайд 7).
4. Историческая справка (слайд 8).
Информацию об ученых можно взять с электронного издания «Репетитор по математике Кирилла и Мефодия» либо через Интернет с сайта. Какова история происхождения этого названия?
Понятие производная возникло в связи с необходимостью решения ряда задач физики, механики и математики. Честь открытия основных законов математического анализа принадлежит английскому ученому Ньютону и немецкому математику Лейбницу. Лейбниц рассматривал задачу о проведении касательной к произвольной кривой.
Знаменитый физик Исаак Ньютон, родившейся в английской деревушке Вульстроп, внес немалый вклад и в математику. Решая задачи на проведение касательных к кривым, вычисляя площади криволинейных фигур, он создал общий метод решения таких задач – метод флюксий (производных), а саму производную называл флюентой.
Он вычислил производную и интеграл степенной функции. О дифференциальном и интегральном исчислениях он пишет в своей работе «Метод флюксий» (1665 – 1666гг.), послужившей одним из начал математического анализа, дифференциального и интегрального исчисления, которое ученый разработал независимо от Лейбница.
Многие ученые в разные годы интересовались касательной. Эпизодически понятие касательной встречалось в работах итальянского математика Н.Тартальи (ок. 1500 – 1557гг.) – здесь касательная появилась в ходе изучения вопроса об угле наклона орудия, при котором обеспечивается наибольшая данность полета снаряда. И. Кепплер рассматривал касательную в ходе решения задачи о наибольшем объеме параллелепипеда, вписанного в шар данного радиуса.
В 17 веке на основе учения Г.Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения встречаются у Р.Декарта, французского математика Роберваля, английского ученого Д.Грегори, в работах И. Барроу.
5. Постановка проблемы (слайд 9,10).
Вопрос учителя:
Можно ли считать верным утверждение: касательная к графику – это прямая, имеющая с кривой только одну общую точку?
В процессе определения касательной обнаруживают прямую, представляющее собой некое предельное положение секущей, которую и называют касательной к кривой в некоторой точке.
Если учащиеся на поставленный вопрос отвечают «да» или «нет», в любом случае опровергнуть или подтвердить этот ответ можно, продемонстрировав видеофрагмент с электронного издания по математике «1С: Репетитор», часть 1 или обратившись к учебнику А.Г.Мордковича «Алгебра и начала анализа» (Ч.1-5-е изд.-М.:Мнемозина, 2004, стр.160). Предполагается к данному уроку предложить учащимся повторить понятие касательной к кривой в точке.
6. Объяснение нового материала (слайд 11,12).
Объяснение можно провести с помощью мультимедийной демонстрации с того же электронного издания «1С: Репетитор», часть 1 или же самому учителю с помощью таблицы по теме, если такового издания нет.
Пусть дана функция y = f (x) и точка М(а; f(a)) и пусть существует призводная f '(а). Уравнение касательной – это уравнение прямой, поэтому оно имеет вид: y = kx + m. Следовательно, задача состоит в том, чтобы отыскать k и m. Из ранее изученного известно, что k = f '(а).
Найдем m. Искомая прямая походит через точку М(а; f(a)), подставим эти координаты в уравнение прямой: f(a) = ka + m, отсюда m = f(a) – ka. Подставим значение m в уравнение
y = kx + m.
y = kx + f(a) – ka,
y = f(a) + f '(а) · (x-a).
Нами получено уравнение касательной к графику функции y = f(x) в точке х = а.
7. Составление алгоритма (слайд 13).
Используя эту формулу, мы можем задать алгоритм составления уравнения касательной к графику функции y = f (x) (предлагаю составить алгоритм самим учащимся):
- Обозначим абсциссу точки касания буквой а.
- Вычислим f(a).
- Найдем f '( х) и вычислим f '( а).
- Подставим найденные значения числа а, f( а), f '( а) в уравнение касательной.
(Раздаю учащимся напечатанный заранее алгоритм как памятку для последующей работы.)
8. Устная работа.
№809 (а) (задачник)
а) в точке а касательная параллельна оси оy, значит, угол α между касательной и положительным направлением оси ох равен 0˚, tg α = 0, k = 0.
б) в точке b касательная составляет с положительным направлением оси ох тупой угол, tg α < 0,
k < 0.
в) в точке c угол α – острый, tg α > 0, k > 0.
№810 (а) (рисунок 46).
Производная равна о в точках х = 0 и х = 3,5.
Если в некоторой точке графика нельзя провести касательную, то в этой точке не существует производной. Нельзя провести касательную в точке х = -1.
9. Закрепление (слайд 14).
1) Составить уравнение касательной к графику функции f(x) = х² - 3х + 5 в точке с абсциссой
а = -1.
Решение:
Составим уравнение касательной (по алгоритму).
- а = -1;
- f(a) = f(-1) = 1 + 3 + 5 = 9;
- f '(x) = 2х – 3,
f '(a) = f '(-1) = -2 – 3 = -5; - y = 9 – 5 · (x + 1),
y = 4 – 5x.
(Можно дать геометрическую интерпретацию через проектор.)
Ответ: y = 4 – 5x.
2) Составить уравнение касательной, проходящей через точку пересечения графика функции
f(x) = (3 – х)/(х + 1) с прямой y = 1.
Решение:
Найдем абсциссу точки касания:
(3 – а)/(а + 1) = 1, а = 1.
Составим уравнение касательной по алгоритму:
- f(a) = f(1) = 1;
- f '(x) = -4/(х +1)²;
- f '(a) = f '(1) = -1;
- y = 1 – 1 · (х – 1),
y = 2 – х.
Ответ: y = 2 – х.
3) № 831 (а) (задачник)
Решение:
Касательная к графику функции y = х² должна быть параллельна прямой y = 2х + 1. Значит, угловой коэффициент касательной должен быть равен угловому коэффициенту данной прямой.
kкас.= 2,
но kкас.= y ' (a),
y ' (х) = 2х,
y ' (a) = 2а, а = 1.
А (1;1)
Ответ: в точке А (1;1) касательная параллельна прямой.
4) Дополнительно: №828.
Задания на составление уравнения касательной очень разнообразны. Ниже приведу задания, которые можно взять на следующем уроке или решать на данном, если есть время:
а) Составить уравнение касательной к графику функции у = (х³ + 1)/х в точке пересечения его с осью абсцисс.
б) Найти касательную, проведенную к кривой у = 2х5 - 5х² в точке, абсцисса которой равна -1.
в) При каких значениях a и b прямая у = 7х – 2 касается графика функции у = ах² + bх + с в точке А(1;5)?
г) Под каким углом пересекаются графики функции у = 8 – х и у = 4√(х + 4)
д) Найти угловой коэффициент касательной к кривой у = х² - 4х + 3 в точке М (0;3).
10. Домашнее задание выбрано с материалов ЕГЭ (слайд 15).
А) Касательная, проведенная к графику функции у = х³ - х в точке с абсциссой х = 0, параллельна прямой:
1) у = 7 – х 2) у = х – 7 3) у = 2х – 7 4) √3 ·х +7
Б) Уравнение касательной к графику функции f (х) = 2х² - 3х – 1, проведенной в точке с абсциссой а = 1, имеет вид:
1) у = х - 3 2) у = х - 1 3) у = -2х + 3 4) у = -11х - 1
В) Для функции у = 4х - х² касательная, параллельная оси абсцисс, проведена через точку касания:
1) (0;0) 2) (4;0) 3) (2;4) 4) (-1;-5)
Г) Уравнение касательной, проведенной к графику функции f (х) = 3х² - 2х +5 в точке А (2;13):
1) у = 76х -502 2) у = 10х – 7 3) у = 10х+33 4) у = 76х – 139
Д) Найти тангенс угла наклона касательной, проведенной к графику функции
у = 4х ² - 5х в точке с абсциссой а = 2.
1) 0,83 2) 2 3) 3 4) 7
11. Подведение итогов. Задачи на следующий урок.
Учитель, подводя итоги урока, еще раз обращает внимание на алгоритм составления уравнения касательной, указывает на наиболее распространенные ошибки; оценивает работу учеников, ставит задачи на следующие уроки.