Исторические задачи с игральными костями при изучении элементов теории вероятностей

В истории черпаем мы мудрость, в поэзии – остроумие, в математике – проницательность.

Ф. Бекон.

Исторические задачи с игральными костями можно рассматривать как гуманитарный аспект при обучении элементам теории вероятностей. Представлены задачи Н.Тарталья, Д.Кардано, Г.Галилея, И.Ньютона, Х.Гюйгенса, Г.Лейбница, Я.Бернулли. Все они сопровождаются биографическими фактами о детстве и юности ученых, их вкладе в науку, доказывающие, что без усердия, труда и целеустремленности математику не познать. Эти сведения способствуют реализации воспитательных функций в обучении, развитию личностных качеств школьников и повышению интереса к математике.

1. Историческая задача Никколо Тарталья

Одним из первых подсчетом различных комбинаций при игре в кости занялся итальянский математик Никколо Тарталья (1499–1557). Настоящая его фамилия – Фонтана. Никколо родился в Брешии в бедной семье. Когда мальчику было шесть лет, он вместе с родственниками спасался в храме от французских завоевателей, осадивших его родной город Брешу. Священные стены, однако, не уберегли от несчастья: Никколо был тяжело ранен мечом французского солдата в гортань. С тех пор он говорил с трудом и на всю жизнь остался заикой. Отсюда его прозвище – Тарталья (картавый, заика).

Мальчик рос в бедной семье, рано остался без отца. Мать не могла платить за обучение сына, поэтому в школе Никколо успел выучить лишь начало азбуки до буквы «к». Стремление к знаниям и необыкновенная твердость характера проявились уже в детстве. Всеми остальными знаниями он овладел самостоятельно. Тарталья не только самостоятельно научился читать и писать, но и сумел приобрести большие познания в математике и механике.
Тарталья преподавал математику в Вероне, Венеции, Брешии. Впоследствии он создал замечательный для своего времени трактат «Новая наука», в котором рассмотрел различные вопросы механики, в том числе расчёт траекторий снарядов. Также Тарталья нашел способ решения кубических уравнений и внес вклад в развитие теории вероятностей. [9; 10]

Задача. На какую сумму очков, выпавших при подбрасывании двух игральных костей, разумно делать ставку?

Решение. Перечислим возможные суммы и способы их получения, представленные в таблице 1.

Таблица 1

Видно, что  целесообразно сделать ставку на выпадение  сумме 7 очков, поскольку она получается наибольшим количеством вариантов, а, следовательно, имеет больше шансов на выпадение, чем другие суммы.

Ответ. На 7 очков.

2. Историческая задача Джироламо Кардано

Простейшими задачами такого же типа занимался Джироламо Кардано (1501–1576).

Джироламо Кардано был истинным сыном эпохи Возрождения, воплотившим как хорошие, так и дурные стороны своего времени. С юности Джироламо обуревала жажда славы. «Цель, к которой я стремился, –  писал он на склоне лет в автобиографии, – заключалась в увековечивании моего имени, поскольку я мог этого постигнуть, а вовсе не в богатстве или праздности, не в почестях, не в высоких должностях, не во власти...» [10. С. 82].
Джироламо окончил университет в Падуе. Его главным занятием была медицина, и Кардано всю жизнь занимался врачебной практикой. Как и многие ученые эпохи  Возрождения, он не ограничивал себя лишь одной областью науки: он вошел в историю как математик, философ, естествоиспытатель и изобретатель. Кроме того, его интересовала астрология, он составлял гороскопы Петрарки, Лютера, Христа, английского короля Эдуарда VI. Папа римский пользовался услугами Кардано-астролога и покровительствовал ему. Кардано умер в Риме. Существует легенда, будто он составил свой гороскоп и предсказал, что умрёт 21 сентября 1576г. Дабы поддержать собственную славу астролога, к назначенному сроку он уморил себя голодом в Риме. Даже если это и вымысел, суть характера Карлано передана очень верно.
Самой известной книгой Кардано стал трактат по алгебре под названием «Великое искусство», опубликованный в 1545 г. Книга содержала формулы решения кубического уравнения – секрет Даль Ферро и Тартальи. В рукописи Кардано «Книга об игре в кости» (1526), опубликованной лишь в 1663г., рассматривались многие задачи, связанные с бросанием двух и трех игральных костей и выпадением на верхних гранях определенного числа очков. Кардано полагал, что азартные игры были изобретены Галамедом во время десятилетней осады Трои. Кардано описывает даже различные приемы жульничества, связанные с играми в кости.

Задача. Составить таблицу совпадений шансов: а) при метании двух костей; б) при метании трех костей.

Ответ. а) – в таблице 2, б) – в таблице 3.

Таблица 2

Таблица 3

3. Историческая задача Галилео Галилея

Наиболее полное решение задачи о числе всех возможных исходов при бросании трёх игральных костей дал Галилео Галилей (1564–1642) в работе «О выходе очков при игре в кости». Впервые она была опубликована в 1718 году.

Галилео Галилей родился в Пизе, теперешней Италии, в знатной, но обедневшей семье музыканта. Галилео был похож на своего отца: учился играть на лютне и органе, любил музицировать. Свои первые уроки Галилео получил дома, с учителем. Особенно ему нравились рисование, поэзия, математика. Когда ему исполнилось одиннадцать, лет семья переехала во Флоренцию и Галилео продолжил образование в монастыре бенедиктинцев, где изучал грамматику, арифметику, риторику и другие предметы. В семнадцатилетнем возрасте он поступает в университет и готовится стать врачом. Но это ему не нравилось. Он озорничал, дерзил, постоянно возражал преподавателям, за это они его прозвали крикуном. Из любознательности  Галилео читал труды по математике, механике, астрономии. В 25 лет он становится профессором кафедры математики в Пизанском университете и делает свои открытия.
Рассказывают, что однажды к Г. Галилею явился солдат и попросил помочь ему в решении вопроса, который длительное время не давал ему покоя. [6]

Задача. Какая сумма 9 или 10 очков при бросании трех костей выпадает чаще?

Решение. Может показаться, что шансы равны, так как каждая сумма из 9 и 10 очков может быть получена одним их шести способов:

9 = 1 + 2 + 6 = 1 + 3 + 5 = 1 + 4 + 4 = 2 + 2 + 5 = 2 + 3 + 4 = 3 + 3 + 3;
10 = 1 + 3 + 6 = 1 + 4 + 5 = 2 + 2 + 6 = 2 + 3 + 5 = 2 + 4 + 4 = 3 + 3 + 4.

Однако с учетом перестановок для суммы 9 очков получается 25 различных способов (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1), а для суммы 10 очков – 27 различных способов (6 + 6 + 3 + 6 + 3 + 3). Как видно, шансы этих случайных событий довольно близки между собой и относятся к друг другу как 25 : 27, что и вызвало затруднения солдата.

Ответ. Чаще выпадает сумма 10.

4. Историческая задача Христиана Гюйгенса

Гюйгенс Христиан (1629–1695) нидерландский математик, физик, механик и астроном. Он один из основоположников волновой оптики. Автор одного из первых трудов по теории вероятностей.

Одаренность Христиана проявилась уже в раннем возрасте. Восьми лет он уже изучил латынь и арифметику, учился пению, а десяти лет познакомился с географией и астрономией. В 1641 его воспитатель писал отцу ребенка: «Я вижу и почти завидую замечательной памяти Христиана», а двумя годами позже: «Я признаюсь, что Христиана нужно назвать чудом среди мальчиков». А мальчик в это время, изучив греческий, французский и итальянский языки и освоив игру на клавесине, увлекся механикой. Также он охотно занимается и плаваньем, танцами и верховой ездой.
Шестнадцати лет Христиан вместе со старшим братом Константином поступает в Лейденский университет для подготовки по праву и по математике (последнее охотнее и успешнее; одну из его работ преподаватель решает переслать Декарту). Через 2 года а Христиан с младшим братом переезжает в Бреду, в «Оранскую коллегию». Отец готовил и Христиана к государственной службе, но у того были другие устремления. В 1650 г. он возвращается а Гаагу, где его научной деятельности мешали только преследовавшие его некоторое время головные боли. Круг научных интересов Гюйгенса продолжал расширяться. Он увлекается трудами Архимеда по механике и Декарта по оптике, но не перестает заниматься и математикой.
Научную деятельность Гюйгенс начал в 1651-м г. сочинением о квадратуре гиперболы, эллипса и круга. Он изобрел способ замены дробей с громоздкими числителями и знаменателями на так называемые «подходящие дроби», участвовал в применении методов математического анализа для определения числа , использовал свойство циклоидов в часовом механизме, изучал касательные к различным кривым. В 1655 он самостоятельно занялся поиском метода решения задач справедливого разделения ставки. В 1657 появляется труд Гюйгенса «О расчетах при игре в кости» – одна из первых работ по теории вероятностей. В 1665 он избирается членом Парижской академии наук. [9]
Однажды к Гюйгенсу обратился наемный ландскнехтский солдат – азартный игрок с проблемой о том, что, его многолетний опыт показывал:  11 очков появляется несколько чаще, чем 12 очков. Так ли это?

Задача. При одновременном бросании трех игральных костей какая сумма выпавших на них очков должна появляться чаще – 11 или 12?

Решение. Представим 11 и 12 очков шестью различными способами:

11 = 1 + 4 + 6 = 1 + 5 + 5 = 2 + 3 + 6 = 2 + 4 + 5 = 3 + 3 + 5 = 3 + 4 + 4;
12 = 1 + 5 + 6 = 2 + 4 + 6 = 2 + 5 + 5 = 3 + 3 + 6 = 3 + 4 + 5 = 4 + 4 + 4.

С учетом возможных перестановок для 11очков получили 27 различных случаев (6 + 3 + 6 + 6 + 3 + 3), а для 12 очков – 25 случаев (6 + 6 + 3 + 3 + 6 + 1). В своем трактате «О расчете в азартных играх» Гюйгенс указал, в частности, сколькими способами при бросании двух костей можно получит ту или иную сумму очков. Для одновременного бросания трех костей Гюйгенс составил таблицу для числа очков различных возможных случаев.

Ответ. Чаще появляется 11 очков.

5. Историческая задача Исаака Ньютона

Ньютон Исаак (1643–1727), английский математик, механик, астроном и физик, создатель классической механики.

Он  появился на свет в небольшой деревушке в семье мелкого фермера, умершего за три месяца до рождения сына. Младенец был недоношенным. Бытует легенда, что он был так мал, что его поместили в овчинную рукавицу, лежавшую на лавке, из которой он однажды выпал и сильно ударился головкой об пол. Когда ребенку исполнилось три года, его мать вторично вышла замуж и уехала, оставив его на попечении бабушки. Ньютон рос болезненным и необщительным, склонным к мечтательности. Его привлекала поэзия и живопись, он, вдали от сверстников, мастерил бумажных змеев, изобретал ветряную мельницу, водяные часы, педальную повозку. Трудным было для Ньютона начало школьной жизни. Учился он плохо, был слабым мальчиком, и однажды одноклассники избили его до потери сознания. Переносить такое унизительное положение было для самолюбивого Ньютона невыносимо, и оставалось одно: выделиться успехами в учебе. Упорной работой он добился того, что занял первое место в классе.
Интерес к технике заставил Ньютона задуматься над явлениями природы; он углубленно занимался и математикой. За шесть лет Ньютоном были пройдены все степени колледжа и подготовлены все его дальнейшие великие открытия. В 1665 г. Ньютон стал магистром искусств. В этом же году, когда в Англии свирепствовала эпидемия чумы, он решил временно поселиться в Вулсторпе. Именно там он начал активно заниматься оптикой.  В 1668 Ньютон вернулся в Кембридж и вскоре он получил Лукасовскую кафедру математики. Эту кафедру до него занимал его учитель И. Барроу, который уступил кафедру своему любимому ученику, чтобы материально обеспечить его. К тому времени Ньютон уже был автором бинома и создателем (одновременно с Лейбницем, но независимо от него) метода флюксий — того, что ныне называется дифференциальным и интегральным исчислением. 1687 г. вышел в свет его основной труд «Математические начала натуральной философии» — основа механики всех физических явлений, от движения небесных тел до распространения звука.
С именем Ньютона связаны задачи и по теории вероятностей, в частности, с расчетами в азартных играх. Когда-то Самуэль Пепайс послал Ньютону длинное и запутанное письмо по поводу новых игр с костями, которые он собирался опробовать. Для выяснения, какая из них выгоднее, Пепайсу нужен был ответ на сформулированный в условии задачи вопрос.  Ньютон дал исчерпывающее решение задачи, опираясь на формулу Я.Бернулли. [9]

Задача. Какое из событий более вероятно:

1. появление, по крайней мере, одной шестерки при подбрасывании шести костей;
2. появление хотя бы двух шестерок при подбрасывании 12 костей;
3. появление не менее трех шестерок при бросании 18 костей?

Решение. Вероятность появления не менее i (i = 1, 2, 3) шестерок соответственно при подбрасывании 6i (i = 1, 2, 3) костей равна:

Ответ. Предпочтительнее поставить пари на появление, по крайней мере, одной шестерки при подбрасывании 6 костей.

6. Историческая задача Готфрида Вильгельма Лейбница

Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646–1716) родился в семье юриста. Отец рано распознал гениальную натуру сына. И старался развить в ребенке любознательность, рассказывая эпизоды из священной и светской истории. Мальчику не было и семи лет, когда он потерял отца. Мать, заботясь об образовании сына, отдала его в школу Николаи, одной из лучших в Лейпциге.

В двенадцатилетнем возрасте он пытался во всем отыскивать «единство и гармонию» и понять, что наука существует для человека, а не наоборот. Ему легко давались иностранные языки. В четырнадцать лет в нем открылся талант поэта.  Натура Лейбница отличалась жаждой новизны. Он стал вдумываться в истинную задачу логики как классификации элементов человеческой деятельности.
Пятнадцатилетним юношей он становится студентом Лейпцигского университета. По своей подготовке Готфрид значительно превосходил многих студентов. Характер его занятий был крайне разносторонним: он читал все без разбора, богословские трактаты наряду с медицинскими. Но много терял от плохой математической подготовки. Кроме лекций по юриспруденции, он усердно посещал философию, математику. Политическая деятельность отвлекала его от занятий математикой. Но, тем не менее, все свободное время он посвящал обработке изобретенного им дифференциального исчисления. В июле 1697 года Лейбниц впервые встретился с Петром Великим. А в 1711 году набросал план реформы учебного дела и проект учреждения Петербургской академии наук. [9]

Задача. Найти количество исходов (без повторений) при одновременном бросании n игральных  костей, если n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Ответ. Количество исходов (без повторений) для nкостей будет    равно   ,  где    n = 1, 2, 3, 4, 5, 6.

Искомые результаты можно свести  в таблицу 4.

Таблица 4

7. Историческая задача шевалье де Мере

В средние века среди феодальной знати были широко распространены азартные игры. Большим любителем таких игра был француз шевалье де Мере. Страстного игрока в кости, придворного французского короля шевалье де Мере можно отнести к числу основателей теории вероятностей. Заслуга его состоит в том, что он настойчиво заставлял математиков решать различные задачи, на которые наталкивался сам во время своей практики игры. Он хотел разбогатеть при помощи игры в кости. Для этого шевалье придумывал различные усложненные правила игры. Страстному игроку, но плохому математику, де Мере посчастливилось иметь такого друга, как Паскаль.

Блез Паскаль  (1623–1662) –  французский математик, физик, религиозный философ и писатель автор работ по арифметике, теории чисел, алгебре, теории вероятностей, теории воздушного давления; один из основоположников гидростатики, установил ее основной закон сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии; сконструировал суммирующую машину. Работу над ней он начал в 19-летнем возрасте, наблюдая за расчетами отца – сборщика налогов. Суммирующая машина Паскаля представляла собой механическое устройство с многочисленными шестеренками. С ее помощью можно было складывать числа, вращая колесики с делениями от 0 до 9, связанные друг с другом таким образом, что избыток над девяткой переносился на следующее колесико, продвигая его на единицу вперед. Были отдельные колесики для единиц, десятков, сотен. Машина не могла выполнять никаких других арифметических действий, кроме сложения. Вычитать, умножать или делить на ней можно было лишь путем многократного сложения (вычитания). Изобретенный Паскалем принцип связанных колес стал основой для вычислительных устройств следующих трех столетий.
В 1654 г. шевалье де Мере обратился к французскому физику, математику и философу Блезу Паскалю за помощью в разрешении проблем связанных с вероятностью благоприятных результатов при бросании игральных костей. Де Мере часто побеждал, и с каждым разом найти партнера на такую игру было все сложнее, и он изменял условия пари. Когда де Мере стал чаще проигрывать, чем выигрывать, пришлось обратился к Блезу Паскалю: при каких условиях игра стала бы благоприятной для него. [ 1; 5]

Задача. Игральная кость бросается четыре раза. Рыцарь бился об заклад, что при этом хотя бы один раз выпадет шесть очков. Какова вероятность выигрыша для рыцаря?

Решение. Так как при каждом бросании игральной кости имеется 6 различных возможностей, то при четырех бросаниях кости число различных возможных случаев будет  6 · 6 · 6 · 6 = 1296. Но среди этих 1296 случаев будет 5 · 5 · 5 · 5 = 625 таких, где шестерка не появлялась ни разу, а в 1296 – 625 = 671 случае хотя бы один раз из четырех выпадает шестерка. Следовательно, вероятность выпадения хотя бы одной шестерки при четырех бросаниях кости равна 671/1296, т.е. больше 1/2. Это значит, что, чем больше рыцарь играл, тем больше он выигрывал. Оказываясь постоянно в проигрыше, противники рыцаря перестали играть по этим правилам с де Мере.

Ответ. Больше 1/2.

8. Историческая задача Якоба Бернулли

Якоб Бернулли (1654 – 1705) родился в семье великих математиков. По желанию отца он готовился к званию протестантского священника. Окончил Базельский университет, где изучал философию, богословие и языки. Испытывая непреодолимое влечение к математике, изучал ее тайком от отца. В 1671 году получил степень магистра философии. Читал проповеди. В тоже время продолжал пополнять свои знания по математике без учителя, почти без учеников. Несколько лет молодой человек, самоучкой овладевший математикой, учительствовал в частных домах. В 1687 году Бернулли становится профессором математики Базельского университета.

Основные научные интересы Якоба были сосредоточены на развитии и приложении математического анализа, а также он обнаружил фундаментальный факт теории вероятностей, получивший название закон больших чисел. [7]

Задача. Рассмотрим некоторые события, которые могут произойти в результате подбрасывания игральной кости: А – выпадает «шестерка»; В – выпадает нечетное число очков; С – выпадает число очков, кратное трем; D – выпадает число очков, некратное трем; Е – выпадает меньше семи очков; F – выпадает больше шести очков. Опишите совокупность всех исходов каждого из описанных событий при подбрасывании игральной кости. Найдите вероятности этих событий.

Решение. Совокупность всех исходов при подбрасывании игральной кости опишем следующим образом: = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Таким образом, общее число исходов равно 6. Совокупности исходов для событий опишем следующим образом:

А={6}, В={1, 3, 5}, С = {3, 6}, D={1, 2, 4, 5}, Е ={1, 2, 3, 4, 5, 6}, F={ }. Таким образом, число исходов, благоприятствующих событию А, равно 1, событию В – 3, событию С – 2, событию D – 4, событию Е – 6 и событию F – 0. Найдем вероятности этих событий как число, равное отношению числа исходов, благоприятствующих событию, к общему числу исходов, которые являются еще и несовместными, и равновозможными.

Таким образом, мы показали, что число благоприятных исходов всегда больше, либо равно 0 и меньше, либо равно общему числу исходов.

Ответ. Вероятность случайного события может изменяться от 0 до 1.

Используемая литература:

1. Афанасьев В.В., Суворова М.А. Школьникам о вероятности в играх. Введение в теорию вероятностей для учащихся 8-11 классов. – Ярославль: Академия развития, 2006. –192 с.
2. Баврин И.И., Фрибус Е.А. Занимательные задачи по математике. – М.: ВЛАДОС, 1999. – 208 с.
3. Глейзер Г.И. История математики в школе: IX-X кл. Пособие для учителей. – М.: Просвещение, 1983. – 351 с.
4. Дорофеева А.В. Страницы истории на уроках математике. – Львов: Квантор, 1991. – 97 с.
5. Лютикас В.С. Факультативный курс по математике: Теория вероятностей. Учебное пособие для 9–11 кл. сред. шк. – М.: Просвещение, 1990. – 160 с.
6. Миттон Ж. Галилей / пер. с англ. В. Леви. – М.: ЗАО «Ассоциация КОН», 1998. – 32с.
7. Никифоровский В.А. Великие математики Бернулли. – М.: Наука, 1984. – 180 с.
8. Пичурин Л.Ф. За страницами учебника алгебры. Кн. для учащихся 7-9 кл. общеобразоват. Учреждений. – М.: Просвещение, 1999. – 237 с.
9. Самин Д.К. 100 великих ученых. – М.: Вече, 2000. – 592 с.
10. Энциклопедия для детей. Т.11. Математика / глав. ред. М.Д. Аксенова. – М.: Аванта+, 2002. – 688 с.