ЦЕЛИ ИЗАДАЧИ РАБОТЫ.
В жизни существуют такие процессы, которые не поддаются описанию с помощью алгебраических функций, но с достаточной точностью характеризуются различными функциями. Среди этих функций важное значение имеют показательные и логарифмические функции.
Показательная функция служит математической формой выражения обширного класса процессов, имеющих общее название процессов естественного роста или убывания величин, например, строгости распада радиоактивных веществ, изменения атмосферного давления, численность населения. В раскрытии закономерностей этих процессов и используется логарифмическая функция. Без изучения этих функций школьный курс математики имел бы меньшую значимость не только в математическом образовании, но и в формировании мышления учащихся, в осуществлении связи обучения математики с жизнью.
Тема “Логарифмы” является традиционной в курсе алгебры и начал анализа средней школы, но очень трудно дается учащимся из-за сложности материала, концентрированности изложения. По действующим в настоящее время программам по математике средней школы изучение показательной и логарифмической функций планируется в конце курса алгебры и начал анализа 11-го класса /по учебнику Колмогорова/, поэтому очень мало времени отводится на изучение данного материала.
/На ЕГЭ по математике от 6 до 7 заданий на использование логарифмов и их свойств. Соответственно знания учащихся показательной и логарифмической функций намного ниже знаний свойств линейной, квадратичной и других функций, изучаемых ими на протяжении нескольких лет, следовательно, знания свойств данных функций у учащихся формальны, а все это проявляется при решении соответствующих уравнений, неравенств, систем уравнений. Учащиеся, которые захотят продолжить свое обучение в ВУЗах и колледжах, должны иметь полные и глубокие знания по данной теме.
В связи с этим и возникла необходимость в написании данной работы. Цель которой состояла в разработке методики параллельного изучения логарифмов на классных и внеклассных занятиях.
Были поставлены следующие задачи:
1. Изучить математическую и методическую литературу по данной теме.
2. Разработать систему уроков по теме: “ Изучение логарифмов на классных и внеклассных занятиях” и внедрить ее в учебный процесс.
/Попытаться научить ребят за короткий промежуток времени мыслить, критически осмысливать окружающий мир (от критического анализа текста учебника, решения задачи до выработки собственного мнения по любой обсуждаемой проблеме). Не просто дать новый материал, “навязывая” его ученикам, а обеспечить необходимую мотивацию, используя проблемные ситуации, привлечение жизненного опыта учащихся, исторические сведения./
3. Организовать процесс усвоения знаний по данной теме включением учащихся в различные виды деятельности, среди которых ведущее место занимает самостоятельная работа.
Цели и задачи определили структуру работы, которая состоит из введения, теоретической, методической частей, описания эксперимента и заключения.
В методической части были рассмотрены следующие вопросы:
1. Дифференциация содержания поисковой деятельности учащихся.
2. Требования к системе задач.
3. Целесообразность параллельного изучения данной темы на классных и факультативных занятиях.
4. Разработка методики изучения темы “ Логарифмы” на классных и факультативных занятиях.
При чем богатство этих функций и разнообразие задач, связанных с ними, позволили разработать методику дифференцированного подхода при изучении этой темы в школе. В приложении №1 мной будут приведены подробные конспекты 5 уроков, а остальные: уроки № 6 - №13--- в виде системы задач /для сильных, средних и слабых учеников/, и урок № 14 –итоговая контрольная работа – в приложении № 2.
Методика обучения строилась с учетом зоны ближайшего развития, учитывался уровень актуального развития учащихся. Внеклассные занятия способствовали усилению интереса к предмету, расширению кругозора учащихся, углублению знаний по данной теме.
Я хочу остановиться на дифференциации поисковой деятельности учеников.
Активность учебного познания, выражая собой преобразовательное отношение ученика к объектам его познания, не постоянная, раз навсегда заданная величина. Какой бы незначительной она не была, она всегда связана с возникновением в сознании ученика проблемы.
Единое содержание учебных программ, которыми призваны овладеть ученики наших школ, обуславливает необходимость постановки перед ними единых проблем. Прием этот на первый взгляд кажется учителю простым. Между тем, в действительности он представляет весьма сложную дидактическую задачу. Эту сложность ему придают различия в уровне развития познавательных способностей учеников, их неодинаковый познавательный опыт.
В школе любой учебный класс состоит из учащихся с неодинаковыми уровнями развития и степенью подготовленности, разной успеваемостью и отношением к учебе, разными интересами. Учитель реально не в состоянии равняться на всех одновременно, поэтому он вынужден вести обучение применительно к среднему уровню подготовленности и успеваемости, то есть ориентируется на среднего ученика. В этом случае “сильные” ученики искусственно сдерживаются в своем развитии, а “слабые” теряют интерес к учению, обрекаются на хроническое отставание. Таким образом, происходит искусственное торможение в развитии определенной части класса / “сильных” и “слабых” /.
Успешное разрешение этой задачи в целом зависит от того, как учитель будет управлять вхождением учеников в единую для них проблему, ее решением и проверкой полученных результатов. В поисках средств развития активности учения, самостоятельности учеников, в процессе обучения учителя пришли к необходимости дифференцировать свою деятельность, а равно и деятельность учеников. Необходимо параллельно дифференцировать содержание деятельности учителя и учеников, обогатив его образами, понятиями и умениями, с помощью которых все ученики могли бы овладеть проблемой, решать предложенную познавательную задачу. Проверять полученные результаты.
Вхождение в проблему разных учеников класса, означающее начало познания, происходит обычно неодновременно и неодинаково. Различия в характере образов, понятий и операций, которыми эти ученики владеют, обуславливают и различия в способах и темпах их вхождения в проблемы, поставленные перед ними учителем.
Принцип индивидуализации обучения исходит из необходимости ориентироваться в обучении на различные типы учеников.
Индивидуально-психические особенности должны учитываться при выборе и применении отдельных приемов и методов обучения, при дозировке классных и домашних заданий, определении вариантов контрольных работ. Однако индивидуализация обучения не означает, что каждый ученик обучается независимо от других, индивидуально. Индивидуализация обучения означает, что оно ориентируется на индивидуально-психические особенности учащихся.
Под дифференцируемым обучением понимают такую организацию учебно-воспитательного процесса на уроке, при которой класс разбивается на несколько непостоянных групп, в каждую из которых включаются учащиеся с примерно одинаковой успеваемостью и уровнем знания предмета. Учебная работа с этими группами ведется параллельно с учетом индивидуальных особенностей и способностей учащихся, придерживаясь общих целей обучения. Составы групп не являются постоянными, они могут и должны меняться в зависимости от результатов усвоения учащимися каждой темы учебного материала, поскольку уровень знаний учащихся находится в динамичном развитии и может изменяться в сторону повышения или понижения в зависимости от множества фактов психического, педагогического и социального характера. Группы тесно связаны друг с другом. Наиболее старательные из слабых и средних групп через определенные промежутки времени переходят в более сильные. Обратный процесс при правильной организации учебно-воспитательного процесса почти исключается.
Методику обучения для всех групп учащихся необходимо строить с учетом зоны ближайшего развития: обучение должно учитывать уровень актуального развития учащихся каждой группы и быть направленным в зону ближайшего развития. Эти термины были введены Л.С. Выгодским:
Уровень актуального развития – это уровень подготовленности ученика, который характеризуется тем, какие задания ученик может выполнить самостоятельно.
Зона ближайшего развития – задания, которые ученик не может выполнить самостоятельно, но справляется с ними с небольшой помощью. Зона ближайшего развития позволяет охарактеризовать возможности и перспективу развития.
На уроках математики целесообразно сочетать фронтальную работу со всем классом с элементами дифференцированного подхода к различным группам учащихся на разных этапах урока. Так, в процессе объяснения и первичного закрепления нового материала форма работы преимущественно должна быть фронтальной.
При формировании умений и навыков наиболее приемлемыми являются дифференцированное обучение. При этом возможно сочетание индивидуальной работы с отдельными учащимися, в основном отстающими / с целью восстановления пробелов в знаниях /, с полностью самостоятельным решением творческих заданий группой наиболее успевающих учащихся.
Представляется целесообразным дифференцировать не общие проблемы, а подходы к их решению путем привлечения недостающих элементов в содержании образов, понятий, способов.
В качестве критерия первоначального разбиения учащихся на группы в процессе обучения математике наиболее целесообразно взять уровень знаний учащихся, который является внешним проявлением их интереса к предмету, способностей и работоспособности в их совокупности. Он может быть установлен учителем в сравнительно короткий срок и оценен с большей достоверностью по 5-ти бальной системе оценок.
Лучше разделить первоначально класс на 3-4 непостоянные группы:
1 группа – учащиеся, успевающие по математике только на “отлично”, имеющие прочные знания по математике.
2 группа – учащиеся, имеющие “твердую” 4 по математике или получающие текущие “4” и “5”.
3 группа – учащиеся, успевающие на “3”.
4 группа – учащиеся, успевающие на “2” /если такие есть/.
Данное деление является первоначальным, неокончательным в силу следующих причин:
1.В силу непостоянства уровня знаний учащихся, его динамического развития.
2.В силу субъективизма деления класса на группы.
Содержание факультативных занятий должно отвечать запросам учеников, способствовать проявлению их индивидуальности.
В отличие от обычных уроков в ходе факультативных занятий целесообразно дифференцировать как те проблемы, которые предлагаются учителем, так и те, которые выдвигаются по собственной инициативе учащихся. Дифференциацию содержания учебной деятельности учеников организовать бывает тем легче, чем больше учеников в классе тяготеют к данному предмету.
Применительно к учебно-поисковой деятельности учеников дифференциация нужна всегда!
Она предусматривает внесение ряда коррективов в затраты времени, в существующие организационные формы проведения учебных занятий, а также и в практикуемую систему оценки знаний учеников. Дифференциация содержания поисковой работы учеников, предоставление медленно соображающим ученикам дополнительного времени на полноценное оформление задания, измененная практика организации урока, а также и выставления оценок – направлены к одной цели, преследуют одну задачу – активизация процесса учения.
Итак, при дифференциации содержания поисковой деятельности учеников необходимо исходить из следующих дидактических условий:
- Задача, которую ставит перед учениками класса учитель, должна быть единой – это сближает содержание их познавательного опыта.
- Деятельность каждого ученика должна быть направлена на приобретение ими необходимых знаний на основе обогащения имеющегося у него запаса представлений, понятий.
- Временной и организационный режим классно- урочной системы должен быть предельно гибким.
Управляя на этих основах поисковой деятельностью учеников, решающих единые проблемы, учитель обязательно сумеет добиться необходимой ее активации, следовательно, и лучшего, более глубокого восприятия ими учебного материала.
Требования к системе задач.
Поисковая деятельность ученика – это овладение им проблемой, поиск решения предложенной познавательной задачи, а также проверка полученных результатов, вхождение учеников в общие проблемы и поиск их решения.
Содержание познавательного ответа школьника, как известно, ограничено. Обогащение этого содержания, предусматриваемое учебными планами, становится возможным лишь тогда, когда учителю удается подвести учеников к овладению определенными проблемами, организовать поиск решения этих проблем, а затем проверку результата в решении.
Процесс поиска во всех случаях обогащает учеников знаниями и умениями. Дидактика – воспитательное ее значение невозможно переоценить. Однако этот процесс протекает более эффективно, если учитель им управляет.
Управление поиском учеников предусматривает, совершенно определенные моменты в деятельности учителя:
1. Создание проблемной ситуации, в том числе выделение основной проблемы и тех частных вопросов, которые в нее входят.
2. Ориентировка учеников в способах решения проблемы.
3. Корректирование способов и результатов решения проблемы.
При введении учеников в проблемную ситуацию учитель продумывает, какую часть имеющихся у них знаний актуализировать. Введение ученика в проблемную ситуацию требует от учителя, прежде всего ясного представления о том, как содержание нового объекта познания будет сочетаться с тем, что ученикам уже известно.
Успех ориентировки учеников на решение проблемы во многом предопределяется предваряющим моментом – введением их в проблему, чем многостороннее ученики улавливают проблему, тем полнее перед ними вырисовываются многообразные пути ее решения.
Очень важно, чтобы учитель на этом побуждал своей деятельностью ученика к проявлению инициативы в поиске средств решения проблемы. Именно с этой целью учитель и дифференцирует содержание поисковой деятельности.
В процессе поисковой деятельности каждый ученик решает проблему по-своему. Задача учителя обобщить эти результаты, внести в деятельность отдельных учеников необходимые коррективы и, охарактеризовав наиболее общие стороны, свойства решаемой проблемы, добиться слияния индивидуальных усилий учеников.
Такая корректировка учителем способов и результатов поисковой деятельности учеников закрепляет их знания, умения.
Важнейшим условием успешного управления со стороны учителя проблемно-поисковой деятельностью учеников, является тщательность планирования им как деятельности учеников, так и своей собственной.
“Активность учителя должно соединяться с активностью учеников в единое гармоническое целое”./ Б. Наврочинский./
Подготовка учеников к поиску нового для них не менее сложна, чем самый поиск. Учитель должен научить их, как преодолеть любое имеющееся или возможное затруднение в поисковой деятельности, а в процессе поиска оказать реальную помощь, если в ней возникла надобность.
Задачи играют особую роль в обучении математике. Эта роль определяется, с одной стороны, тем, что конечные цели этого обучения сводятся к овладению учащимися методами решения определенной системы математических задач. С другой стороны, она определяется и тем, что полноценное достижение целей обучения возможно лишь с помощью решения учащимися системы учебных и математических задач. Таким образом, решения задач в обучении математике выступают и как цель, и как средство обучения.
Задавая систему задач, мы тем самым определяем систему действий обучаемых, намечаем структуру познавательного процесса.
Система задач должна удовлетворять следующим требованиям:
1. Активизировать участие обучаемых в составлении приема /способа / решения определенного класса задач.
2. Включать в себя задачи, которые ранее были изучены в данной теме.
3. Строиться по принципу “от простого” к “сложному”.
4. Включать в себя задачи, которые сочетаются с “непрерывным” повторением пройденного.
5. Формировать умение выяснять тип и метод решения задач.
6. Быть доступной.
Методическая часть.
Так для чего же были придуманы логарифмы и тем более, зачем же их изучают в курсе средней школы?
1. Тема “Логарифмы”, изучаемая в курсе школы имеет большое значение.
Великие труды, проделанные учеными на протяжении нескольких столетий, были не напрасными.
а) Логарифмы служат для ускорения и упрощения вычислений, они чрезвычайно облегчают вычисления, не говоря уже о том, что они дают возможность производить такие операции, как извлечение корня любой степени.
б) Не без основания писал Лаплас, что изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов. Действительно, “величина” звезды представляет не что иное, как логарифм ее физической яркости. Оценивая видимую яркость звезд, астроном оперирует с таблицей логарифмов.
в) Логарифмы дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, а кроме того - возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем: целям, дробным, вычислять сложные проценты.
г) Приходят логарифмы на помощь и в научных работах. Иногда оказывается недостаточной точность 14-значных логарифмов, но среди 500 всевозможных логарифмических таблиц, вышедших в свет со времен их изобретения, исследователь всегда найдет такие, которые его удовлетворят.
2. Тему “Логарифмы” в курсе средней школы целесообразно изучать параллельно на уроках и внеклассных занятиях.
Внеклассные занятия способствуют усилению интереса к предмету, расширению кругозора учащихся, углублению знаний по данной теме.
Они позволяют полнее, чем на уроках вскрыть практическое значение темы “Логарифмы”, ознакомить с историей развития учения о логарифме, содействуют развитию умений самостоятельно работать над задачами по данной теме.
Внеклассные занятия могут проходить в разнообразной форме:
- Индивидуально с одаренными детьми
- Математические кружки
- Математические факультативы и др.
Параллельное изучение темы “Логарифмы” способствует более полному развитию потенциально творческих способностей каждого ученика.
Каждая задача имеет идейную и техническую сложность и трудность.
Идейная часть решения дает ответ на вопрос: как решать задачу.
Техническая часть представляет собой реализацию найденной идеи.
Есть задачи, в которых главное – найти идею решения, а техническая, по существу, отсутствует.
Есть задачи, в которых идея решения, путь решения достаточно очевидны, однако их реализация требует очень большой по объему вычислительной работы, так что довести решение до числа оказывается под силу далеко не каждому.
И, наконец, есть задачи, в которых идейная и техническая части приблизительно равнозначны.
Занятия на факультативах в равной степени способствуют повышению как идейной, так и технической подготовки учащихся.
С одной стороны, регулярное идейное обогащение, с другой – развитие технических возможностей, увеличение объемов проводимых без ошибок выкладок.
Задача – самостоятельный поиск решения – разбор ее решения – выделение идеи.
4. Важным требованием к факультативной работе является учет возрастных и индивидуальных способностей учащихся. Этот принцип предполагает, что задачи и содержание факультативных занятий будут соответствовать возможностям учеников. Они будут посильными для них и, вместе с тем, будут учитывать стремление учащихся в старшем возрасте к исследовательской деятельности.
5. Одной из особенностей учащихся старших классов является возросшая у них потребность в объяснении того, что и зачем они делают, зачем изучают данный материал. Поэтому основные задачи, которые ставит учитель при изучении темы “Логарифмы” состоят в следующем:
- Довести до понимания учащихся темы “Логарифмы”
- Учебная задача состоит в том, чтобы учащиеся овладели некоторой системой фактических знаний, приобрели необходимый запас конкретных сведений по теме “Логарифмы”, овладели определенными навыками и умениями при решении задач с помощью логарифмов; связать эту тему с другими дисциплинами; т.е. осуществить межпредметные связи.
- Воспитательная задача – развитие определенных качеств личности: аккуратность, внимание, умение запоминать; развитие творческих способностей; интереса к познанию.
При правильной постановке обучения эти три задачи решаются одновременно и в единстве.
Проведенный эксперимент по теме: “Параллельное изучение логарифмов на классных и внеклассных занятиях” дал возможность перейти к подготовке к Единому Государственному Экзамену по математике /конкретно по логарифмам/. В итоге был проведен открытый урок по теме: “Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства”.
Тема урока: Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Логарифмические уравнения и неравенства.
Цели: Повторить свойства логарифмов и логарифмической функции. Упражнять в решении логарифмических уравнений и неравенств, наиболее часто встречающихся на едином государственном экзамене.
План урока.
| 1. Организационный момент. | /1 мин./ |
| 2. Сведения из истории. | /3 мин./ |
| 3. Повторение теоретического материала. /Слайды./ | /5 мин./ |
| 4. Работа устно. | /3 мин./ |
| 5. Решение упражнений. | /20 мин./ |
| 6. Тестирование. | /6 мин./ |
| 7. Итог урока. | /1 мин./ |
| 8. Домашнее задание. | /1 мин./ |
Тема сегодняшнего урока: Логарифмы и их свойства. Логарифмическая функция. Решение логарифмических уравнений и неравенств.
Задача, которая стоит сегодня на уроке: повторить определение, свойства логарифмов, логарифмической функции. Уметь применять их при решении примеров из ЕГЭ. Так как 6-7 заданий на едином государственном экзамене встречаются на использование логарифмов и логарифмической функции. Я попыталась сгруппировать такие задания, а вы сегодня попытаетесь их решить.
Перед вами 3 листа:
1 лист включает в себя задания, которые мы будем с вами решать в классе.
2 лист содержит тест, который вы будете выполнять в конце урока, чтобы выяснить, что вы усвоили на уроке.
3 лист – домашнее задание.
Хочется начать урок с исторических сведений о логарифме.
Из истории логарифмов:
Логарифм – это греческое слово, которое состоит из 2-х слов: “логос”- отношение, “аритмос”- число. Значит, логарифм есть число, измеряющее отношение.
Этот термин был введен в 1594 году шотландским математиком Джоном Непером, который не был математиком по профессии, имел имение, занимался земледелием и изобретением приборов.
Выбор такого названия объясняется тем, что, действительно, логарифмы возникли при сопоставлении 2-х чисел, одно из которых является членом арифметической прогрессии, а второе - членом геометрической прогрессии.
Введение логарифмов позволяло производить быстро сложные вычисления. Были созданы первые таблицы логарифмов. Сначала они были 14-тизначные, постепенно усовершенствовались, сейчас есть 6-тизначные таблицы логарифмов.
Необходимо было упростить вычисления. Как вам известно, существуют действия трех ступеней:
1.сложение и вычитание.
2.умножение и деление.
3.возведение в степень.
Так вот логарифмы позволили перейти от сложных действий третьей ступени к действиям второй, а затем первой ступени. Т.е. от возведения в степень к умножению, от умножения к сложению, от деления к вычитанию. Таким образом, логарифмы чрезвычайно облегчают вычисления. Дают возможность находить сразу произведение любого числа множителей, возвышать в любую степень и извлекать корни с любым показателем.
Повторим: 1. Определение логарифма. /Cлайды/. /Приложение № 3/ .
/С помощью проектора высветить на экран необходимые понятия, определения, примеры для устного счета и фрагменты решений некоторых примеров./
2.Основное логарифмическое тождество.
3.Основные свойства логарифмов.
4.Логарифмическую функцию.
Работа устно: слайды на экране. /Приложение № 4/.
На каком свойстве логарифмической функции основано решение логарифмических неравенств?
Итак, мы с вами повторили теоретический материал. Попытаемся решить упражнения.
Решить в классе.
I. Найти значения выражения.
А3 1) log3b, если log3b5=30
1) 15;
2) 243;
3) 3;
4) 6
А5 2) log3(9а), если log3а3=12
1) 0,5;
2) 6;
3) 13;
4) 8
А4 3) 
1)
54; 2) 5; 3) 27; 4) 243
II. Вычислить:
В1 1) 
log212-
log23+3
)0.5
lg5
В3 2) 7log
13
3 log13-1.5 log58
log25
В4 3) 13log 9
(27
)
III. Логарифмические уравнения. 1.Решить уравнение.
В1 6
2log
x =8x-5
2. Решить уравнение (Устно)
В2 log3x = log38+log32
A4 3. Укажите промежуток, которому принадлежит корень
уравнения: log2(3x-6)9=27
1) (0; 1): 2) (1; 4): 3) (4; 9): 4) (10; 20)
В3 4. log6(2x+42)+ log6(x-9)= log6x
В7 5. Найти наименьший корень уравнения.
log3(x+1)2+log3|x+1|=6
IV. Найти область определения функции: /Решение представлено в виде слайдов/. См. приложение № 3.
А7 1) f(x)=ln(x2+3x)
A8 2)
f(x)=
V. Решить неравенство:
А9 1) 
VI. Найти значение выражения (x0+у0), если (x0;у0) является решением системы уравнений.
В4 
VII. Найти все значения Х, при каждом из которых расстояние между соответствующими точками графиков функций
С1 F(x)=
и g(x)=10 меньше, чем 2.
Итак, подведем итог урока. Мы с вами сегодня повторили основные свойства логарифмов, логарифмической функции. Использовали их при решении заданий, встречающихся на Едином Государственном Экзамене. Домашнее задание - у каждого на парте. К следующему уроку попытайтесь решить как можно больше из предложенных заданий.
А сейчас – в вашем распоряжении 5 минут для выполнения самостоятельной работы: теста.
Лист с текстом самостоятельной работы соответствующего варианта – на парте.
Самостоятельная работа.
I вариант.
1. Найти значение выражения:
а) 4,5
-15
1) –10,5
2) 6
3) –6
4) 24
б) log4(64c) , если log4c=-3,5.
1) –6,5
2) –0,5
3) –10,5
4) –67,5
Вычислить:
а) 5log2125
log52+2lg7
5lg7
3. Решить уравнение:
а) 4
=2x+3
б) log6(4x+21)-log611=log6x
4. Решить неравенство.
Самостоятельная работа.
II вариант.
1. Найти значение выражения:
а) –2log7(73)
1) 1
2) 3-2
3) –8
4) –6
б) log416p, если log4p=-4,9.
1) –20, 9
2) –6, 9
3) –2, 9
4) –9, 8.
2. Вычислить:
3log332
log29-2lg29
5lg29
3. Решить уравнение.
а) 9
=4x+3
б) log5(4x+12)-log59=log5x
4. Решить неравенство.
log6 (4x-32) <log6 (3x)
Оценки за урок. /Выставить/.
Урок окончен. Не забудьте взять домашнее задание!
Домашнее задание.
Найти значение выражения.
а) 7
1) 315
2) 63
3) 45
4)35
б) 
+
1) 0,75
2) 0,25
3) 0
4) 0,5
в) log4(16b) при b>0, если log4b2=9
1) 6, 5 2) 5 3)8, 5 4)7
Вычислить:
а) log624+log36216+log69+14
log2532+
б) 
в) lg232+
Найти область определения функции:
а) y =
1) (-
)
2) [
3) 
4) (-
]
б) y=
1) (1; 125)
2) (0; 5]
3) [5; +)
4) (0; 25]
Решить неравенство:
-log3 (2x-4)>log1/3x
1) (2;-
)
2) (-; 4)
3) [4; +)
4) (2; 4)
5. а) Решить log8x уравнение:
10
б) Найти корень (или сумму корней, если их несколько) уравнений:
log9 (4x+39)-log917=log9x
6. Найти значение выражения х0+4у0, если (х0;у0) являются решением системы уравнений.
В4 
7. Вычислить.
В6 
8. Найти все значения переменой Х, при которых сумма соответствующих им значений функций f(x)=log2(x-3) и g(x)=log2(3x-4) не больше 3
Описание эксперимента.
Эксперимент по теме: “Параллельное изучение логарифмов на классных и внеклассных занятиях” проводила в МОУ СОШ № 131.
Были поставлены следующие цели эксперимента:
1. Выяснить какие трудности встречаются у учащихся при изучении данного материала.
2. Проверить на практике эффективность разработанной методики. Эксперимент был рассчитан на 14 часов учебного времени, состоял из 3 этапов.
А) Первый этап – проведение контрольной работы по теме “Показательная функция”, цель которой - выявить уровень знаний учащихся перед изучением данной темы.
Б) Второй этап – проведение системы уроков по разработанной методике.
В) Третий этап – итоговая контрольная работа по изученному материалу.
Разработанная методика предусматривает более доступное изложение материала, в отличие от традиционного подхода. Материал давался на более высоком уровне и задачи подбирались с большей степенью сложности.
Каждый учитель мечтает иметь учеников, умеющих думать. Логическое мышление - непременное условие успешного овладения знаниями. Школьники редко пытаются думать. Итак, при решении задач по данной теме была сделана попытка научить ребят думать: обобщать, анализировать, рассматривать всевозможные варианты, составлять свои задачи.
Был изучен следующий материал:
1. Логарифмы (понятие).
2. Основное свойство логарифмов.
3. Формула перехода от одного основания логарифма к другому основанию.
4. Логарифмическая функция.
5. Логарифмические уравнения.
6. Системы логарифмических уравнений.
7. Логарифмические неравенства.
Перед изучением нового материала проводилась контрольная работа по теме “показательная функция”, следующего содержания:
1. Построить график функции: у=3х (
) как
изменяется у при возрастании Х от -2 до 4 (от -3 до 2).
2. Решить уравнение:
а)8-3 . 4x+1=4 (27-1 . 32х+4=8)
б)2 . 3x+1 – 5 . 3x-1 =117 (3 . 4х+1 – 5 . 4х-1 =172)
3. Решить неравенство:(0,5)х -2< 0,25 (6х-7 <36)
4.*Решить уравнение:3(sinx -2)=27 (5(cosx -1)=25)
Результаты: контрольную работу писали 24 человека, получили следующие оценки:
“5” “4” “3” “2” 5 9 7 3
После объяснения и закрепления нового материала проводились контрольные срезы, цель которых – выяснить уровень усвоения нового материала, в чем допускаются типичные ошибки.
Приведу результаты контрольных срезов:
Контрольный срез №1
25 человек
“5” “4” “3” “2” 7 11 6 1
Контрольный срез №2
24 человека
“5” “4” “3” “2” 8 8 8 0
На промежуточном этапе проводилась самостоятельная работа. Приведу содержание самостоятельной работы:
| 1 вариант | 2 вариант |
| 1. Решить уравнения: | |
| log2х + log8х = 8 | log4х – log16х =  |
| 2. Найти область определения выражения: | |
 |
log  |
Результаты самостоятельной работы:
“5” “4” “3” “2” 4 10 7 2
Также проводился зачетный урок по изученному материалу после введения логарифмической функции, ее графика и свойств.
Зачет состоял из теоретической и практической частей. Перед зачетом проводился совместный урок-консультация, на котором мы вместе с учащимися разбирали трудные задачи и непонятные вопросы из теории, с которыми ребята встретились в процессе самостоятельной подготовки к зачетному уроку. Хочется отметить следующее: проведение самостоятельных работ и контрольных срезов позволило фиксировать незнание учащихся тех или иных вопросов. Во время обычных уроков трудно опросить всех учеников, и если слабый ученик получает “2”, то, как говорится “исправляет” оценку или во время опроса, или на самостоятельной, или на контрольной работе по другой теме, а, следовательно, багаж незнания растет.
Но! отличительной особенностью математики является следующее – должна быть у ученика система знаний, нельзя продолжить с учеником обучение, если не усвоен предыдущий материал. Поэтому контрольные срезы, и самостоятельные работы сразу же дают полную картину знания и незнания учащихся, то есть, что усвоено и понято, а что – нет.
А теперь немного о дифференцированном зачете: зачетные уроки – это уроки индивидуальной работы, которая служит, как и для контроля оценки знаний, так и для целей обучения, воспитания и развития.
На обычном уроке, если устраивается опрос, то “страдают” сильные ученики, т.к. приходится акцентировать внимание на материале, который вызвал затруднения у их одноклассников. “Сильным” - это, как правило, не интересно. Сдающий зачет повторяет всю тему на более высоком уровне. Происходит переосмысление материала, его систематизация. Сдающий зачет вынужден осознанно изучить теорию. При затруднениях он обращается или к дополнительной литературе, или к старшим товарищам, либо к учителю. К зачетному уроку были составлены карточки. Желающим пересдать зачет, была предоставлена такая возможность. Следует отметить, что эксперимент проводился как в урочное время, так и на факультативных занятиях, которые посещали 2/3 ребят класса, у них был живой интерес к занятиям. Т.к. материал большой, а важность его велика, учебного времени в обрез. В связи с этим и возникла идея факультативных занятий. На факультативных занятиях были решены задачи повышенной трудности, были рассмотрены свойства lg; мантисса и характеристика логарифмов, наиболее интересные области применения логарифмов, биография Владимира Модестовича Брадиса. В заключение была проведена контрольная работа такого содержания:
1. Построить график функции у = log3 х (у = log1/3 x)
Как изменяется у, когда x возрастает от 1/9 до 81 (от 1/27 до 27)
2. Решить уравнение:
log0, 2 (х2 – 4х) = -1 (log0, 25(x2+3x) = -1)
Log2 х = 1 – log2(x+1) (log4(x + 6) = 2- log4x)
3. Решить неравенство: log3(2х – 1)<2 (log4(3 – 2х)<2)
4. Решить систему уравнений:
3sinx + log3y = -5 Sinx - 3 log3y = 5 cosx + 2 log2y = -7
5.* Решить неравенство:
На контрольной работе присутствовало 24 человека. Были получены следующие оценки:
“5” “4” “3” “2” 10 8 5 1
Анализ контрольной работы позволяет сделать следующие выводы:
1. Материал “Параллельное изучение логарифмов на классных и внеклассных занятиях”, преподнесенный учащимся по разработанной методике, доступен учащимся, и в основном ими усвоен.
2. Успех усвоения материала определяется качеством знания теории.
3. Больше внимания необходимо было уделить свойствам и графику логарифмической функции, решению неравенств.
В работе были допущены следующие ошибки:
1. В основном ошибки допускались в вычислении:
а) при решении уравнений даже сильные ученики не делают проверки.
б) при решении системы уравнений не выделяют посторонние корни.
в) пишут: “график функции возрастает…”, а нужно: функция возрастает на отрезке (или от… до…).
С теми, кто получил “2” были проведены дополнительные занятия, после которых они (он-1) написал подобную контрольную работу на “3”.
Применение логарифмов было рассмотрено на внеклассных занятиях. /Приложение № 5./
Выводы экспериментальной работы:
1. Эксперимент подтвердил целесообразность проведения занятий по данной теме.
2. Возможность участия в работе учеников со средним уровнем математических способностей.
3. Проведение занятий позволило скорректировать содержание теоретических и практических вопросов темы.
Результаты экспериментальной работы отражены более ярким образом в виде презентации. /Приложение № 6/.