ПРЕДИСЛОВИЕ
Данное пособие предназначено для учащихся 9-11 классов, абитуриентов, учащихся гимназий и лицеев, для преподавателей.
“Решение неравенств” - тема очень актуальная в математике. Владея методом решения неравенств, приведенных ниже, можно решать тригонометрические, показательные и логарифмические неравенства, приводимые к квадратным. На много упростит решение этих неравенств, если ученик владеет решением всех видов неравенств приведенных в пособии.
Здесь собраны все (или почти все) виды неравенств, которые решаются методом интервалов, что облегчит подготовку при поступлении в ВУЗы.
Материал из данного пособия я применяю на уроках в 9-11 классах, на курсах при подготовке в ВУЗы, на индивидуальных занятиях.
Работу можно продолжить, рассмотрев решение других видов неравенств, показав некоторые интересные моменты решений.
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО СВОЙСТВ ЧИСЛОВЫХ НЕРАВЕНСТВ
Пусть а и b - действительные числа. Между ними имеет место одно и только одно из следующих соотношений: а = b, а> b, а<b.
Определение 1. Число а больше числа b (а < b) в том и только в том случае, если
разность а – b есть число положительное: а – b>0.
Определение 2. Число а меньшем числа b (а<b) в том и только в том случае, если разность а – b есть число отрицательное: а – b <0.
Отсюда вытекают следующие свойства неравенств.
Свойство 1. Если а>b, то b<а, и наоборот, если b<а, то а>b.
В самом деле, если а>b, то разность а – b >0. А тогда разность b – а <0, т.е. b<а. Наоборот, если b<а, то b – а <0, и значит а – b >0, т.е. а>b.
Свойство 2. Если а>b, b>с, то а>с.
В самом деле, рассмотрим разность a-c=(a-b)+(b-c). По условию а – b >0 и b – с >0. Следовательно, а –с >0, т.е. а>с.
Свойство 3. Если а>b, то при любом с а+с>b+с, т.е. неравенство не нарушается, если к каждой его части прибавить одно и тоже число.
Действительно разность (a+c)-(b+c)=(a-b)+(c-c)=a-b>0, т.е. a+c>b+c.
Следствие. Любое слагаемое можно перенести из одной части неравенства в другую, изменив при этом знак его на противоположный.
В самом деле, пусть, а+b>с. Прибавив к каждой части неравенства число (-b), получим а>с –b , т.е. слагаемое перенесено из левой части в правую с противоположным знаком.
Свойство 4. Если а>b и с>0, то ас>bс\; если а>b и с<0, то ас<bс.
Т.е. неравенство не нарушается, если обе части его умножить на одно и тоже положительное число; неравенство превращается в неравенство противоположного смысла, если обе части его умножить на одно и тоже отрицательное число.
В самом деле, если а>b и с>0, то разность ас – bс =(а-b)с есть положительное число, равное произведению двух сомножителей одинакового знака, и тогда ас>bс.
Если же а>b и с<0, то разность ас – bс =(а –b )с есть отрицательное число, равное произведению двух сомножителей противоположного знака, и тогда ас<bс.
Свойство 5. Если а>b и c>d, то a+c>b+d; если а>b и c<d, то a-c>b-d; т.е. два неравенства одинакового смысла можно почленно складывать, два неравенства противоположного смысла можно почленно вычитать, оставляя знак того неравенства, из которого вычиталось другое неравенство.
В самом деле, разность (a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d) если а – b >0 и c-d>0, и тогда a+c>b+d. Если же c<d, то d>c и d-c>0. Тогда разность (a-c)-(b-d)=(a-b)+(d-c), т.е. a-c>b-d. Свойство доказано.
Свойство 6. Если а, b, с, d положительны и а>b, c>d, то ac>bd, т.е. при почленном умножении двух неравенств, имеющих положительные члены и одинаковый смысл. Получается неравенство того же смысла.
Имеем ac-bd=(ac-bc)+(bc-bd)-(a-b)c+(c-d)b, где a-b>0, c>0, c-d>0, b>0. Отсюда ac-bd>0 или ac>bd, что и утверждалось.
Свойство 7. Если a>b>0, то при любом натуральном п ап>bn.
Доказательство. При п=1 утверждение справедливо при условии. Допустим, что утверждение справедливо при п=k, где к какое-нибудь натуральное число: аk >bk .
Умножим неравенство аk >bk почленно на неравенство а>b и получим ak+l>bk+1, т.е. утверждение справедливо и при п=к+1.
Тогда согласно методу математической индукции утверждение справедливо и для любого натурального п.
Свойство доказано.
Замечание. Можно доказать свойство 7, не применяя метод математической индукции. Используем тождество.
an – b n=(a – b )(an-1+a n-2b+... +abn-2+bn-1). Так как a>b>0, то оба сомножителя справа положительны. Поэтому ап - bп >0, т.е. ап>bп.
Свойство 8. Если а. >b>0, то при любом
натуральном п>2 
Доказательство. Предположим от противного, что Тогда в
силу свойства 7
имеем 
, т.е. а<b, что противоречит условию.
Очевидно, что нельзя предполагать и то, что 
. Следовательно
Свойства 1-8 справедливы и для нестрогих неравенств. Это следует из справедливости свойство 1-8 для строгих неравенств и известных свойств равенств.
Например, если 
, и наоборот, если 
. В самом деле,
утверждение справедливо для строгих неравенств.
Кроме того, известно, что аналогичное
утверждение справедливо и для равенств, т.е. если а=b,
то b=а, и наоборот, если b=а, то а=b.
Свойства 1-8 установленные для числовых
неравенств, сохраняется и для любых неравенств
вида: А>В, А<В, 
Определение. Два неравенства называются равносильными, если из справедливости первого вытекает справедливость второго и обратно.
Свойства 3 и 4 выражают равносильность неравенств.
А>В и А+С>В+С,
А>В и АC>ВС (C>0) где выражение А, В и С рассматривается в общей части множеств их допустимых значений. Это множество называется множество допустимых значений неравенств. ОДЗН.
1 а>b <=> а – b >0 а>b <=>b<с?a>c 2 а<b <=> а – b <0 a>b; b>c => а>с 3 для любого с a>b =>a+c>b+c
4 а>b; с > 0=>ac>bc а>Ь; с < 0 => ас<bс 5 (a>b)+(c>d) => a+c >b+d (a>b)-(c>d)=> a-c<b-d 6 a,b,c,d > 0; (a>b, c>d) => ac>bd 7 a>b>0; n N => an>bn
8 a>b>0; n
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО ОСНОВНЫХ ПРОСТЕЙШИХ НЕРАВЕНСТВ
Основные простейшие неравенства.
1. Для любых действительных чисел: 
причем равенство достигается лишь при а=b. Действительно, доказываемое неравенство равносильно очевидному (а – b ) >0.
2. Для любых положительных чисел:
а)
причем равенство достигается лишь при a=b.
Число 
называется средним арифметическим двух
положительных чисел а и b , а число 
- их
средним арифметическим.
Для доказательства неравенства запишем
очевидное неравенство 
Возводя в квадрат, получим 
откуда
 |
|
что и требовалось доказать. При этом равенстве
достигается лишь тогда, когда оно достигается в
исходном неравенстве, т.е. при 
что возможно лишь при а=b
Таким образом, среднее геометрическое двух чисел не превосходит их среднего арифметического.
Очевидно геометрическое доказательство этого неравенства. Понятие среднего арифметического и среднего геометрического вводятся и для п положительных чисел a1, a.2, ..., аn: это числа
в этом общем случае справедливо неравенство,
+
причем неравенство достигается лишь при 
б) 
Сумма
двух взаимообратных положительных чисел
больше или равна двум.
1 a,b - любое 2 a>0, b>0 3 a>0, b>0
ДОКАЗАТЕЛЬСТВО НЕКОТОРЫХ НЕРАВЕНСТВ
Перейдем к доказательству более сложных неравенств. Основные приемы их доказательств состоят в следующем:
- Доказываемое неравенство путем преобразований, сохраняющих равносильность, сводят к неравенству, справедливость которого известна.
- Путем равносильных преобразований очевидное или известное неравенство сводят к неравенству доказуемому.
- Комбинируют первый и второй методы, т.е. преобразуют как известно, так и доказываемое неравенства.
Применение таких методов покажем на следующих примерах.
Приложение 1 (примеры 1-14)
ЧИСЛОВЫЕ ПРОМЕЖУТКИ И ИХ ИЗОБРАЖЕНИЕ НА ЧИСЛОВОЙ ОСИ
Пусть а и b - действительные числа и а-b. Приведем названия, определения и обозначения числовых множеств, называемых числовыми промежутками, и их изображение на координатной прямой. Каждый из числовых промежутков определяется как множество действительных чисел, удовлетворяющих определенным неравенствам.
Приложение 1 (таблицы1,2)
Свойство рациональной функции, на котором основан метод интервалов.
МЕТОД ИНТЕРВАЛОВ
Рациональными неравенствами называются
неравенства вида Рп(х)>0 
где Рn (х); Qm(x) - многочлены n и m соответственно. Рациональные неравенства решают
методом интервалов, который основан на свойстве рациональной функции:
Рациональная функция может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки хо лишь только в том случае, если:
хо - нуль (корень) функции, либо
хо - точка разрыва; т.е. в интервале между корнями многочленов: числителя Рn (х) и знаменателя Qm(x),
рациональная функция сохраняет знак.
Метод интервалов, состоит в следующем: Находят корни числителя и знаменателя и отмечают их на числовой оси. Вся числовая ось, разбивается на конечное число интервалов, на каждом из которых левая часть неравенства:
Рn (х) >0 или 
сохраняет знак.
Для определения знака на всем интервале достаточно определить знак левой части неравенства в одной точке этого интервала; затем выбираем те интервалы, знаки которых отвечают заданному неравенству. Объединение этих интервалов и будет множеством решения.
План решения неравенств методом интервалов.
- Перенесем все члены неравенства в одну сторону.
- Приведем их к общему неравенству (знаменатель отбрасывать нельзя). Находим корни знаменателя (точки разрыва), раскладываем знаменатель на множители.
- Находим нули (корни) числителя, раскладываем числитель на множители.
Рисуем числовую ось и отмечаем на ней: а) точка разрыва “пустыми” (не заштрихованными); б) ноль функции “пустыми” не заштрихованными, если неравенство строгое, и полными черными (заштрихованными) если неравенство нестрогое.
Определяем знак функции на каждом их полученных интервалов (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения их соответствующего интервала).
Выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства на оси (показываем эту часть заштриховкой).
Записываем ответ.
Образец решения методом интервалов.
Приложение 1 (пример 15)
Решение неравенств методом интервалов
Приложение 2 (примеры 16-54)
ЗАМЕЧАНИЯ ПО ПРИМЕНЕНИЮ МЕТОДА ИНТЕРВАЛОВ
1.а) неравенства 3>0; -2<0; 2<2 являются верными; после перенесения всех членов неравенства в одну строну, нужно следить за тождественностью преобразований, нельзя сокращать на неизвестную величину, до начала любых преобразований сначала найти точки разрыва, нельзя отбрасывать знаменатель.
2. Примеры грубых ошибок:
Квадратный трехчлен раскладывайте на множители ах2 +bx+c=a(x-x1)(x-x2).
Проставив знаки функции на числовой, проверьте результат по правилу чередования знаков.
Если число хо встречается в списке корней числителя и знаменателя четной число раз, то при переходе через эту точку, функция не меняет знак, если нечетное, то меняет.
Отсюда следует, что при определении знаков можно поступать так: определяем знак в самом правом интервале, при переходе через точки хо четной кратности знак не меняем, нечетной меняем.
7. При записи ответа, читайте внимательнее
условие и не забывайте отдельные точки, где f(x)=a.
Например 
Ответ:
{-2}U(-1;-2)U{3}
Мы раскладываем числитель и знаменатель на линейные множители, однако, это действие не является строго обязательным.
Указанный способ с изменениями применим при решении любых неравенств, в заключении приведем этот способ.
ПЛАН РЕШЕНИЯ НЕРАВЕНСТВ МЕТОДОМ ИНТЕРВАЛА
Решение любого неравенства всегда можно свести к определению интервалов знакa постоянства функции.
Решение неравенств методом интервалов основано на следующем свойстве функции:
Всякая функция f(x), непрерывная в своей области определения, может иметь разные знаки слева и справа от некоторой точки хо лишь только в том случае, если
хо - ноль (корень) функции, либо
хо- точка разрыва.
Поэтому, для нахождения интервалов постоянного знака функции достаточно найти ее область определения D(f), корни и точки разрыва нанести их на ось, определить на каждом из полученных интервалов принадлежащих D(f).
Знак функции (например, подстановкой в выражении функции какого-либо значения х из соответствующего интервала) и выбрать нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.
План решения неравенства методом интервалов.
Переносим все члены неравенства в одну сторону (например, влево)
Не производя абсолютно никаких преобразований, находим область определения функции стоящей в левой части неравенства, после чего в области определения функции с целью упрощения допускается выполнение тождественных преобразований.
Находим нули функций.
Рисуем пунктиром числовую ось, после чего сплошной линией обводим промежутки оси, принадлежащие области определения функции. На них точки, в которых функция терпит разрыв, отмечаем “пустыми” (не заштрихованными), отмечаем на оси нули (корни) функции:
- “пустыми” (не заштрихованными), точками, если неравенство строгое полными (черными), заштрихованными точками, если неравенство не строгое.
5. Определяем знак функции на каждом из
полученных интервалов (например,
подстановкой в выражении функции какого-либо
значения из соответствующего интервала).
выбираем для ответа нужные интервалы в соответствии со знаком неравенства.
Записываем ответ.
Отметим, что указанным методом можно решать любое неравенство.
ЛИТЕРАТУРА.
- Алгебра 9 класс. Под редакцией Теляковского Москва Просвещение 2007 г.
- Алгебра и начала анализа 10-11 класс. Под редакцией Колмогорова А.Н. Москва Просвещение 2007 г.
- Сборник задач по алгебре и элементарным функциям. Худобин А.И. Худобин Н,И. Шуршалов И.Ф. Москва. Просвещение 1973 г.
- Сборник задач по алгебре, тригонометрии и элементарным функциям. Олехин С.Н. Потапов М.К. Москва 1997 г.
- Теоретические основы начального курса математики Пышкало A.M. Стойлова Л.П. Ирешников Н.П. Эльцер Д.Н. Москва Просвещение 1974 г.
- Задачи по математике. Алгебра справочное пособие. Васильев В.В. Мельников И.И. Олехин С.Н. Пасиченко П.И. Москва. Наука. Главная редакция физико-математической литературы. 1987 г