Урок по теме "Функция: определение и ее обсуждение"

Цели урока:

1. Ввести общее определение функции.
2. Рассмотреть различные примеры функции.
3. Четко уяснить ключевые понятия в определении функции.
4. Научить по словесному описанию записывать функцию с помощью математических символов и наоборот.
5. Ознакомить с историей возникновения понятия функции.

Оборудование и материалы:

На доске имеются схемы, таблица “История развития понятия функция”.

Cхема 1

Cхема 2

История развития понятия функция

ХОД УРОКА

1. Организационный момент (проверка готовности учащихся к занятиям).

2. Повторение (фронтальный опрос).

- Что называется множеством, элементом множества? (Множеством называется совокупность каких-либо предметов, объединенных в одно целое. Объекты, из которых составлено множество, называют элементами этого множества)

- Что называется числовым множеством? (Множество, элементами которого являются только числа, называется числовым множеством)

- Привести примеры числовых множеств (Натуральные, целые, рациональные, действительные)

- Показать схематически расширение числовых множеств

Схема 3

Записать множество четных (нечетных) чисел с помощью условных обозначений

- Содержит ли множество Q [-1; 5) числа:

а) 3/5; б) -2; в) 5; г) p .

3. Изучение нового материала (рассказ учителя).

При всём разнообразии действительного и воображаемого мира, общим в нём является то, что одни явления происходят под действием других. Понятие функции является отражением таких связей. Связи между различными объектами и явлениями, количественные и качественные соотношения между которыми устанавливаются и изучаются в разных их проявлениях, в наиболее точном виде выражаются посредством понятия функции.

Общее определение функции состоит в следующем:

Пусть даны два множества D и В произвольной природы. Правило (закон, алгоритм) f, согласно которому каждому (произвольному) элементу x из множества D ставится в соответствие точно один элемент из В (этот элемент обозначают f(x), как символическую запись того, что элементу x применено правило f и результат есть f(x)) называют функцией, определенной на множестве D и принимающей значения из множества В (рис. 1).

Элемент f(x) множества В называют значением функции f в точке х.

Аргумент (независимая переменная) функции

Обсудим ключевые понятия, выделенные в данном определении последовательно буквами D, x, f и B.

Множество D задано и произвольно – этим всё сказано.

Множества D называют множеством определения или задания (областью определения) функции f.

Следующая мысль “каждому элементу из множества D” требует специального обозначения, поскольку к нему должно быть “применено правило f ”. В приведенной формулировке определения произвольный элемент множества D обозначен буквой x. Вообще говоря, для обозначения произвольного элемента множества D можно употребить любой символ, например, A , любую букву, например, Ъ, ... Ќ, ... Для единообразия и в силу традиции в математике чаще всего употребляют последние буквы латинского алфавита x, y, z. Выбранный символ называют аргументом функции или же независимой переменной.

П р и м е р 1. Рассмотрим функции f(х)=х², f₁(у)=у², f₂(t)=t², определенные на одном и том же множестве D, состоящем из каких-то действительных чисел. Эти функции одинаковые, хотя их аргументы, т.е. символы, обозначающие элемент множества D, разные – это буквы х, у и t.

Правило (закон, алгоритм) в определении функции

На правило f также нет никаких ограничений, кроме его действенности, то есть применимости ко всякому элементу из D и единственности на каждом элементе, заключенных в словосочетании “точно один элемент”.

Правило (или закон) f также назван алгоритмом, т.е. “определенной последовательностью действий, производимых над каждым элементом из D”. В связи с этим заметим, что основной набор функций, изучаемых в школе, имеет подчеркнуто выраженный алгоритмический характер.

Роль множества В в данном определении состоит лишь в том, что f(x) есть элемент из В. Тем самым, множество В является условием (ограничением) на само правило f.

Отметим, что не каждый элемент множества В обязан быть значением функции f.

Например, если D и В есть множество всех действительных чисел R, и если правило f состоит в том, что каждому элементу х из D ставится в соответствие число 3, то есть, то каждое число из В=R не будет значением этой функции (рис 2).

Поэтому, хотя и точно, но неблагозвучно, следовало бы множество В назвать “множеством возможных значений функции f”.

Но обычно В называют неточно, но короче “Множество значений функции f”, в то время, как множество, составленное из всевозможных значений f, принимаемых на D, обозначают f(D).

Окружающий нас мир дает множество примеров функций.

П р и м е р 1. Пусть D есть множество всех государств, а В есть множество всех городов на Земле. Тогда можно определить функцию f, которая каждому государству ставит в соответствие его столицу, например, f(Республика Казахстан) =Астана.

П р и м е р 2. Пусть D есть множество всех живущих на данный момент людей, а В есть множество всех имен. У каждого человека есть одно имя (в предположении, что имя никогда не меняют). Этим самым определяется функция: каждому человеку ставится его собственное имя.

П р и м е р 3. Пусть дан отрезок, длину которого приняли за единицу измерения, D есть множество всех отрезков на данной плоскости, а В есть множество всех положительных чисел. Каждому отрезку поставим в соответствие положительное число – его длину относительно выбранной единицы измерения. Это правило тоже есть функция (это правило обычно применяется за одну из аксиом при построении геометрии).

Следующий пример показывает, что не каждое правило является функцией, причем быть или не быть данному правилу функцией может зависеть от выбора D.

П р и м е р 4. Рассмотрим следующее правило f: каждому действительному числу х поставим в соответствие третий знак после запятой в его десятичном разложении. Это правило не будет функцией. Действительно, например, числу по этому правилу ставится в соответствие два числа 0 и 9, а не одно, как это требуется в определении функции. Однако, если условимся из записи действительных чисел исключить записи с периодом 9, то сформулированное правило уже будет функцией: и т.д.

П р и м е р 5. Пусть D есть множество всех действительных чисел R, а правило f состоит в том, что каждое число умножается на себя. Тогда правило f есть функция, которая записывается в виде f(х)=х².

Работа с таблицей ( рассказ учителя с использованием таблицы и, если есть, портретов ученых).

В таблице указана последовательность развития понятия функция. Если обратить внимание на формулировку определения можно заметить, что вначале понятие функции практически отождествлялось с аналитическим выражением. Примерно в середине ХIХ века после длительной борьбы мнений понятие функции освободилось от уз аналитического выражения, от единовластия математической формулы. Главный упор в новом определении понятия функция делается на идею соответствия. Дальнейшее развитие математической науки ХIХ века основывалось на определении Дирихле. Но с самого начала ХХ века это определение стало вызывать сомнения среди части математиков. Еще важнее стала критика физиков, натолкнувшихся на явления, потребовавшие более широкого взгляда на функцию и расширению понятия функции.

4. Закрепление новой темы:

Учащимся предлагаются следующие упражнения.

Упражнение 1. Даны следующие соответствия:

А) человек – имя его отца,

В) человек – дата его рождения.

С) город – численность его населения.

В каком из этих случаев мы можем говорить о функции? Укажите множество определения и множество значения функции.

Указания к решению: В случае А) и В) соответствие задает функцию, в случае С) будет задана функция, если значение численности населения брать фиксированным на какой-то момент времени.

Упражнение 2. Даны следующие функции.

f (x)= 3^. x

g(y)= 3^. y

(ъ)= 3^. ъ

1) Сколько здесь задано функций?

2) По данным формулам сформулировать правило в словесной форме.

3) Указать аргументы.

Указания к решению: Трифункции, равные между собой, так как задаются одним правилом, которое закоючается в том, чтобы аргумент умножить на число 3, аргумент обозначен символами x, ^.y, ъ.

Упражнение 3. Правило состоит в том, что каждому натуральному числу ставится в соответствиеего произведение с числом 3 сложенное с числом 2.

1) Требуется записать правило с помощью математических символов.

2) Найти множество определения.

3) Найти множество значений.

Указания к решению: f(n)=3*n+2, множестао определения есть множество натуральных чисел, множество значений – множество натуральных чисел.

Упражнение 4. Правило состоит в том, что действительное число возводится в квадрат, затем из него вычитается число1 и извлекается квадратный корень.

1) Требуется записать правило с помощью математических символов.

2) Найти множество определения.

3) Найти множество значений.

Указания к решению: f(х)=, множество определения есть , множество значений есть

Упражнение 5. Пусть х₁ х₂ х₃ – треугольник, d – прямая в плоскости треугольника, рассматриваемая как ось симметрии. Каждой точке х из
{х₁, х₂ , х_{3 ,} х₄, … } лежащей внутри или на сторонах треугольника, ставим в соответствие точку у из { y₁ , y₂ , y_{3 ,} y ₄, …}, определенную указанным преобразованием симметрии.

1) Указать заданную функцию y= f(x).

2) Найти множество определения.

3) Найти множество значений.

4) Начертить соответствующий чертеж.

Указания к решению: функция – преобразование осевой симметрии множество определения – множества точек из {х₁ , х₂ , х_{3 ,} х₄, … } лежащих внутри или на сторонах треугольника, множества значений – множество { y₁ , y₂ , y_{3 ,} y ₄, …}, состоящее из точек лежащих внутри или на сторонах симметричного треугольника.

Соответствующий чертеж дан на рис 3.

 

Упражнение 6. Пусть дано множество определения [-2;1] и множество значений [1;2].

Можно ли задать функцию с такими данными, если да, то укажите правило.

Указания к решению: да, можно, таким пра вилом может быть преобразование центральной симметрии на числовой прямой относительно точки 0.

5. Подведение итогов (кратко остановиться на важнейших моментах изученной темы, затем поставить оценки учащимся за урок с коментированием).

6. Задание на дом:

1. Знать основные понятия и определения по изученной теме.
2. Cоставить по 3 примера различного способа задания функции (аналитически и словесно).