Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.
Решить уравнение с параметром – это значит:
а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и при каких не имеет;
б) выяснить количество корней при различных значениях параметров;
в) найти все выражения для корней.
Уравнения с параметром весьма различны по структуре:
Моя работа посвящена отысканию метода решения уравнений с параметрами вида
F(xn; p2) =0
В основе этого метода лежит взгляд на параметр, как на переменную, т.е. уравнение F(xn;p?)=0 можно рассматривать как квадратное относительно параметра р.
Задача 1. Пусть нужно решить уравнение с параметром
Преобразуем данное уравнение
Это уравнение 4-й степени относительно х, причём
содержит и
. Как его решить?
Но заметим, что это уравнение является
квадратным относительно
, т.е. вида
. Применим наш метод:
1. Перепишем уравнение в виде
, т.е.
рассмотрим его как квадратное относительно
.
2. Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
3. Далее используем графический метод. В системе
координат
построим параболы
,
и
,
4. Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем
, отсюда
, т.е. точка
пересечения единственная
.
5. По рисунку видно, что горизонтальная прямая
не имеет общих точек с параболами, если она
проходит ниже , т.е.
при данное
уравнение не имеет корней
при
уравнение имеет единственный корень
при
уравнение имеет два корня
т.к. прямая имеет две точки
пересечения с параболой
, отсюда
,
,
при и
- три корня
при
при
при и
уравнение
имеет четыре корня
Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности, второй степени и выше.
Задача 2. Определить число корней уравнения в зависимости от параметра а х4-10х3-2(а-11)х2+2(5а + 6)х +2а + а2 =0 (1)
Решение. Уравнение является квадратным
относительно параметра а. Перепишем (1) в виде (2)
Найдём дискриминант
Решая уравнение (2), находим
Построим в системе координат (х; а) графики
функций
и (рис 2)
Найдем точки пересечения графиков функций. Для
этого приравняем отсюда
. Далее рассуждая аналогично, как и в
задаче 1, получим
Ответ: если , уравнение корней не имеет;
если один
корень;
если ,
уравнение имеет два корня;
если три
корня;
если -
четыре корня.
Задача 3. Найти все значения параметра р,
при которых уравнение (3)
имеет ровно три решения.
Решении. Уравнение (3) является квадратным относительно р. Перепишем его в виде
Найдем корни уравнения
В системе координат (х; р) построим параболы
и
(рис.2)
Данное уравнение имеет три решения при тех значениях параметра р, при которых горизонтальная прямая имеет три точки пересечения с параболами. Таким образом, уравнение (3) имеет три решения в следующих случаях:
1) прямая проходит через вершину одной параболы
и пересекает другую в двух точках. Это возможно,
когда т.е.
при
уравнение имеет три решения;
2) прямая проходит через точку пересечения парабол. Найдём абсциссу точки пересечения парабол, для этого решим уравнение
Если то
т.е. при
прямая
пересекает параболы в трех точках, значит,
исходное уравнение имеет три корня.
Ответ:
Задача 4. При каких значениях параметра а существует единственная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению
(4)
Решение: Уравнение – квадратное относительно х.
(5)
1. Контрольным значением параметра является
число , при
котором уравнение (5) примет вид
отсюда
. Видно, что в этом случае
решениями уравнения будут все пары
, т.е. при
исходное уравнение имеет
бесконечное множество решений.
2. Пусть .
Дискриминант уравнения (5)
Если т.е.
, то
, исходное
уравнение имеет решение только тогда, когда
, а
- единственное решение.
Если же ,
исходное уравнение относительно х имеет
решение при любом у.
Ответ: .
Задача 5. Решите уравнение
(6)
относительно х
Решение. Уравнение является квадратным относительно р. Перепишем уравнение (6) в виде
(7)
Дискриминант квадратного уравнения (7)
Решая (7), получим
Здесь возможны случаи.
1. Уравнение (6) имеет четыре корня, если
Решая систему, получаем . Таким образом, при
уравнение (6) имеет четыре
корня
,
2. Уравнение (6) имеет три корня, если
Решая систему, получим Значит, при
уравнение (6) имеет три корня
3. Уравнение (6) имеет два корня, если
Решая систему, получим , значит, при этих значениях
параметра р уравнение (6) имеет два корня
4. Уравнение (6) имеет один корень, если
Решая систему, получим . Следовательно, при
решением уравнения (6)
будет
.
5. Уравнение (5) не имеет корней, если
Ответ: если - корней нет;
если
если ;
если
если
Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности. Иногда трудно предвидеть будет ли применение этого метода результативным, но такие уравнения существуют и поэтому его надо знать.
Например, с помощью этого метода можно решить следующие уравнения:
из
сборника для подготовки к ЕГЭ.
из
сборника Сканави
и другие.