Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.

Решить уравнение с параметром – это значит:

а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и при каких не имеет;

б) выяснить количество корней при различных значениях параметров;

в) найти все выражения для корней.

Уравнения с параметром весьма различны по структуре:

Моя работа посвящена отысканию метода решения уравнений с параметрами вида

F(xⁿ; p²) =0

В основе этого метода лежит взгляд на параметр, как на переменную, т.е. уравнение F(xⁿ;p?)=0 можно рассматривать как квадратное относительно параметра р.

Задача 1. Пусть нужно решить уравнение с параметром

Преобразуем данное уравнение

Это уравнение 4-й степени относительно х, причём содержит и . Как его решить? Но заметим, что это уравнение является квадратным относительно , т.е. вида . Применим наш метод:

1. Перепишем уравнение в виде

, т.е. рассмотрим его как квадратное относительно .

2. Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:

3. Далее используем графический метод. В системе координат построим параболы , и ,

4. Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем

, отсюда , т.е. точка пересечения единственная .

5. По рисунку видно, что горизонтальная прямая не имеет общих точек с параболами, если она проходит ниже , т.е.

при данное уравнение не имеет корней

при уравнение имеет единственный корень

при уравнение имеет два корня т.к. прямая имеет две точки пересечения с параболой , отсюда , ,

при и - три корня

при

при

при и уравнение имеет четыре корня

Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности, второй степени и выше.

Задача 2. Определить число корней уравнения в зависимости от параметра а х⁴-10х³-2(а-11)х²+2(5а + 6)х +2а + а² =0 (1)

Решение. Уравнение является квадратным относительно параметра а. Перепишем (1) в виде (2)

Найдём дискриминант

Решая уравнение (2), находим

Построим в системе координат (х; а) графики функций

и (рис 2)

Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем отсюда . Далее рассуждая аналогично, как и в задаче 1, получим

Ответ: если , уравнение корней не имеет;

если один корень;

если , уравнение имеет два корня;

если три корня;

если - четыре корня.

Задача 3. Найти все значения параметра р, при которых уравнение (3)

имеет ровно три решения.

Решении. Уравнение (3) является квадратным относительно р. Перепишем его в виде

Найдем корни уравнения

В системе координат (х; р) построим параболы

и (рис.2)

Данное уравнение имеет три решения при тех значениях параметра р, при которых горизонтальная прямая имеет три точки пересечения с параболами. Таким образом, уравнение (3) имеет три решения в следующих случаях:

1) прямая проходит через вершину одной параболы и пересекает другую в двух точках. Это возможно, когда т.е. при уравнение имеет три решения;

2) прямая проходит через точку пересечения парабол. Найдём абсциссу точки пересечения парабол, для этого решим уравнение

Если то т.е. при прямая пересекает параболы в трех точках, значит, исходное уравнение имеет три корня.

Ответ:

Задача 4. При каких значениях параметра а существует единственная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению

(4)

Решение: Уравнение – квадратное относительно х.

(5)

1. Контрольным значением параметра является число , при котором уравнение (5) примет вид отсюда . Видно, что в этом случае решениями уравнения будут все пары , т.е. при исходное уравнение имеет бесконечное множество решений.

2. Пусть . Дискриминант уравнения (5)

Если т.е. , то , исходное уравнение имеет решение только тогда, когда , а - единственное решение.

Если же , исходное уравнение относительно х имеет решение при любом у.

Ответ: .

Задача 5. Решите уравнение

(6)

относительно х

Решение. Уравнение является квадратным относительно р. Перепишем уравнение (6) в виде

(7)

Дискриминант квадратного уравнения (7)

Решая (7), получим

Здесь возможны случаи.

1. Уравнение (6) имеет четыре корня, если

Решая систему, получаем . Таким образом, при уравнение (6) имеет четыре корня ,

2. Уравнение (6) имеет три корня, если

Решая систему, получим Значит, при уравнение (6) имеет три корня

3. Уравнение (6) имеет два корня, если

Решая систему, получим , значит, при этих значениях параметра р уравнение (6) имеет два корня

4. Уравнение (6) имеет один корень, если

Решая систему, получим . Следовательно, при решением уравнения (6) будет .

5. Уравнение (5) не имеет корней, если

Ответ: если - корней нет;

если

если ;

если

если

Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности. Иногда трудно предвидеть будет ли применение этого метода результативным, но такие уравнения существуют и поэтому его надо знать.

Например, с помощью этого метода можно решить следующие уравнения:

из сборника для подготовки к ЕГЭ.

из сборника Сканави

и другие.