Уравнениями с параметром называются уравнения, у которых коэффициенты заданы не конкретными числовыми значениями, а обозначены буквами.
Решить уравнение с параметром – это значит:
а) исследовать, при каких значениях параметров уравнение имеет корни и при каких не имеет;
б) выяснить количество корней при различных значениях параметров;
в) найти все выражения для корней.
Уравнения с параметром весьма различны по структуре:
Моя работа посвящена отысканию метода решения уравнений с параметрами вида
F(xn; p2) =0
В основе этого метода лежит взгляд на параметр, как на переменную, т.е. уравнение F(xn;p?)=0 можно рассматривать как квадратное относительно параметра р.
Задача 1. Пусть нужно решить уравнение с параметром
Преобразуем данное уравнение
Это уравнение 4-й степени относительно х, причём
содержит 
и 
. Как его решить?
Но заметим, что это уравнение является
квадратным относительно 
, т.е. вида 
. Применим наш метод:
1. Перепишем уравнение в виде
, т.е.
рассмотрим его как квадратное относительно 
.
2. Найдем корни уравнения по формуле корней квадратного уравнения:
3. Далее используем графический метод. В системе
координат 
построим параболы 
, 
и 
, 
4. Найдём точки пересечения графиков функций. Для этого приравняем
, отсюда 
, т.е. точка
пересечения единственная 
.
5. По рисунку видно, что горизонтальная прямая
не имеет общих точек с параболами, если она
проходит ниже 
, т.е.
при 
данное
уравнение не имеет корней
при 
уравнение имеет единственный корень 
при 
уравнение имеет два корня 
т.к. прямая имеет две точки
пересечения с параболой 
, отсюда 
, 
, 
при 
и 
- три корня
при 
при 
при 
и 
уравнение
имеет четыре корня 
Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности, второй степени и выше.
Задача 2. Определить число корней уравнения в зависимости от параметра а х4-10х3-2(а-11)х2+2(5а + 6)х +2а + а2 =0 (1)
Решение. Уравнение является квадратным
относительно параметра а. Перепишем (1) в виде 
(2)
Найдём дискриминант
Решая уравнение (2), находим
Построим в системе координат (х; а) графики
функций 
и 
(рис 2)
Найдем точки пересечения графиков функций. Для
этого приравняем 
отсюда 
. Далее рассуждая аналогично, как и в
задаче 1, получим
Ответ: если 
, уравнение корней не имеет;
если 
один
корень;
если 
,
уравнение имеет два корня;
если 
три
корня;
если 
-
четыре корня.
Задача 3. Найти все значения параметра р,
при которых уравнение 
(3)
имеет ровно три решения.
Решении. Уравнение (3) является квадратным относительно р. Перепишем его в виде
Найдем корни уравнения
В системе координат (х; р) построим параболы
и 
(рис.2)
Данное уравнение имеет три решения при тех значениях параметра р, при которых горизонтальная прямая имеет три точки пересечения с параболами. Таким образом, уравнение (3) имеет три решения в следующих случаях:
1) прямая проходит через вершину одной параболы
и пересекает другую в двух точках. Это возможно,
когда 
т.е.
при 
уравнение имеет три решения;
2) прямая проходит через точку пересечения парабол. Найдём абсциссу точки пересечения парабол, для этого решим уравнение
Если 
то 
т.е. при 
прямая
пересекает параболы в трех точках, значит,
исходное уравнение имеет три корня.
Ответ:
Задача 4. При каких значениях параметра а существует единственная пара (х; у), удовлетворяющая уравнению
(4)
Решение: Уравнение – квадратное относительно х.
(5)
1. Контрольным значением параметра является
число 
, при
котором уравнение (5) примет вид 
отсюда 
. Видно, что в этом случае
решениями уравнения будут все пары 
, т.е. при 
исходное уравнение имеет
бесконечное множество решений.
2. Пусть 
.
Дискриминант уравнения (5)
Если 
т.е. 
, то 
, исходное
уравнение имеет решение только тогда, когда 
, а 
- единственное решение.
Если же 
,
исходное уравнение относительно х имеет
решение при любом у.
Ответ: 
.
Задача 5. Решите уравнение
(6)
относительно х
Решение. Уравнение является квадратным относительно р. Перепишем уравнение (6) в виде
(7)
Дискриминант квадратного уравнения (7)
Решая (7), получим
Здесь возможны случаи.
1. Уравнение (6) имеет четыре корня, если
Решая систему, получаем 
. Таким образом, при 
уравнение (6) имеет четыре
корня 
, 
2. Уравнение (6) имеет три корня, если
Решая систему, получим 
Значит, при 
уравнение (6) имеет три корня 
3. Уравнение (6) имеет два корня, если
Решая систему, получим 
, значит, при этих значениях
параметра р уравнение (6) имеет два корня
4. Уравнение (6) имеет один корень, если
Решая систему, получим 
. Следовательно, при 
решением уравнения (6)
будет 
.
5. Уравнение (5) не имеет корней, если
Ответ: если 
- корней нет;
если 
если 
;
если 
если 
Этот метод не является универсальным, но во многих случаях является весьма результативным и позволяет решать уравнения повышенной сложности. Иногда трудно предвидеть будет ли применение этого метода результативным, но такие уравнения существуют и поэтому его надо знать.
Например, с помощью этого метода можно решить следующие уравнения:
из
сборника для подготовки к ЕГЭ.
из
сборника Сканави
и другие.