Данный урок проводится в девятом классе и является первым уроком, на котором предлагается решение неравенств, отличных от линейных. По объему рассчитан на один лицейский урок (80 минут). Дается перед уроком, где показывают способы раскрытия модуля. В учебниках для 8 класса (Алимов) и 9 класса (Макарычев) этот материал излагается недостаточно полно, а анализ ошибок говорит о слабом представлении учащимися использования этого метода в дальнейшем.
Практика показывает, что опытные педагоги стараются расширить понятие метода интервалов в 10-11 классах, но на это уходит дополнительное время. Изложенный подход позволяет сформировать у учащихся 9 класса умение решать сложные неравенства и на этой базе использовать возможности метода без дополнительных пояснений. В 10-11 классах останется показать метод интервалов для решения неравенств, содержащих показательную, логарифмическую функцию и т.д.
План-конспект урока
“Решение рациональных неравенств”.
Методы: объяснительно-иллюстративный, репродуктивный, исследовательский.
Тип урока: формирование и закрепление знаний.
Форма: лекция-беседа.
Цели:
- Образовательные: дать определение рациональных неравенств и научить решать неравенства методом интервалов; отработать понятия “особых” случаев и учет их при решении неравенств.
- Развивающие: готовить учащихся к лекционным формам занятий, приучая их воспринимать информацию крупными блоками; развивать логическое мышление, самостоятельность, самоконтроль; формирование умственных операций (анализ, синтез, выделение главного); видение связи с последующим материалом.
Воспитательные задачи: развитие рационального общения; развитие личностных качеств (забота, поддержка, самостоятельность, помощь ближнему, сопереживание).
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний учащихся.
Устный счет проводиться с целью подготовки учащихся к цель восприятию нового материала.
Рассматриваются примеры, которые позволяют сделать выводы относительно выражений, которые не влияет на знак неравенства, но существенно влияют на решение неравенства.
Учащиеся делают вывод:
выражение, стоящее в четной степени, не влияет на знак неравенства, но влияет на решение и отбрасывать его без дополнительных ограничений нельзя.
2) Рассмотрим решение неравенства.
Делается акцент на то что, выражение (х +3) также не влияет на знак неравенства, но не учитывать его нельзя, иначе решение будет неверным.
Данные два случая (выражения в четной степени; выражения, на которое произведено сокращение) отнесем к категории особых случаев и это будет учтено при описании алгоритма.
3) Учащимся даётся два выражения:
и ав
Рассмотрим знак выражений в следующих случаях:
а) 
б) 
в) 
г) 
Вывод: который делают учащиеся: знак частного совпадает со знаком произведения.
Это позволяет в дальнейшем не переходить от частного к произведению. Обычно при этом переходе и происходит потеря знаменателя вообще.
4) Переходим к работе с графиком функций.
| А) | |
 |
Y = f (x) Когда происходит смена знака функции? |
Вывод: при переходе функции через нуль. Это же подтверждает рисунок Б)
Вывод: данная функция относится категории особых случаев, так как четная степень функции не влияет на знак неравенства, перемены знака нет.
Вывод: Это говорит о том, что те точки, которые обращают в нуль знаменатель (точки разрыва) тоже должны быть учтены как точки, при переходе через которые функция меняет свой знак.
III. Формирование новых знаний
После проделанной устной работы записываются алгоритм метода интервала, который позволяет даже учащимся с недостаточной математической подготовкой решать достаточно сложные неравенства. Параллельно записи алгоритма разбирается пример, причем при объяснении не обязательно идти от простого к сложному, а наоборот, от сложного безболезненно можно переходить к решению простейших неравенств, сделав замечание, что мы разобрали алгоритм, работающий во всех случаях, иногда (в зависимости от примера). Некоторые пункты не будут работать.
Существует много различных методов решения рациональных неравенств, но наиболее часто встречающийся, наиболее удобный, метод, который упрощает решение неравенств- это метод интервалов.
Предварительно сделаем несколько замечаний, которые будем использовать на практике, введем определение рациональных неравенств.
Определение: Рациональным называют неравенства, содержащие только целые рациональные и дробно-рациональные функции.
Рациональные неравенства можно решать методом интервалов, основываясь на простом наблюдении: знак произведения (частного) зависит только от знаков каждого из множителей (делимого и делителей).
Идея заключается в следующем: числовая прямая разбивается нулем функции на конечное число интервалов, в каждой из которых функции сохраняет знак. Чтобы определить этот знак, нужно вычислить значение функции в какой-либо одной точке из каждого такого интервала.
Можно упростить, если оговорить понятие особых случаев, которые влияют на знак интервала.
К ним мы отнесем:
- Линейный множитель стоит в четной степени.
- Выражение, которое можно сократить.
Кроме того, нужно все сомножители привести к виду (х-µ), т. к. когда функция имеет вид F(х)=(х-µ )(х-µ )….(х-µ ) можно прочередовать знаки интервалов, не определяя знак каждого интервала, т.к. это порой неудобно (дробные значения, находящиеся близко друг от друга).
Рассмотрим алгоритм на примере, предусматривающем замечания, которые мы оговорили.
Давая общий алгоритм нужно заметить, что не все пункты в некоторых примерах работают, поэтому он может значительно сократиться.
1. Расположить выражение в числителе и в знаменателе на линейные множители.
> 0
2. Рассмотреть особые случаи (множители с четным показателем и те множители, на которые будет произведено сокращение).
3. Перепишем неравенство, исключив те множители, которые попали в ряд особых случаев:
> 0
4. Приравниваем к нулю каждый множитель числителя и знаменателя и найдём все х из данных равенств.
5. На координатной прямой отметим те значения х , которые получили в пункте 4, учитывая знак (< ; >).
6. Проверим знак функции в одном из интервалов. В остальных интервалах знаки будут строго чередоватьс
я
7. Учитывая особые случаи, записать ответ
После изучения алгоритма рассматриваем примеры:
x2 – 4 х + 6 > 0 при х
(х - 1)4 > 0 при х 
(х - 2)2 > 0 при х 
(х - 2)(х - 3) < 0
Ответ: х
(-2; 3)
Ответ: х
Знаки интервалов можно оформить и в таблицу, но это более громоздко.
IV. Отработка навыков и умений
Примеры для самостоятельного решения (с последующей проверкой у доски)
| (х + 3)(х + 1)(х - 2) < 0 |  |
| (x + 3)2(x2 – x - 20) < 0 |  |
| (x - 1)2 (x2 - 4x) < 0 | |
 |
|
 |
 |
 |
 |
Итог.
Домашнее задание:
Примеры по учебнику
а. (x - 2)3(x+1)(x - 1)2(x2 + 2x + 5) < 0
б. 
Задания для самостоятельного решения:
- (x2 – 3x + 2)(x - 1)2(3 - x)(x + 4)2
При подготовке урока использовались материалы с курсов переподготовки ИПКРО.