Цели урока:
- проверка усвоения навыков решения различных видов показательных уравнений;
- рассмотрение способа решения показательных уравнений с использованием свойств функции;
- решение уравнений функциональным методом.
Ход урока
I. Проверка выполнения домашнего задания.
Учащимся на прошлом уроке было предложено решить показательные уравнения из вступительных экзаменов в вузы. Те учащиеся, которые справились с решением, записывают решение на доске, остальные проверяют свои решения и исправляют ошибки.
1. (МГУ, физический факультет) Ответ: 1;3.
2. (МГУ, факультет почвоведения) Ответ: 0;8.
3. (Финансовая академия при правительстве РФ)
Ответ:
4. (Финансовая академия при правительстве РФ) Ответ: 3.
5. (МГТУ им. Баумана) Ответ: 4.
6. (МГТУ им. Баумана) Ответ: 1.
7. (МГТУ им. Баумана) Ответ: 0,5; - 0,5.
II. Самостоятельная работа учащихся.
Решите уравнения:
1 вариант | 2 вариант |
1. ![]() 2.
3. 4. 5. |
1. ![]() 2.
3. 4. 5. |
Учащиеся выполняют самостоятельную работу и сдают ее на проверку.
III. Решение показательных уравнений с использованием свойств показательной функции.
1.
Это уравнение № 457 (а) в учебнике под ред. А.Н.
Колмогорова предлагается решить графическим
способом. Учащимся предлагается выполнить
задание, а затем ответить на вопрос:
“Обязательно ли для решения этого уравнения
строить графики функций?”. Ответ: “Функция возрастает на
всей области определения, а функция
- убывает. Следовательно,
графики таких функций имеют не более одной точки
пересечения, а значит, уравнение имеет не более
одного корня. Подбором находим, что
”.
Далее предлагается, используя свойство монотонности функций, решить следующие уравнения:
2.
3.
4.
Для решения этого уравнения нужно вспомнить
еще одно свойство функций: ограниченность.
Функция
принимает значения >1, а – 1 <
> 1, поэтому
равенство возможно только в том случае, если обе
части уравнения одновременно равны 1. Значит,
Решая эту
систему, находим, что х = 0.
5. Найти число решений уравнения и дать обоснование
ответа.
Решение. Рассмотрим две функции: и
Преобразуем их:
,
.
Значит, равенство возможно, если Эта система решений не
имеет, а значит, и данное уравнение тоже не имеет
решения.
6. При каких значениях параметра а уравнение
имеет
нечетное количество корней?
Для того чтобы ответить на этот вопрос, нужно
вспомнить еще одно свойство функций – четность,
нечетность. Функция является четной, так как
. Так как график
четной функции симметричен относительно оси
ординат, то если
является корнем уравнения, то и
тоже является
корнем уравнения. Поэтому данное уравнение может
иметь нечетное количество корней только тогда,
когда
является корнем. Подставляя
в уравнение, имеем:
7. Решите уравнение
Решение. Пусть , t > 0. Тогда уравнение принимает вид
Это уравнение
является квадратным относительно t. Решая
его, находим корни
, что не удовлетворяет условию введения
новой переменной и
. Значит,
. Это уравнение при х < - 1 решений не
имеет, т.к.
>
0, а
< 0. При х
> - 1 функция
является
возрастающей, а функция
- убывающей, значит, уравнение имеет
не более одного корня. Подбором находим х = 1.
IV. Домашнее задание
Прочитать п. 36 учебника и выполнить № 465, 471.