Применение анализа и синтеза при решении геометрических задач

"Все наше достоинство заключено в мысли. Не пространство и не время, которых мы не можем заполнить, возвышают нас, а именно она, наша мысль. Будем же учиться хорошо мыслить" (Блез Паскаль).

Когда голодный и оборванный человек попросил рыбака накормить его, рыбак мог бы накормить, но в этом случае он бы утолил голод человека один раз. Рыбак взял человека с собой на рыбалку и научил быть сытым всю жизнь.

В обучении умению решать задачи у нас происходит обратное. Наиболее распространённый метод обучения решению задач основан на принципе "делай как я". Исторически сложилась такая методика, когда учитель демонстрирует на примерах способы решения так называемых типовых задач, а учащиеся по образцу решают аналогичные. Все обучение направлено на выработку практических навыков выполнения типовых видов задач и упражнений. Происходит простое натаскивание, как рыбак накормил бы голодного человека один раз.

Если выпускник школы скоро забудет способы решения многочисленных видов математических, физических, химических и иных школьных задач, то это не очень большая беда. Но если у него не выработано общего разумного подхода к любой житейской, технической или научной задаче, если он не овладел способностью к правильному рациональному поиску способа решения таких задач, то вот это большая беда. Именно это является одной из причин, что выпускники наших школ неэффективно работают, что отражается на нашей экономике и жизни. Ведь работа в любой области, повседневная жизнь человека состоит из последовательной постановки и решения самых различных задач, а поэтому школа должна научить их рационально решать эти задачи.

Таким образом, ведущим системообразующим фактором в обучении выступает, прежде всего технология обучения. Исследователи подчёркивают примат метода над предметом изучения, считая, что для развития мышления важно не столько то, чему учат, сколько то, как учат. Ведь обучение математике сводится не столько к запоминанию теорем, их доказательству, сколько к овладению методами познания. Существенной характеристикой учебной задачи является овладение обобщённым способом решения конкретно-практических задач. Поставить перед школьниками учебную задачу – значит ввести их в ситуацию, требующую ориентации на общий способ её разрешения.

Н.И. Лобачевский отмечал: "В математике важнее всего способ преподавания". Роль учителя должна состоять в вооружении учащихся технологией деятельности и соответствующими способами работы. Если долго решать задачи одного типа, представления учащихся пребывают в фазе необобщённых элементарных знаний, при решении общим методом в поле зрения ученика находятся связи между различными понятиями, а это есть главное условие оформления знаний. При отдельном изучении различных типов задач время затрачивается больше. Целенаправленное обучение приёмам мыслительной деятельности нисколько не замедляет усвоения программного материала. Наоборот, этот процесс всё более и более ускоряется по мере овладения этими приёмами, т.е. по мере развития мышления учащихся.

Ещё великий французский математик и философ Рене Декарт (1596-1650) в своё время имел намерения разработать универсальный метод решения задач. Однако его "Правила для направления ума" остались неоконченными. "Когда мне приходилось, будучи молодым человеком, слышать о каких-либо искусных умозаключениях, я пытался воспроизвести их самостоятельно, не читая автора. Постепенно я стал замечать, что пользуюсь при этом определёнными правилами", - писал он. Гальперин П.Я. отмечал, что на развитие учащихся оказывает действие определённый тип учения, который "характеризуется усвоением, прежде всего общего метода анализа явлений изучаемой области".

Решение любой математической задачи состоит из отдельных шагов. Решить математическую задачу – значит найти такую последовательность общих положений математики (определений, аксиом, теорем, правил, законов, свойств, формул), применяя которые к условиям задачи или к их следствиям (промежуточные результаты решения), получаем то, что требуется найти в задаче – ответ. Математическое доказательство – тоже цепочка логических следствий из аксиом, определений, ранее доказанных теорем до требуемого заключения. Таким образом, при доказательстве теорем мы сводим её к ранее доказанным теоремам, а те в свою очередь ещё к другим. Каждый шаг доказательства состоит из трёх частей:

1 – предложение, на основе которого производится этот шаг доказательства (аксиомы, определения, теоремы);

2 – логическое рассуждение на основе аксиом, определений, ранее доказанных теорем;

3 – логический вывод из этого рассуждения.

Таким образом, любая задача элементарной геометрии является, по существу теоремой, а её решение – доказательством, скромной математической победой.

Формировать культуру решения задач и доказательства теорем можно через построение общей схематической модели решения, т.е. алгоритма. "Самое трудное в решении любой задачи – планирование своих действий. Если есть алгоритм, значит, есть программа действий, а потому трудности носят чаще всего технический, а не принципиальный характер", - писал А.Мордкович.

Алгоритм – это система операций, применяемая по строго определенной схеме, правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи.

Мы недооцениваем способности детей к прогнозированию, составлению моделей деятельности, планированию. А они обнаруживаются в раннем возрасте: трёх-четырёхлетние дети планируют свои игры без взрослых. А в школе эти способности не развиваются – за них всё решают учителя и взрослые. Необходимо учить детей выделять главные моменты в своих действиях; намечать последовательность выполнения работы; выбирать способы и приёмы, которыми рациональнее пользоваться.

Алгоритм необходимо составлять вместе с учащимися. И хотя время затрачивается больше, это оправдывается более высоким развивающим эффектом. Развивается мыслительная деятельность учащихся через напряжение умственных сил, способности их к прогнозированию. Школьники учатся самостоятельно продумывать и составлять план деятельности, переносить его на новый материал, совершенствовать. Ведомый учителем ученик становится ведущим на уроке.

Алгоритм анализа условия и решения задачи мы с учащимися составили в виде памятки:

1. Прочитать задачу.
2. Выделить условие и вопрос.
3. Сделать по условию чертёж.
4. Отметить на чертеже данные и искомые величины. Проанализировать данные, выявить связи между ними и все возможные расположения фигур.
5. Подумать, что надо знать, чтобы ответить на вопрос задачи. Записать формулу для искомой величины (формула может быть выведена из теоремы, из условия задачи, из треугольника на чертеже, из частных методов решения элементарных задач).
6. Неизвестные величины в этой формуле подчеркнуть.
7. Записать выражения (формулы) для нахождения этих подчёркнутых величин (или выведенные из теорем, или из условия задачи, или из треугольника на чертеже, или из частных методов решения элементарных задач).
8. А теперь можно ответить на вопрос задачи? (действия по контролю). Продолжать до тех пор, пока можно будет ответить на вопрос задачи.
9. Подставить найденные подчеркнутые величины в формулу для искомой величины. Вычислить.
10. Записать ответ.

Поиск и конструирование методов решения вырабатывает дисциплинированное мышление в процессе решения, прививает эстетический взгляд на решение задачи, предполагает оценку решения не только с точки зрения её безупречной логической правильности, но и красоты и изящества.

До тех пор, пока какой-либо частный факт не соотнесён с общей структурой, он быстро забывается, т.е. знание общей структуры способствует сохранению материала в памяти. А. В. Гончаров писал, что перегрузка памяти учащихся вызывается отсутствием обобщающих линий и чрезмерной раздробленностью содержания. Вместо бездумного решения большого количества задач полезнее решать меньше, но при этом само решение должно содержать глубокое изучение этих задач, сущности их решения, выявление общих методов и приёмов, используемых в этом решении.

Отвечая на вопросы памятки при решении задач, учащиеся составили алгоритм решения геометрической задачи в виде блок схемы (Приложение 1).

Основным содержанием этого этапа стало моделирование. Деятельность учащихся имеет теоретический, исследовательский характер, приобретает опыт творческого мышления.

Данный алгоритм составили не сразу, в несколько этапов. Сначала более простой, а с появлением задач другого содержания дополняли его. Детям необходимо понять, что любое дело в жизни совершенствуется.

Самостоятельное составление алгоритма учащимися развивает:

• способность к формализации математического материала (отделение формы от содержания), абстрагированию конкретных количественных отношений;
• способность обобщать математический материал, вычленять главное, отвлекаясь от несущественного;
• способность к оперированию числовой и знаковой символикой;
• способность к последовательному, правильно расчленённому логическому рассуждению;
• способность сокращать процесс рассуждения, мыслить свернутыми структурами;
• способность к переключению от одной умственной операции к другой (гибкость мышления);
• способность к пространственным представлениям;
• развивает устную и письменную речь.

Восприятие объектов облегчается, если они расположены в определённой строго продуманной системе, требующей минимальных усилий со стороны наших органов чувств. Восприятие объектов, расположенных хаотически, осуществляется неохотно и требует значительных волевых усилий. Оформлять запись решения задачи также интересно. И не так это просто – выбрать наиболее удобный способ оформления решения. Сам выбор удобного способа оформления решения является интересной задачей. Часто процесс решения задачи зависит от удачно выбранного способа записи решения.

В алгоритме использовался аналитический способ решения задач. Анализ может выступать в двух формах:

1. Когда в рассуждениях двигаются от искомых к данным задачи;
2. Когда целое расчленяют на части.

Пример аналитического оформления решения задачи (Приложение 2).

Синтез тоже может выступать в двух формах:

1. Когда в рассуждениях двигаются от данных задачи к искомому;
2. Когда элементы объединяют в целое.

Пример синтетического оформления решения задачи (Приложение 3).

Аналитико-синтетический метод существует в виде восходящего и нисходящего анализа. Нисходящий анализ применяется реже. В нашем случае его можно применить на отдельном шаге решения сложной задачи. Это анализ в форме рассуждения от искомого к данным.

Пример решения задач нисходящим анализом (Приложение 4).

Основной способ решения задач – восходящий анализ.

Пусть требуется доказать утверждение А. Подбираем такое утверждение В, из которого следует А; затем отыскиваем утверждение С, из которого следует В; …до тех пор, пока найдём путь решения.

Аналитико-синтетический метод – метод попеременного движения с двух сторон:

1. сначала разворачивается заключение задачи (искомая величина);
2. потом разворачивается условие задачи;
3. получение цепочки выводов от условия и заключения.

Основным способом он является потому, что разбор и решение задач восходящим анализом проводят ещё в начальных классах при решении составных задач (3–4-е классы).

Пример доказательства восходящим анализом (Приложение 5).

Особенности метода:

• не требуется обратимости рассуждений (только при доказательстве, при решении задач обратимость имеет место), т.к. возможность обратного перехода проверяется на каждом шаге поиска решения;
• учащиеся должны хорошо усвоить фразу: "Чтобы доказать… достаточно доказать…". Термин "достаточно" подходит больше, чем "надо", поскольку можно подобрать несколько различных утверждений, для каждого из которых искомое является следствием;
• в общей схеме восходящего анализа не разъясняется, как получить утверждение, из которого следует искомое, такое утверждение подыскивается, исходя из конкретных условий задач.

"В поиске решения важную роль играет отбор нужных выводов из условия и достаточных по отношению к заключению совокупностей свойств. Это творческий процесс, научить этому невозможно, остается "учить плавать, бросая в воду". (М. Волович).

Работа над более кратким, рациональным оформлением задачи продолжается. Такая форма записи неудобна тем, что заполняет всю площадь листа. Но полное развёрнутое решение необходимо для формирования умения решать задачи. Приём разбиения решения на шаги облегчает усвоение метода решения. Шохор-Троцкий С.И. в книге по методике арифметики указывал, что свертывание процесса рассуждения зависит от натренированности в решении задач. На первых этапах овладения задачей она выполнялась посредством развёрнутого процесса, на поздних – сокращённого. Но для способных учащихся это условие не является обязательным. Способных отличает ярко выраженная тенденция к быстрому и радикальному свертыванию процесса рассуждения и соответствующих математических действий. Восприятие математических задач способными приобретает свернутый вид. Аналитико-синтетическая ориентировочная деятельность способных настолько "свернута" и максимально ограничена во времени, что в некоторых случаях создаётся впечатление – она имеет характер одноактного одномоментного видения математического материала. Способные при восприятии задач сразу видят её "скелет", очищенный от всех конкретных значений. У них наблюдается обобщённое формализованное восприятие математического материала (быстрое схватывание формальной структуры задачи), когда числовые данные, конкретное содержание "выпадает" и остаются чистые соотношения между показателями, характеризирующие принадлежность задачи к определенному типу.

Видно, что общая блок-схема сохраняется и при аналитико-синтетическом методе решения задачи (Приложение 6).

И Гальперин П.Я. отмечал, что мыслительные операции можно целенаправленно формировать путём постепенного перехода от развёрнутых внешних действий, заранее запрограммированных и выполняемых в заданной последовательности, ко всё более свернутым умственным действиям.

Свёртывание начинается после того, как ученик обобщит способ решения. Обобщение и свертывание происходит по разному у детей, отличающихся своими способностями. У способных обобщение наступает сразу, "с места". Средние обобщают после многократных упражнений. Неспособные обобщают с большим трудом и после длительного решения однотипных задач.

Сокращённая, обобщённая форма записи решения задачи сохраняет информацию, не загружая мозг избыточной информацией и позволяет дольше и легче использовать её.

Примеры 1 и 2 в Приложении 7.

Сокращенная форма записи решения.

Далее полезно познакомить учащихся с аналитико-синтетическим способом решения задач. На самом деле этот способ скрыто присутствовал в нашем методе, но теперь он должен приобрести теоретическое обоснование.

К 7–8-у классу в психике учащихся уже преобладает анализ.

"Анализ решения экспериментальных задач учениками показал, что учащимся свойственна аналитико-синтетическая обработка математического материала, носящая характер аналитико-синтетического осмысливания материала", - писал В. А. Крутецкий, [2].

Уже найденное известное решение задачи обычно излагают синтетическим методом, а чтобы найти способ решения, пользуются анализом. Синтез позволяет изложить известное решение задачи быстро и чётко. Однако ученику трудно понять, как было найдено решение, как бы он сам мог догадаться решить задачу. Анализ требует большей затраты учебного времени, но зато позволяет показать ученику, как найти решение, как можно самому догадаться её решить. Если использовать систематически анализ, у учащихся формируются навыки поиска решения задач. Анализ в чистом виде вообще не применяется. Если ученик пользовался им при поиске решения задачи, то только до тех пор, пока в его сознании не возникнет идея решения. При решении задач синтезом в сознании человека проводится и анализ, но часто настолько быстро, подсознательно, что ему кажется, будто он сразу увидел решение, не прибегая к анализу. Чем более сложной является задача, тем в более отчётливой форме он сможет проследить элементы анализа в своих рассуждениях.

Анализ и синтез соответствуют психическим процессам дедукции и индукции.

• Индукция — форма умозаключения от единичных фактов к общим положениям.
• Дедукция — вывод от общего к частному.

Индукция и дедукция — различная последовательность во времени анализа и синтеза. При индуктивной обработке информации анализ предшествует синтезу, при дедуктивной – синтез-анализу. Интегративная аналитико-синтетическая деятельность присуща обоим полушариям мозга, но в каждом она характеризуется специфической последовательностью анализа и синтеза. Индукция преимущественно связана с функционированием левого полушария, а дедукция – правого. Обработка идёт параллельно-последовательно по двум каналам, что обеспечивает её быстроту и надёжность. Таким образом более или менее стабильно устанавливается межполушарная асимметрия. Оба полушария работают теперь главным образом параллельно, постоянно обмениваясь информацией. Левое полушарие при этом как бы обладает законодательной властью, а правое - исполнительной. Левое вырабатывает цели, а правое реализует их достижение.

Можно надеяться, что относительно равномерное применение индуктивных и дедуктивных методов обучения привело бы к большей продуктивности в освоении знаний. Учитель становится человеком, впрямую формирующим функции мозга.

Пример аналитико-синтетического способа решения задачи (Приложение 8) с переходом к краткой форме записи решения.

На каждом этапе (шаге) решения задачи обсуждается план решения, рассматривается несколько вариантов решения, выбирается рациональный. Решаются так называемые элементарные задачи по отношению к данной неэлементарной задаче. Данная неэлементарная на некотором этапе обучения сама может стать элементом решения более сложных задач.

Промежуточный мыслительный процесс, протекающий в сознании учащегося между двумя этапами решения, помогает устанавливать связи между ними, углублять понимание и активизировать мыслительную деятельность. Состоит из:

• вспоминания, применения по ходу ознакомления с материалом определений, теорем, законов, различных правил, в том числе мнемонических, которые как раз и предназначены для лучшего запоминания тех или иных фактов;
• созерцания, представления наглядных образцов (моделей, графиков, рисунков, диаграмм);
• любой деятельности с образами;
• оперирования знаками и символами (введение стрелок и других обозначений, подчёркивание записей…);
• любых рассуждений, действий, углубляющих понимание.

Если промежуточные элементарные задачи громоздки, или дети забыли их решение, лучше вспомнить их решение в устном счёте, подготовив заранее детей к решению более сложной задачи.

Аналитико-синтетический метод можно применять и при решении задач и упражнений по другим предметам: по алгебре, физике, химии.

Примеры решения задач в Приложении 9.

Литература

1. Груденев Я. И. Совершенствование методики работы учителя математики. – М,: Педагогика, 1992г.
2. Крутецкий В. А. Психология математических способностей школьников. – М,: Просвещение, 1985 г.
3. Мордкович А. В. Семинар для молодых учителей. "Математика" – приложение к газете "Первое сентября", №1-30. – 1993 г.