Урок по алгебре в 7-м классе "Умножение одночлена на многочлен"

Цели урока:

основная: проработать умение преобразовывать произведение одночлена и многочлена в многочлен стандартного вида;

развивающие: развивать вычислительные навыки, устную и письменную математическую речь, память;

воспитательные: содействовать воспитанию интереса к математике, стимулировать работу учащихся на уроке, развивать их работоспособность.

Тип урока: урок изучения нового материала.

ХОД УРОКА:

I. Сообщение темы и целей урока.

II. Повторение и закрепление пройденного материала.

1). Ответы на вопросы по домашнему заданию (разбор нерешенных задач);
2). Устная работа:

1. Найдите значение выражения и укажите, каким законом вы пользовались:

а) 0,3 · 14 – 0,3 · 4
б) 0,6 · 7,5 + 0,4 · 7,5
в) 15² + 15 · 85

2. Используя распределительное свойство умножения, преобразуйте выражение в тождественно равное:

а) (5х + 3) · 6
б) 3 (х – 2)
в) 12 (7 – 3у)

3. Представьте в виде степени:

а) х⁵ · х²
б) у · у²
в) 3а² · (-5а⁴)

3). Контроль усвоения материала (письменный опрос):

Вариант 1.

1). Упростите выражения 4х²у – (3х²у – ху) + (ху – ух²) и найдите его значение при ху=- 3.
2). Докажите, что значение выражения 6а²в² + (3ав² – 2а²в²) – (4а²в² + ав²) – 2ав² не зависит от значений переменных а и в.
3). Какой остаток при делении на 4 дает сумма четырех последовательных натуральных чисел?

Вариант 2.

1). Упростите выражения 6ху² – (4ху² + ух) + (4ху – 2у²х) и найдите его значение при ху =-4.
2). Докажите, что значение выражения 5ав² + (3а²в – 8ав²) – (2а²в + 3ав²) – а²в не зависит от значений переменных а и в.
3). Какой остаток при делении на 5 дает сумма пяти последовательных натуральных чисел?

III. Изучение нового материала.

Чтобы умножить одночлен на многочлен, нужно умножить этот одночлен на каждый член многочлена и полученные произведения алгебраически сложить.

Пример 1.

Умножение одночлена на многочлен происходит согласно распределительному закону умножения, т.е.

а (в+ с) = ав + ас.

Обоснуем геометрически это правило.

Рассмотрим прямоугольник АВСД со сторонами АД = а и АВ = в + с.

Его площадь S = АД · АВ = а (в + с).

Этот прямоугольник состоит из двух прямоугольников.

1). АЕFД со сторонами АЕ = в и АД = а и площадью S = АЕ · АД = ав и
2). ЕВСF со сторонами ЕВ = с и EF = а и площадью S = ЕВ · ЕF = са

Площадь прямоугольника АВСД состоит из площадей двух прямоугольников, его составляющих, т.е.

S _АВСД = S _АЕFД + S _ЕВСF или а (в+ с) = ав + ас.

Шпаргалка

Пример 2.

Умножим одночлен -3ав на многочлен (2а²- ав + в²).

Образец записи: -3ав (2а² – ав + в²)= - 3ав · 2а² – 3ав · (-ав) – 3ав · в² =-6а³ в + 3а²в² – 3ав³ Если многочлен имеет стандартный вид, то в результате такого умножения получается многочлен стандартного вида, который уже не нуждается в приведении подобных членов.

Пример 3.

Умножим многочлен 6х³ + х^{2 –} 3х – 2 на одночлен -2х².

(6х³ + х² – 3х – 2)(-2 х²) = 6х³(-2х²) + х²(- 2х²) – 3х(-2х²) – 2(-2х²)=- 12х⁵ – 2х⁴ + 6х³ + 4х².

Полученный многочлен имеет стандартный вид.

Заметим, что промежуточные результаты можно не записывать. Тогда запись такого умножения выглядит короче.

(6х³ + х² – 3х – 2) (-2х²) = -12х² – 2х⁴ + 6х³ + 4х²

Пример 4.

Умножить многочлен 5а² – 2ав + 3в² на одночлен 3в² и ав.

Решим эту задачу двумя способами:

1 способ: Перемножим все одночлены, а вновь полученный одночлен умножим на данный многочлен.

3в²· ав = 3ав³;

3ав³ (5а²- 2ав + 3в²)= 15а³в³ – 6а²в⁴ + 9ав⁵.

2 способ: Умножим многочлен сначала на первый одночлен. Полученный новый многочлен затем умножим на второй одночлен.

3в² (5а²- 2ав + 3в²) = 15а² в² – 6ав³ + 9в⁴;

ав (15а²в² – 6ав³ + 9в⁴) = 15а³в³ – 6а²в⁴ + 9ав⁵.

Убедились в том, что ответы совпадают в соответствии с сочетательным свойством умножения

(а · в) · с = а · (в · с)

В ходе решения замечаем, что первый способ даже при двух одночленах является более простым.

IV. Закрепление полученных знаний.

Решение задач № 663 (б,г), № 665 (в,г), № 668 (б,г), № 672 (б) – работа учеников у доски с комментированием хода решения.

V. Контрольные вопросы.

1) Как умножить одночлен на многочлен? Приведите пример.
2) Какое свойство умножения используется при умножении одночлена на многочлен?
3) Ученик умножил одночлен на многочлен, после чего одночлен оказался стертым. Восстановите его.

… (х - у) = 3ах – 3ау
… (2а + в) = 2а² + ав
… (х – у² + 1) = ху² – у⁴ + у²

VI. Задание на дом двух уровней сложности.

Уровень А: № 673 (а, в), 667 (а, б), 677 (а).
Уровень В: № 666 (д, е), 673 9б, г), № 677 (б).

Творческое задание ( на карточках нескольким ученикам по желанию):

Упростить выражение и с помощью кода составить высказывание.

Закодированные буквы

Получившееся высказывание:

VII. Подведение итогов урока.