План-конспект урока в 11-м классе "Применение интеграла"

Разделы: Математика

1. Устная работа

Учитель говорит какое-либо утверждение или правило, учащиеся делают вывод: верно или нет( если верное – руки не поднимают, если неверное – поднимают руки и объясняют, почему).

  1. Функция F называется первообразной для функции f на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка . (неверно, )
  2. Графики любых двух первообразных для функции f получаются друг из друга параллельным переносом вдоль оси Оу. (верно)
  3. Если f непрерывная на отрезке [a; b] функция, а F – ее первообразная на этом отрезке, то площадь S соответствующей криволинейной трапеции равна первообразной на этом отрезке. (неверно, f – непрерывная и неотрицательная)
  4. Интегрирование – это операция, обратная дифференцированию.(верно)
  5. Интеграл от положительной функции есть площадь ее подграфика. (верно)

2. Объяснение нового материала

Применение интеграла имеет важное значение как приложение интеграла к решению геометрических и физических задач.
– Сегодня на уроке мы рассмотрим применение интеграла
а) для вычисления объемов тел;
б) для вычисления работы переменной силы;
в) для вычисления массы, электрического заряда, количество теплоты, перемещения.

«Вычисление объемов тел», «Вычисление работы переменной силы» – выступления учащихся (п. 31, [1] )

«Вычисление электрического заряда»
Рассмотрим применение интеграла для вычисления электрического заряда. Представим себе электрический ток, текущий по проводнику. Как вычислить электрический заряд, переносимый за интервал времени [t1, t2) через сечение проводника? Если бы сила тока Iне изменялась со временем, то изменение заряда равнялось бы I(t1, t2). Пусть задан закон изменения I = I(t) в зависимости от времени. Тогда на малом интервале времени, т.е. при t  0 силу тока можно считать постоянной и равной I(t). Тогда I(t)=q’(t), а следовательно, q(t) =I(t) dt.

Итак можно сравнить все приведенные примеры с физическими примерами, которые мы изучали по теме «Применение производной». Но в этом случае у нас была дана величина F, а мы искали f = F’. Теперь же наша задача заключается в том, чтобы по величине f найти F, т.е. F(x) = f(x)dx.

3. Обобщение, закрепление изученного материала

1) С целью обобщения и закрепления изученного материала мы заполним следующую таблицу. (Учащимся раздаются таблицы, в которых заполнена только колонка «Вычисление производной»)

Величины

Вычисление производной

Вычисление интеграла
А – работа;
F – сила;
N – мощность

F(x)=A(x)
N(t)=A(t)

A =F(x) dx;
A =N(t) dt
m – масса тонкого стержня;
p – линейная плотность

p(x)=m(x)

m = p(x) dx
q– электрический заряд;
I – сила тока

I(t)=q(t)

q = v(t) dt
S – перемещение;
v – скорость

V(t)=S(t)

S=v(t) dt
Q – количество теплоты;
с – теплоемкость

C(t)=Q(t)

Q=c(t) dt
V – объем;
S – площадь

S(x)=V(x)

V=S(x) dx

Учащиеся самостоятельно заполняют вторую колонку «Вычисление интеграла», опираясь на следующую формулу:

если f(x) = F’(x), то F(x)= f(x) dx

2) Проверка таблицы (плакат с аналогичной таблицей на доске, вторая колонка закрыта)

3) Решение задач по вариантам:

1 вариант – № 370(а)
2 вариант – № 374

(Двое учащихся решают у доски, остальные – самостоятельно в тетрадях).

4. Подведение итогов урока

Оценки за урок.

5. Домашнее задание: п. 31, № 370 (б, г), № 371 (а), № 373.

Литература:

  1. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. общеобразоват. учреждений/А.Н. Колмогоров, А.М. Абрамов, Ю.П. Дудницын и др. ; по ред. А.Н. Колмогорова. 11-е изд. – М.: Просвещение, 2001.
  2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10–11 кл. / М.И. Башмаков.–2-е изд.–  М.: Просвещение, 1992.