Тематические зачеты как форма работы в профильных классах старшей школы

Разделы: Математика

Проверка усвоения учащимися материала, в том числе теоретического, может быть осуществлена в различной форме, но как показывает практика, традиционного текущего контроля недостаточно. Зачетная система позволяет не только осуществить контроль, но и обобщить и систематизировать знания, умения учащихся, организовать самостоятельную и индивидуальную работу.

Тематические зачеты в профильных классах проводятся следующим образом. В начале изучения каждой темы учащимся выдается список вопросов для подготовки к зачету (часть из них планируется для самостоятельного изучения), устанавливается ориентировочная дата его проведения.

Учитель готовит карточки (билеты) для проведения зачета, каждая из которых содержит практическую и теоретическую части. Билет содержит 3–4 вопроса (например, билеты по темам “Интеграл и дифференциальные уравнения” и “Многогранники и многогранные углы” содержат 4 вопроса; билеты по теме “Параллельность в пространстве” и  “Перпендикулярность в пространстве” – 3 вопроса). Один или два вопроса – теоретические (по количеству заявленных тем зачета), два вопроса – задачи.

Теория и практика оцениваются отдельно.
При ответе на теоретический вопрос учащиеся должны, как правило, дать определение, сформулировать указанные свойство или признак и доказать их. Кроме того, учащийся должен продемонстрировать знание формулировок определений и теорем, относящихся к заявленной теме зачета (т.е. ответить на дополнительные вопросы учителя по всей теме зачета, а не только данного билета).

Решение задач должно быть подробным со ссылками на все используемые факты. Оно может быть представлено в письменной или устной форме (в последнем случае все необходимые вычисления должны быть проделаны заранее).

На зачет выделяются два урока перед контрольной работой. Форма проведения зачета – собеседование. В его проведении задействованы члены методического объединения учителей математики.

Ниже приведены вопросы и билеты к зачету по геометрии по теме “Параллельность в пространстве”.

Вопросы:

  1. Аксиомы стереометрии и следствия из них.
  2. Параллельные прямые в пространстве (определение, теорема).
  3. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
  4. Теорема о трех параллельных прямых.
  5. Признак параллельности прямой и плоскости.
  6. Свойства параллельности прямых и плоскостей.
  7. Скрещивающиеся прямые (определение). Признак скрещивающихся прямых.
  8. Теорема о скрещивающихся прямых (проведение через одну из скрещивающихся прямых плоскости, параллельной другой прямой).
  9. Углы с сонаправленными сторонами (определение). Теорема об углах с сонаправленными сторонами. Угол между прямыми.
  10. Определение параллельного проектирования. Основные свойства параллельного проектирования.
  11. Изображение фигур в параллельной проекции. Понятие об аффинных свойствах фигур.
  12. Параллельные плоскости (определение). Признак параллельности двух плоскостей.
  13. Свойства параллельных плоскостей.
  14. Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. Теорема о плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
  15. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку, не лежащую в данной плоскости, параллельно данной плоскости.
  16. Теорема о параллельности трех плоскостей.
  17. Тетраэдр. Параллелепипед и его свойства.
  18. Построения в пространстве. Задание и построение сечений многогранников.

Билет 1.

  1. Теорема о параллельных прямых.
  2. Дано: || . Отрезки АВ и CD пересекаются в точке М. Точки А и С лежат в плоскости , а D и В – в плоскости . Докажите, что =.
  3. Даны параллелограмм ABCD и трапеция ABEK с основанием ЕК, не лежащие в одной плоскости. Выясните взаимное расположение прямых CD и ЕК. Найдите периметр трапеции, если известно, что в нее можно вписать окружность и АВ = 22,5 см, ЕК = 27,5 см.

Билет 2.

  1. Лемма о пересечении плоскости параллельными прямыми.
  2. Треугольник APD и трапеция ABCD имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Через основание ВС трапеции и середину отрезка PD – точку К проведена плоскость, которая пересекает прямую АP в точке М, AD = 2ВС. Докажите, что отрезки МС и ВК пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  3. Докажите, что сумма квадратов четырех диагоналей параллелепипеда равна сумме квадратов двенадцати его ребер.

Билет 3.

  1. Теорема о трех прямых.
  2. Дан тетраэдр АВСD, точки E, F, P, M – середины ребер AD, CD, BC, AB соответственно. Докажите, что EP и MF пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  3. Докажите, что плоскость , проходящая через середины двух ребер основания тетраэдра и вершину, не принадлежащую основанию, параллельна третьему ребру основания. Найдите периметр и площадь сечения тетраэдра плоскостью , если длины всех ребер тетраэдра равны 20 см.

Билет 4.

  1. Признак параллельности прямой и плоскости.
  2. Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой а проведена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую b. Каково взаимное расположение прямых MN и b?
  3. На ребрах DA, DB, DC тетраэдра DABC отмечены точки М, N и Р так, что DM : MA = DN : NB = DP : PC. Докажите, что плоскости MNP и АВС параллельны. Найдите площадь треугольника MNP, если площадь треугольника АВС равна 10 см2 и DM : MA = 2 : 1.

Билет 5.

  1. Свойства параллельности прямых и плоскостей.
  2. Параллелограммы ABCD и ADFE лежат в разных плоскостях и имеют общую сторону AD. Прямая m, параллельная ВС, пересекает плоскости АВЕ и DCF соответственно в точках H и P. Докажите, что HPFE – параллелограмм.
  3. Основание АВ трапеции ABCD параллельно плоскости , а вершина С лежит в этой плоскости. Докажите, что: а) основание CD трапеции лежит в плоскости ; б) средняя линия трапеции параллельна плоскости .

Билет 6.

  1. Признак скрещивающихся прямых.
  2. М . Где расположены все прямые, проходящие через точку М и параллельные плоскости ?
  3. В тетраэдре ABCD точки М, N и Р – середины ребер АВ, ВС и CD, АС = 10 см, BD = 12 см. Докажите, что плоскость MNP проходит через середину К ребра AD, и найдите периметр четырехугольника, полученного при пересечении тетраэдра плоскостью MNP.

Билет 7.

  1. Теорема о скрещивающихся прямых.
  2. Треугольники АВС и DBC не лежат в одной плоскости. Точки M, H, K – середины соответственных отрезков BD, CD, AC соответственно. Плоскость MKH пересекает отрезок АВ в точке Р. Докажите, что отрезки PH и МК пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  3. Прямая m параллельна диагонали BD ромба ABCD и не лежит в плоскости ромба. Докажите, что: а) m и АС – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними; б) m и АD – скрещивающиеся прямые – и найдите угол между ними, если АВС = 128o.

Билет 8.

  1. Теорема об углах с сонаправленными сторонами.
  2. Точка О не лежит в плоскости , которая задается параллельными прямыми a и b. Плоскость проходит через точку О и прямую a, а плоскость проходит через точку О и прямую b. Докажите, что линия пересечения этих плоскостей параллельна прямым a и b.
  3. Треугольники АВС и ABD не лежат в одной плоскости. Докажите, что любая прямая, параллельная отрезку CD, пересекает плоскости данных треугольников.

Билет 9.

  1. Признак параллельности двух плоскостей.
  2. На рисунке E, F, P, M – середины A1D1, D1C, CD, A1D соответственно. Докажите, что EP и MF пересекаются и точкой пересечения делятся пополам.
  3. Три отрезка А1А2, В1В2 и С1С2, не лежащие в одной плоскости, имеют общую середину. Докажите, что плоскости А1В1С1 и А2В2С2 параллельны.

Билет 10.

  1. Свойства параллельных плоскостей.
  2. В плоскости расположен треугольник АВС. Через его вершины проведены параллельные между собой отрезки АА1, ВВ1, СС1, расположенные по одну сторону от плоскости ; АА1 = ВВ1 = СС1. Точки F, E, M – середины отрезков В1С, АС1, А1В соответственно. Докажите, что треугольники EMF и АВС подобны.
  3. Через точку пересечения медиан грани BCD тетраэдра ABCD проведена плоскость, параллельная грани АВС. Докажите, что сечение тетраэдра этой плоскостью есть треугольник, подобный треугольнику АВС. Найдите отношение площадей сечения и треугольника АВС.

Билет 11.

  1. Параллельное проектирование и его свойства (одно свойство с доказательством).
  2. Прямая b лежит в плоскости . Прямая а не лежит в плоскости a и параллельна прямой b. Через точку М, лежащую в плоскости (М b), проведена прямая с, параллельная а. Докажите, что с лежит в плоскости .
  3. Вершины А и В трапеции ABCD лежат в плоскости a, а вершины С и D не лежат в этой плоскости. Как расположена прямая CD относительно плоскости , если отрезок АВ является: а) основанием трапеции; б) боковой стороной трапеции?

Билет 12.

  1. Параллельное проектирование и его свойства (одно свойство с доказательством).
  2. Даны две параллельные прямые а и b и точка М, не лежащая ни на одной из них. Лежит ли точка М в одной плоскости с прямыми а и b, если известно, что через точку М можно провести прямую, пересекающую только одну из данных прямых.
  3. Точки А, В, С и D не лежат в одной плоскости. Медианы треугольников АВС и CBD пересекаются соответственно в точках М1 и М2. Докажите, что отрезки AD и М1М2 параллельны.

Билет 13.

  1. Параллельное проектирование и его свойства (одно свойство с доказательством).
  2. а | | , М . Докажите, что в плоскости a существует прямая b, проходящая через точку М и параллельная прямой а.
  3. Прямые а и b параллельны. Через точку М прямой а проведена прямая MN, отличная от прямой а и не пересекающая прямую b. Каково взаимное расположение прямых MN и b?

Билет 14.

  1. Теорема о прямой, пересекающей одну из параллельных плоскостей. Теорема о плоскости, пересекающей одну из параллельных плоскостей.
  2. Основание AD трапеции ABCD лежит в плоскости . Через точки В и С проведены параллельные прямые, пересекающие плоскость в точках Е и F соответственно. Докажите, что ВСFЕ – параллелограмм. Каково взаимное расположение прямых EF и АВ? Чему равен угол между ними, если АВС= 150o?
  3. В пространственном четырехугольнике АВСD стороны АВ и CD равны. Докажите, что прямые АВ и CD образуют равные углы с прямой, проходящей через середины отрезков ВС и AD.

Билет 15.

  1. Теорема о существовании и единственности плоскости, проходящей через точку, не лежащую в данной плоскости, параллельно данной плоскости.
  2. Трапеция ABCD (AD и ВС – основания) и треугольник AED имеют общую сторону AD и лежат в разных плоскостях. Точка М лежит на стороне АЕ, а Р – на стороне DE, причем МР параллельна плоскости трапеции. Докажите, что МР | | ВС. Каково взаимное расположение прямых МР и АВ? Чему равен угол между этими прямыми, если АВС= 110o?
  3. На ребрах параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 отмечены точки M, N, M1, N1 так, что АМ = CN = A1M1 = C1N1. Докажите, что MBNDM1B1N1D1 – параллелепипед.

Билет 16.

  1. Параллелепипед и его свойства.
  2. Вне плоскости расположен треугольник АВС, у которого медианы АА1 и ВВ1 параллельны плоскости . Через вершины В и С треугольника проведены параллельные прямые, которые пересекают плоскость соответственно в точках E и F . Докажите, что FCBЕ – параллелограмм.
  3. Плоскости и пересекаются по прямой АВ. Прямая а параллельна как плоскости , так и плоскости . Докажите, что прямые а и АВ параллельны.