Почему школьникам так трудно дается геометрия? Причина в отсутствии системы знаний, которая позволяет видеть целостность геометрии и обнаружить взаимосвязь и взаимозависимость тем и на этой основе разработать практические рекомендации по решению задач. Важна не только сумма знаний, но и их система.
Как достичь системных знаний у школьников? Наиболее оптимальным вариантом является сочетание особого структурирования учебного материала на основе комплексного подхода к содержанию учебного материала по геометрии с 7 по 11 классы и обучение школьников методам научного познания. Предлагаю систему, комплекс элементов во взаимосвязи, представляющие собой единое целое, имеющие кроме свойств отдельных элементов, свои особые системные свойства. Целое больше суммы своих частей. Свойства элементов системы представлены в 10 структурно-логических таблицах, в которых построена модель решения задач, записаны основные свойства и формулы. Весь школьный курс геометрии в 10 таблицах!
Из схемы видно, что в геометрии все взаимосвязано, однако можно выделить три темы, которые находятся в меньшей взаимозависимости. Это темы:
- Фигуры;
- Декартовы координаты. Векторы;
- Задачи на построение.
Взаимосвязь этих тем встречается в типовых задачах, где взаимосвязь очевидна или в задачах олимпиадного характера, где эту взаимосвязь необходимо установить.
Базовая тема, конечно, “Фигуры”, так как геометрия изучает фигуры и их свойства. Фигуры делятся на две группы: фигуры на плоскости и фигуры в пространстве. Сколько и какие фигуры изучаются в планиметрии? Не так то их и много, это:
- Основные фигуры (точка, прямая, отнесем к ним также луч, отрезок и угол).
- Окружность, круг и их элементы.
- Многоугольники (треугольники любые; некоторые четырёхугольники, у которых есть хотя бы одна пара параллельных сторон; правильные многоугольники; другие многоугольники не изучаются, а если встречаются, то мы их разбиваем на изучаемые многоугольники).
А в стереометрии изучаются:
- Основные фигуры (точка, прямая, плоскость)
- Многогранники.
- Тела вращения.
Все фигуры находятся в тесной взаимосвязи между собой и каждая таблица, рассматривающая фигуру, рассматривает и её взаимосвязь с другими фигурами, но для некоторых взаимосвязей составлены отдельные таблицы. Если есть многоугольник и окружность, следовательно, есть окружность, вписанная в многоугольник и описанная около него, если есть угол и окружность, следовательно, есть угол, вписанный в окружность и описанный около неё.
Итак, весь школьный курс геометрии в 10 таблицах. Рассмотрим каждую таблицу отдельно.
Таблица № 1. Основные фигуры планиметрии - точка и прямая, всем остальным фигурам определение даётся на базе основных фигур. В свою очередь простейшими планиметрическим фигурами являются: точка, прямая, луч, отрезок и угол, основные свойства которых, заключены в аксиомах. В этой таблице отражены некоторые свойства угла и его взаимосвязь с прямой.
Таблица № 2. Рассматривает окружность, круг, их элементы и взаимосвязь с прямой.
Таблица № 3. Это наиболее часто используемая таблица, так как в ней подвергается анализу базовая фигура геометрии - треугольник и взаимосвязь треугольника с основными фигурами планиметрии точкой и прямой, которая отражена в подтеме “Линии треугольника”: здесь рассматриваются свойства пяти линий треугольника и свойства замечательных точек треугольника.
Таблица № 4. Многоугольники. В этой таблице рассматриваются правильные многоугольники, некоторые четырёхугольники и их взаимосвязь с прямой.
Таблица № 5. Содержит основные формулы, отражающие взаимосвязь угла и окружности.
Таблица № 6. Если в задаче дана окружность и многоугольник, то используют эту таблицу, анализирующую взаимосвязь многоугольника с окружностью.
Таблица № 7. Разбирает взаимное расположение основных фигур стереометрии, угол и расстояние между ними.
Таблица № 8. Эта таблица содержит основные определения, свойства и формулы многогранников, которые разбиты на четыре группы: призма, пирамида, правильные многогранники и другие.
Таблица № 9. Рассматривает тела вращения: цилиндр, конус, шар и другие, и их взаимосвязь с многогранниками.
Таблица № 10. Рассматривает декартовы координаты и векторы на плоскости и в пространстве. Эти темы тесно взаимосвязаны, поэтому объединены в одну таблицу. “Векторы” параллельно рассматриваются в двух направлениях: в геометрической форме, где изучается вектор как направленный отрезок, который мы видим и строим, и в алгебраической форме, где даются координаты вектора. Также рассматривается взаимосвязь этих форм.
(Все таблицы приводятся в приложениях)
Одну из таблиц разберём более подробно, например таблицу № 3 “ТРЕУГОЛЬНИКИ” и на её примере покажем особенность систематизации и структурирования учебного материала на основе комплексного подхода к содержанию учебного материала, охватывающего весь школьный курс геометрии:
Планиметрия изучает все виды треугольников. Разобьём множество всех треугольников на четыре вида: равносторонний, прямоугольный, равнобедренный и произвольный, и составим рейтинг треугольников.
I место. Треугольник считается “хорошим”, если он правильный, т. к. у такого треугольника многое известно и легко найти его элементы и площадь.
II место. Треугольник считается “хорошим”, если он прямоугольный, т. к. для него существует много формул, по которым можно найти все его элементы и площадь.
III место. У равнобедренного треугольника нет формул, поэтому его надо рассматривать, как:
а) равносторонний, если он имеет угол 60?
б)проведя в нём высоту, рассматривать полученные прямоугольные треугольники
в) как произвольный треугольник - в оставшихся случаях.
IV место. Произвольный треугольник. Он имеет достаточно формул, но их применение более громоздко, чем у прямоугольного треугольника.
Поэтому если в задаче не указан вид треугольника, то его всегда надо определять. Определять вид треугольника по углам легко, а определить вид треугольника по сторонам помогут часто встречающиеся пифагоровы тройки, которые указаны в таблице.
Таблица содержит основные свойства и формулы всех видов треугольников, остановимся подробнее на прямоугольном треугольнике.
Прямоугольные треугольники разбиваются на три вида:
1) треугольник с углами 45?, 45? (равнобедренный).
2) треугольник с углами 30?, 60? (половина равностороннего треугольника).
3) произвольный.
Элементы треугольников первых двух видов легко запомнить, так как они часто встречаются.
Данная таблица так же рассматривает взаимосвязь треугольника с основными фигурами планиметрии точкой и прямой, которая отражена в теме “Линии треугольника”, здесь рассматриваются свойства пяти линий треугольника и свойства замечательных точек треугольника.
Фигуру треугольники ученики изучают в 7, 8, 9 классах и таблица изучается постепенно, при этом она позволяет видеть целостность темы, систематизирует знания учащихся, облегчает запоминание формул и дает рациональный подход в решении задач.
Рассмотрим решение некоторых задач и на их примере покажем использование таблиц.
Задача № 1. Найти площадь четырёхугольника ABCD, если АВ = 5, ВС = 13, CD = 9, AD = 15, АС = 12.
Решение:
Четырёхугольник ABCD произвольный, диагональ
разбивает его на два треугольника 
SABCD = SАВС +
SACD.
1. (5; 12; 13) – пифагорова тройка 
ACВ – прямо
угольный 
SАВС
= 
.
2. (9; 12; 15) – пифагорова тройка 
ACD –
прямоугольный 
SACD = 
.
3. SABCD = SABC + SACD 
SABCD = 30 + 54 = 84.
Ответ: 84
Как догадались:
Рассматривая решение этой задачи, многие ученики отметят, что решающий молодец, так как увидел прямоугольные треугольники. Он увидел их, потому что искал!
Если в задаче рассматривается треугольник, то его всегда надо проверять на “хорошесть”. Учитывая рейтинг треугольников и определив их вид по сторонам, выяснили, что в данной задаче они прямоугольные.
Задача № 2. Диагональ равнобокой трапеции равна 10 см, а угол при основании 1500. Найдите радиус окружности, описанной около трапеции.
Решение:
1. Найдём радиус окружности, описанной около АВС, угол В = 150
,
АС = 10 см , R АВС
= 
= 10 см.
2. RABCD = RABC
= 10 см.
Ответ: 10 см
Как догадались:
Если в задаче речь идёт о многоугольнике и окружности, то всегда надо использовать таблицу о взаимосвязи многоугольника с окружностью, то есть таблицу № 6, где сказано, что радиус описанной около трапеции окружности равен радиусу окружности, описанной около треугольника, вершинами которого служат любые три вершины равнобокой трапеции.
Треугольник АВС с угол В = 150
не является равносторонним и
прямоугольным, следовательно, воспользуемся
формулой радиуса описанной окружности для
произвольного треугольника.
Задача № 3. Основание пирамиды – треугольник
со сторонами 6 см, 10 см и 8 см. Все двугранные углы
при основании пирамиды равны 45
. Найти высоту пирамиды.
Решение:
1. ОМ – радиус окружности вписанной в
прямоугольный треугольник со сторонами 6 см, 8 см,
10 см, тогда ОМ = 
=2 см.
2. SOМ, угол О = 90
, угол М = 45
, следовательно
SО = ОМ = 2 см.
Ответ: 2 см
Как догадались:
Глядя на решение такой задачи, многие ученики задаются вопро-
сом: причём здесь радиус окружности, да ещё и вписанной? По условию задачи про окружность ничего не сказано… НО:
1. Если в задаче рассматривается пирамида, то первым пунктом отвечаем на вопрос: Где расположено основание высоты пирамиды? (смотреть таблицу № 8). Возможные варианты ответов:
1) В центре вписанной в основание пирамиды
окружности (если известны или надо найти равные
элементы “маленького треугольника”, SОМ).
2) В центре описанной окружности (если известны
или надо найти равные элементы “большого
треугольника”,
SOC).
3) В вершину основания (обычно это известно по условию).
4) В другие точки (такие задачи встречаются редко, они или лёгкие или олимпиадного уровня). В данной задаче, все двугранные углы при основании равны, следовательно, высота проецируется в центр вписанной окружности.
Вторым пунктом отвечаем на вопрос: Какой многоугольник лежит в основании пирамиды? Ответ в нашей задаче: треугольник. Определив по рейтингу треугольников, его вид (см. таблицу № 3), выяснили, что он прямоугольный, т.к. (6;8;10) – пифагорова тройка чисел. Значит, находим радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник (используя таблицу № 6).
2. Если в задаче надо найти длину отрезка или
градусную меру угла, то чаще всего находим
треугольник, в котором искомый отрезок или угол
являются стороной или углом треугольника
соответственно. В рассматриваемой задаче – это
прямоугольный
SOM, где угол М = 450 следовательно, SOM ещё и равнобедренный.
Рассмотрим группу задач на тему “Подобие фигур”. Такие задачи ученики решают с трудом и часто не рационально, так как не видят подобных фигур. А подобных фигур в геометрии не так-то и много:
В планиметрии подобны все правильные многоугольники и все круги. Существуют три признака подобия треугольников. Один из случаев, когда получаются подобные треугольники это треугольники, полученные при пересечении диагоналей трапеции и прилежащие к её основаниям (см. таблицу № 4).
В стереометрии подобны все шары и правильные многогранники. Также плоскость, пересекающая пирамиду (конус) и параллельная её основанию, отсекает от неё подобную пирамиду, (конус) (см. таблицу № 8).
Задача № 1. Площади двух правильных пятиугольников относятся как 4:9. Найдите отношение их периметров.
Решение: Так как пятиугольники правильные, то
они подобны, следовательно, 
= k2, 
= k.
Тогда 
= 
.
Ответ: 
Задача № 2. Трапеция разбивается диагоналями на четыре треугольника. Определить площадь трапеции, если площади треугольников, прилежащих к основаниям трапеции равны 4 см2 и 9 см2.
Решение:
В K С 1. ВОС
~ АОD, где 
, тогда 
O Пусть ВС = 2х и КО = 2у, тогда АD = 3х и ОN = 3у
2. По условию задачи SВОС = 4 см2,
значит 
,
А N D тогда 
3. Sтрапеции = 
, следовательно, SABCD = 
= 
=25 см2.
Ответ: 25 см2
Задача № 3. Площадь поверхности одного шара равна 18 см2. Найдите площадь поверхности другого шара, объём которого в 8 раз больше объёма данного шара.
Решение: Все шары подобны, следовательно, 
.
По условию задачи,
=
и S1 = 18,
тогда 
и 
, отсюда S2
= 72 cм2.
Ответ: 72 см2
Задача № 4. В каком отношении делит объём пирамиды плоскость, параллельная основанию, если она делит высоту в отношении 3:2, считая от вершины?
Решение:
1. Пирамиды SАВС и SА1В1С1 подобны, следовательно,
. По
условию задачи 
, тогда 
.
2. 
, тогда 
.
Ответ: 
Такая систематизация и структурирование учебного материала даёт полное видение курса геометрии как единого целое, систематизирует знания учащихся. Это позволяет:
1) научить “середнячка”, который составляет основную часть класса, решать задачи;
2) в сжатые сроки ликвидировать пробелы в знаниях и быстро и качественно организовать повторение в выпускных классах, где для решения задач необходимо знать весь предыдущий материал.
Вышеизложенная система апробирована автором в течение пяти лет на уроках в школе и на курсах по подготовке к вступительным экзаменам в ВУЗы.
Учащиеся в своих анкетах отмечают, что данная система, даёт понимание предмета. Применение структурно-логических таблиц облегчает усвоение и запоминание материала, помогает при выполнении самостоятельных работ и стимулирует желание учиться.