Производная и ее применение

Разделы: Математика

Ход урока

1. Организационный момент.

  • Проверка явки учащихся.
  • Проверка готовности учащихся к уроку.
  • Создание эмоционального настроя у учащихся на работу.

Учитель: Французский писатель Анатоль Франс (1844-1924гг.) заметил: «Чтобы переварить знания, надо поглощать их с аппетитом». Последуем совету писателя: будем на уроке активны, внимательны, будем поглощать знания с большим аппетитом, ведь они нам скоро понадобятся.

2. Сегодня у нас заключительный урок по теме «Производная и ее применение», на котором мы должны, систематизируя знания и умения, подготовиться к контрольной работе.

3. Устные упражнения:

  1. Что называется производной?
  2. Если на дороге произошла авария, то инспектора ГИБДД интересует скорость в момент аварии. Как она называется?
  3. Как связана мгновенная скорость с производной?
  4. В чем заключается геометрический смысл производной?
  5. На рисунках изображены графики функций и касательные к ним в точке а. Укажите функцию, производная которой в точке а равна 1?

  1. Назовите по данным таблицы промежутки возрастания и убывания функции, а также точки максимума и точки минимума.
x (-∞; -1)

-1

 (-1; 0) 0 (0; 2) 2 (2; +∞)
(x) - 0 + 0 - 0 +
f(x) -1 0 -3
  1. Используя график функции, найдите интервалы монотонности и точки экстремума, а также наибольшее и наименьшее значения функции.

4. Дидактическая игра «ЛОТО».

В специальном конверте предлагается набор карточек(9шт.) - это карточки- задания. Имеется другой набор карточек - это карточки- ответы, которых больше, т. к. среди ответов есть ложные. Решая пример, учащийся находит ответ, и этой карточкой (ответ) накрывает соответствующий номер в специальной карте. Если все задания выполнены верно, то обратные стороны карточек- ответов составляют картинку или рисунок. Номера в специальной карте совпадают с номерами карточек- заданий.

Задания для игры:

5. Историческая справка (докладывает учащийся).

Дифференциальное исчисление создано Ньютоном и Лейбницем сравнительно недавно, в конце столетия. Тем более поразительно, что задолго до этого Архимед не только решил задачу на построение касательной к такой сложной кривой, как спираль, но и сумел найти максимум функции f(x)= x²(a-x).

В 17 в. на основе учения Г. Галилея о движении активно развилась кинематическая концепция производной. Различные варианты изложения, примененные к разным задачам, встречаются уже у Р. Декарта, французского математика Роберваля (1602-1675), английского ученого Д. Грегори (1638-16750, в работе И. Барроу (1630-16770).

Систематическое учение о производных развито Лейбницем и Ньютоном, который сформулировал и две основные проблемы анализа:

  1. Длина проходимого пути постоянно дана; требуется найти скорость движения в предложенное время.
  2. Скорость движения постоянно дана; требуется найти длину пройденного в предложенное время пути.

Первая проблема задает программу развития дифференциального исчисления.

Вторая относится к интегральному исчислению.

6. Построение графика функции.

По данным таблицы постройте схематично график функции (все учащиеся в тетрадях, один на доске).

x x<-1 -1 -1<x< <x<0 0 0<x< <x<1 1 x>1
(x) - 0 + + + 0 + + + 0 -
(x) + + + 0 - 0 + 0 - - -
f(x) 0 0,8 2 3 4
    max   перегиб   перегиб   перегиб   min

7. Конкурс «Верно -Не верно».

Во время этой работы учащиеся используют сигнальные карточки (зеленый цвет - учащийся согласен с ответом, красный - не согласен).

  1. Верно ли, что в точке возрастания функции ее производная больше нуля?
  2. Верно ли, что если производная функции в некоторой точке равна нулю, то в этой точке имеется экстремум?
  3. Верно ли, что производная произведения равна произведению производных?
  4. Верно ли, что наибольшее и наименьшее значения функции на некотором отрезке наблюдаются или в стационарных точках, или на концах отрезка?
  5. Верно ли, что любая точка экстремума является критической точкой?

Учитель: «Когда математические задачи решаются легко, это служит наилучшим доказательством того, что силы, которые математика должна была развить, уже развились». Так сказал ученый Юнг Д. Вот мы сейчас и посмотрим, развились ли эти силы у вас, ребята.

8. Решение задач.

Во время этой работы трое учащихся получают карточки- задания, пятеро учащихся проходят тестирование на компьютерах, остальные решают задачи, по очереди выходя к доске. Затем меняются.

Карточка №1.

Найдите наибольшее и наименьшее значения функции y = x4 – 8x2 = 5 на отрезке [-3;2].

Карточка №2.

Найдите точки экстремума функции

Карточка №3.

Найдите интервалы монотонности функции y=2x3 – 3x2 – 36x + 40

Задачи:

  1. Найти критические точки функции
  2. Найти точки экстремума и значения функции в этих точках
  3. Найти наибольшее и наименьшее значения функции
  4. У Л. Н. Толстого есть рассказ «Много ли человеку земли надо?». О том, как крестьянин Пахом, который мечтал о собственной земле и собрав, наконец, желаемую сумму, предстал перед требованием старшины: «Сколько за день земли обойдешь, вся твоя будет за 1000 рублей. Но если к заходу солнца не возвратишься на место, с которого вышел, пропали твои денежки». Выбежал утром пахом, прибежал на место и упал без чувств, обежав четырехугольник периметром 40 км. Наибольшую ли площадь при данном периметре получил пахом?

9. Тестирование.

Вариант 1.

1. Найдите наименьшее значение функции на отрезке

1) –8; 2) –11; 3) 12; 4) 8.

2. Найдите значение выражения 6x1 + x2, где x1- точка минимума, x2 - точка максимума функции

1) 9; 2) 5; 3) –1; 4) -3.

3. Используя график функции y=f(x), укажите точку минимума:

1) –1; 2) 1; 3) 2; 4) 0.

4. Найдите промежутки возрастания функции

1) (0; 6); 2) (-∞; 0); 3) (6; +∞); 4) (0;1/6).

Вариант 2.

1. Найдите наибольшее значение функции на отрезке

1) 17; 2) 16; 3) 13; 4) 20.

2. Найдите значение выражения 3x1 + x2, где x1- точка максимума, x2- точка минимума функции

1) 7; 2) –9; 3) 8; 4) 4.

3. Используя график функции y=f(x), укажите точку максимума:

1) –1; 2) 0; 3) 2; 4) 1.

Найдите промежутки убывания функции

1) (-∞; 0); 2) (0;1/2); 3) (0; 2); 4) (-2;0).

10. Подведение итогов урока

  • Подводятся итоги каждого этапа урока.
  • Ответы на вопросы учащихся.
  • Объявление и комментирование оценок.

11. Домашнее задание: §48-§52, №№959(1), 961(2), 962(2;4), №970(1)- дополнительно.

Литература:

  1. Алимов Ш. А. и др. Алгебра и начала анализа. – 11- е изд. –М.: Просвещение, 2005.
  2. Смирнова Л. Н. Устные упражнения на уроках математики.-М.: Просвещение, 1996.