Образовательные цели урока:
- Повторить формулы корней неполных квадратных уравнений.
- Исследовать зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.
- Познакомить учащихся с теоремой Виета.
- Выявить каким образом теорема Виета может быть применима при решении квадратных уравнений.
- Начать формировать у учащихся умение применять теорему Виета при решении квадратных уравнений.
Развивающие цели урока:
- Развивать и совершенствовать умение применять имеющиеся у учащихся знания в новой ситуации.
- Способствовать развитию умения определять черты сходства и различия в изучаемых объектах.
- Способствовать развитию умения делать выводы и обобщения.
Воспитательные цели урока:
- Способствовать выработке у школьников желания и потребности изучаемых фактов.
- Воспитывать самостоятельность и творчество.
- Используя исторический материал, повышать интерес к изучению математики.
Ход урока
I. Организационный момент.
II. Актуализация знаний.
Д/з учащихся включало в себя задание: придумать приведенное квадратное уравнение с целыми корнями, решить его, записать на альбомном листе крупно данное квадратное уравнение, на втором листе – корни этого уравнения.
Учитель предлагает учащимся показать приготовленные уравнения и быстро решает их, называя корни, вызывая удивление учащихся. Затем она приглашает фокусника из числа учащихся (заранее подготовленный ученик), который по корням квадратных уравнений угадывает придуманные учащимися уравнения.
Далее учитель сообщает учащимся, что такие фокусы они тоже смогут показывать, если будут внимательны и активны на уроке.
III. Повторение пройденного материала.
(Два ученика работают с таблицей у доски.) Задание: заполнить пустые места в таблице.
Рисунок 1
(Остальная часть класса разгадывает кроссворд, используя теоретические знания)
Задание: если вписать верные слова, то в выделенной строке получится фамилия французского математика.
Вопросы:
1. Квадратное уравнение с первым коэффициентом равным 1 (приведенное).
2. Подкоренное выражение в формуле корней квадратного уравнения (дискриминант).
3. Один из видов квадратного уравнения (неполное).
4. a, b в квадратном уравнении (коэффициенты).
В выделенной строке получится фамилия французского математика Виета.
IV. Историческая справка (сообщение учащегося о жизни и деятельности математика Франсуа Виета или презентация).
Цель: Сегодня на уроке мы исследуем зависимость между коэффициентами и корнями квадратного уравнения.
- Занимаясь квадратными уравнениями, вы, вероятно, уже заметили, что информация об их корнях скрыта в коэффициентах. Кое-что для нас уже открылось. От чего зависит наличие или отсутствие корней квадратного уравнения? (от дискриминанта)
- Из чего составляется дискриминант квадратного уравнения? (из коэффициентов a, b, c)
- В зависимости от того, каковы коэффициенты квадратного уравнения, можно определить корни неполных квадратных уравнений, проверяем заполнение учащимися таблицы.
Как ещё связаны между собой корни и коэффициенты квадратного уравнения? Чтобы раскрыть эти связи, наверное, будет полезно понаблюдать за коэффициентами и корнями различных квадратных уравнений. При поиске закономерностей исследователи часто фиксируют свои наблюдения в таблицах, которые помогают обнаружить эти закономерности. (Учащийся от каждого ряда решает задание на доске, а остальные выполняют задание в тетради.)
Задание. Решить уравнение.
I ряд 3(x2 - 2) - x = 2x2 3x2 - 6 - x - 2x2=0 x2 - x - 6=0 D = 25 x1 = 3 x2 = - 2 |
II ряд
4(3x + 3) =2(1 - x2) 2x2 + 12x + 10 = 0 x2 + 6x + 5 = 0 D1 = 4 x1 = - 1 x2= - 5 |
III ряд (x - 3)2 = 1 x2 + 9 - 6x = 1 x2 - 6x + 8 = 0 D1 = 1 x1 = 4 x2 = 2 |
Дополнительно (x - 1)(x + 2) + 3x = 10 x2 + x - 2 + 3x - 10 = 0 x2 + 4x - 12 = 0 D1 = 16 x1 = 2 x2 = - 6 |
Давайте посмотрим, какова зависимость между коэффициентами и корнями приведенного квадратного уравнения.
Задание. Заполнить пропуски в таблице
| Уравнение | a | b | c | x1 | x2 | x1 + x2 | x1x2 |
| x2 – x – 6 = 0 | |||||||
| x2 + 6x + 5 = 0 | |||||||
| x2 – 6x + 8 = 0 | |||||||
| x2 + 4x –12 = 0 |
Помогла ли вам эта таблица в раскрытии новых связей между корнями и коэффициентами квадратных уравнений? Выскажите гипотезу, утверждение (учащиеся делают выводы). Сравните сформулированную вами гипотезу с теоремой, записанной в учебнике.
Теорема: Сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену. (Прочитать доказательство самостоятельно.)
Теорема называется теоремой Виета по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета (1540-1603). Свою знаменитую теорему он доказал в 1591 году.
Итак, тема сегодняшнего урока – “Теорема Виета”.
Цель нашего урока: познакомится с теоремой Виета и рассмотреть каким образом она применима к решению квадратных уравнений.
Задание. Используя теорему Виета, заполните пропуски в формулах.
| Уравнение | Сумма корней | Произведение корней |
| x2 – 5x – 6 = 0 | ||
| x2 – 3x + = 0 | 2 | |
| x2 + x - 10 = 0 | -3 | |
| x2 + x + = 0 | 5 | -14 |
Применима ли теорема Виета для квадратного уравнения в общем виде? (Да, если заменить это уравнение равносильным ему приведённым уравнением.)
ax2 + bx + c = 0
если x1 и x2 – корни данного уравнения, то по теореме Виета:
Сформулируйте утверждение для квадратного уравнения в общем виде.
Теорема: Если корни квадратного уравнения ax2+bx+c=0 существуют, то сумма корней равна
а произведение корней
.
“По праву достойна в стихах быть воспета
О свойствах корней теорема Виета.
Что лучше, скажи постоянства такого:
Умножишь ты корни – и дробь уж готова.
В числителе c, в знаменателе a,
А сумма корней тоже дроби равна
Хоть с минусом дробь, что за беда,
В числителе b, в знаменателе a.”
Задание. Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения.
| Уравнение | Сумма корней | Произведение корней |
| а) x2 – 37x + 27 = 0 | ||
| б) y2 + 41y – 371 = 0 | ||
| в) x2 – 210x = 0 | ||
| г) y2 – 19 = 0 | ||
| д) 2x2 – 9x – 10 = 0 | ||
| е) 5x2 + 12x + 7 = 0 | ||
| ж) – z2 + z = 0 | ||
| з) 3x2 – 10 = 0 |
В некоторых случаях корни уравнения можно найти подбором. Вспомните начало урока – как быстро я находила корни ваших уравнений. Подбор корней значительно облегчает решение, если известны зависимости между корнями и коэффициентами уравнения. Формулы, выражающие эти зависимости, отражены в теореме Виета.
Попробуем, не решая, найти корни квадратных уравнений.
Учащиеся решают задание № 964-966(а,б), используя данную теорему.
Устно: Не решая данного уравнения, определите какие числа являются корнями уравнения.
| x2– 5x + 4 = 0 | –1 и –4 | ||
| x2 + 5x + 4 = 0 | –1 и 4 | ||
| x2 – 3x – 4 = 0 | 1 и 4 | ||
| x2 + 3x – 4 = 0 | 1 и –4 |
Как вы решали? Мы можем выполнять эту операцию на основании теоремы, обратной теореме Виета. Сформулируйте утверждение, обратное теореме Виета. Что нужно знать для того, чтобы сформулировать обратную теорему?
Теорема. Если действительные числа x1 и x2 таковы, что x1 + x2= – p и x1x2=q, то эти числа являются корнями квадратного уравнения x2 + px + q = 0.
Рассмотрим, в каких случаях применяют теорему Виета и обратную ей теорему.
1) Теорему, обратную теореме Виета, можно использовать для проверки, найденных корней квадратного уравнения. Рассмотрим задания из домашней работы № 951(в), 952(г).
в) 9х2 + 30х – 11=0 х1= –11/3 , х2 =1/3 |
|
По теореме Виета:
Проверяем:
2) Теорему, обратную теореме Виета используют также при составлении квадратных уравнений. Вспомните фокусника, который, зная корни, угадывал ваши квадратные уравнения.
Пусть
- х1=2, х2=5, составьте квадратное уравнение (х2-7х+10=0),
- х1=- 4, х2=3, составьте квадратное уравнение (х2+х-12=0),
- х1= - 6, х2= -10, составьте квадратное уравнение (х2+16х+60=0).
Но чаще всего эту теорему используют для нахождения корней методом подбора.
V. Итог урока:
а) Самостоятельная работа (разноуровневая).
- Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета: х2-2х-24=0.
- Найдите подбором корни уравнения х2+3х-28=0.
- Один из корней данного уравнения равен 2. Найдите второй корень и коэффициент а: х2-ах-12=0
б) С какими теоремами вы познакомились сегодня на уроке? В каких ситуациях может быть применима теорема Виета и ей обратная теорема?
Домашнее задание: § 24, № 964-965(в,г), 967(в,г), 985(в,г), 990(в,г).