КРОССВОРД
- Cумма длин сторон называется … многоугольника.
- Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются … .
- Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая … областью многоугольника.
- Многоугольник называется … , если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
- Две несмежные стороны четырехугольника называются … .
- Четырехугольники бывают выпуклыми и … .
- Четырехугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны.
- В параллелограмме противоположные … равны.
- Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся … .
- Четырехугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие стороны не параллельны.
- Параллельные стороны трапеции называются … .
- Трапеция называется … , если ее боковые стороны равны.
- Трапеция, один из углов которой прямой, называется … .
- … называется параллелограмм, у которого все углы прямые.
- … прямоугольника равны.
Многоугольники
Рассмотрим фигуру, составленную из отрезков АВ, ВС, СD, DK, KE, EF, FA так, что смежные отрезки не лежат на одной прямой, а несмежные отрезки не имеют общих точек. Такая фигура называется многоугольником (рис. 1). Точки A, B, C, D, K, E, F называются вершинами, а отрезки АВ, ВС, СD, DK, KE, EF, FA - сторонами многоугольника. Сумма длин всех сторон называется периметром многоугольника. Многоугольник с n вершинами называется n-угольником; он имеет n сторон.
Две вершины многоугольника, принадлежащие одной стороне, называются соседними. Отрезок, соединяющий любые две несоседние вершины, называется диагональю многоугольника. Любой многоугольник разделяет плоскость на две части, одна из которых называется внутренней, а другая – внешней областью многоугольника.
Многоугольник называется выпуклым, если он лежит по одну сторону от каждой прямой, проходящей через две его соседние вершины.
Сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)* 180˚.
Четырёхугольники
Каждый четырёхугольник имеет четыре вершины, четыре стороны и две диагонали. Две несмежные стороны четырёхугольника называются противоположными. Две вершины, не являющиеся соседними, также называются противоположными.
Каждая диагональ четырёхугольника разделяет его на два треугольника. Так как сумма углов выпуклого n-угольника равна (n-2)*180˚, то сумма углов четырёхугольника равна 360˚.
Вопросы и задачи.
- Найдите сумму углов выпуклого:
а) пятиугольника;
б) восемнадцатиугольника;
в) десятиугольника. - Найдите стороны четырёхугольника, если его периметр равен 8 см, а одна сторона больше каждой из других сторон соответственно на 3 мм, 4 мм, 5 мм.
- Чему равны углы выпуклого четырёхугольника, если они равны друг другу.
- Решите ребусы:
- Является ли многоугольником фигура, изображённая на рисунке 1?
Параллелограмм
Параллелограммом (рис. 2) называется четырёхугольник, у которого противоположные стороны попарно параллельны. Параллелограмм является выпуклым четырёхугольником.
Рассмотрим свойства параллелограмма:
1° В параллелограмме противоположные стороны и углы равны.
Рассмотрим параллелограмм ABCD (рис.3). Диагональ AC разделяет его на два треугольника: ABC и ADC. Эти треугольники равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AB= CD, AD= BC и ∟B=∟D. Далее, пользуясь равенствами углов 1 и 2, 3 и 4, получаем ∟A=∟1+∟3=∟2+∟4=∟C
2° Диагонали параллелограмма точкой пересечения делятся пополам.
Пусть О – точка пересечения диагоналей AC и BD параллелограмма ABCD (рис. 4). Треугольники AOB и COD равны по стороне и двум прилежащим углам. Поэтому AO=OC OB=OD.
Признаки, по которым можно отличить параллелограмм от других четырёхугольников:
1° Если в четырёхугольнике две стороны равны и параллельны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
2° Если в четырёхугольнике противоположные стороны попарно равны, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
3° Если в четырёхугольнике диагонали пересекаются и точкой пересечения делятся пополам, то этот четырёхугольник - параллелограмм.
Трапеция
Трапецией называется четырёхугольник, у которого две стороны параллельны, а две другие не параллельны. Параллельные стороны называются её основаниями, а две другие - боковыми сторонами.
Трапеция называется равнобедренной (рис. 5), если её боковые стороны равны. Трапеция, один из углов которой прямой, называется прямоугольной (рис.6).
Вопросы и задачи.
- Докажите, что выпуклый четырёхугольник ABCD является параллелограммом, если:
а) ∟BAC=∟ACD и ∟BCA= ∟DAC;
б) AB║CD, ∟A=∟C. - Периметр параллелограмма равен 48 см. найдите стороны параллелограмма, если:
а) одна сторона на 3см больше другой;
б) разность двух сторон равна 7 см;
в) одна из сторон в два раза больше другой. - Из вершин B и D параллелограмма ABCD, у которого АВ≠ВС и угол Аострый, проведены перпендикуляры BK и DM к прямой AC. Докажите, что четырёхугольник BMDK- параллелограмм.
- Докажите, что отрезок, соединяющий середины боковых сторон трапеции, параллелен основаниям трапеции.
- Один из углов равнобедренной трапеции равен 68˚. Найдите остальные углы трапеции.
- Даны три точки А, В и С, не лежащие на одной прямой. Постройте параллелограмм так, чтобы три его вершины совпадали с данными точками. Сколько таких параллелограммов можно построить?
- Постройте равнобедренную трапецию ABCD:
а) по основанию AD, углу A и боковой стороне AB;
б) по основанию BC,боковой стороне AB и диагонали BD.
Прямоугольник
Прямоугольником называется параллелограмм, у которого все углы прямые. Так как прямоугольник является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма: в прямоугольнике противоположные стороны равны, а диагонали точкой пересечения делятся пополам.
Диагонали прямоугольника равны => если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм - прямоугольник.
Докажем, что если в параллелограмме диагонали равны, то этот параллелограмм – прямоугольник.
Пусть в параллелограмме АВСD (рис. 7) диагонали AC и BD равны. Треугольники ABD и DCA равны по трем сторонам (AB=DC, BD=CA, AD - общая сторона).Отсюда следует, что ∟А= ∟D. Так как в параллелограмме противоположные углы равны, то ∟А=∟С и ∟В= ∟D. Таким образом, А=В=С=D. Параллелограмм выпуклый четырехугольник, поэтому А + В + С + D = 360˚.
Следовательно, А=В=С=D=90˚, то есть параллелограмм АВСD является прямоугольником.
Ромб
Ромбом называется параллелограмм, у которого все стороны равны. Так как ромб является параллелограммом, то он обладает всеми свойствами параллелограмма.
Особое свойство ромба:
Диагонали ромба взаимно перпендикулярны и делят его углы пополам.
Рассмотрим ромб ABCD (рис. 8). По определению ромба AB=AD, поэтому треугольник BAD равнобедренный.
Так как ромб-параллелограмм, то его диагонали точкой О пересечения делятся пополам. Следовательно, АО -медиана равнобедренного треугольника BAD, а значит, высота и биссектриса этого треугольника. Поэтому AC┴ BD и ∟BAC=∟DAC.
Квадрат
Квадратом (рис. 9) называется прямоугольник, у которого все стороны равны. Квадрат является параллелограммом, у которого все стороны равны, т.е. ромбом.
Основные свойства квадрата:
1° Все углы квадрата прямые.
2°Диагонали квадрата равны, взаимно перпендикулярны, точкой пересечения делятся пополам и делят углы квадрата пополам.
Вопросы и задачи.
- Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке О. Докажите, что треугольники AOB и AOD равнобедренные.
- В ромбе одна из диагоналей равна стороне. Найдите:
а) углы ромба;
б) углы, которые диагонали ромба образуют с его сторонами. - Докажите, что ромб, у которого один угол прямой, является квадратом.
- Постройте прямоугольник:
а) по двум смежным сторонам;
б) по стороне и диагонали;
в) по диагонали и углу между диагоналями. - Постройте квадрат:
а) по стороне;
б) по диагонали.
Дополнительные задачи и задания для повторения.
- Периметр параллелограмма равен 36 см, а одна из сторон равна 10 см. Найдите остальные три стороны.
- ABCD- квадрат, его диагонали пересекаются в точке О. Какое равенство верно?
A. АВ = CDБ. ВС = AD
B. ВС = АВ Г. АО = СО - Постройте параллелограмм по стороне а, диагонали d и углу b между ними.
- Дан параллелограмм ABCD. Постройте равнобедренную трапецию АВСЕ с основанием ВС.
- Диагональ квадрата равна 6 см. Найдите его сторону.
А. 3√2 Б. З√3 В. 4√3 Г. 6√2 - Сторона ромба 6, а одна из его диагоналей равна 4√5. Найдите длину второй диагонали.
- 24 Чему равна диагональ квадрата со стороной 12 см?
А. 12√2см Б. 72см В. 24 см Г. 6 см - . Диагонали квадрата CDEFпересекаются в точке О. Чему равен ∟COF?
- ABCD- равнобедренная трапеция, СН- ее высота.
- Найдите основание AD, если AB = 13, СH=12см,BС=16см.
- В квадрате CDEFпроведена диагональ СЕ. Чему равен ∟CEF?
- 28. Меньшая сторона прямоугольника равна половина его диагонали. Найдите угол между диагоналями.
- 29 ABCD- квадрат, а треугольник AMK - равнобедренный с боковой стороной, равной 8 см. Найдите периметр квадрата.
- В ромбе МКНОугол КНО равен 84°, В - точка пересечения его диагоналей. Найдите углы треугольника MOB.
- В ромбе ABCDвысота ВН делит сторону ADна отрезки АН = HD = 3 см. Найдите диагональ BDи ∟А. 32 . Известно, что ABCD - ромб. Какие утверждения верны?
- Все его углы равны.
- Его диагонали равны.
- Его диагонали перпендикулярны.
- Его диагонали являются биссектрисами углов.
- Его диагонали точкой пересечения делятся пополам.
А. 1,3, 4 Б.2,3,5 В.3,4,5 Г.2,4,5 - 33 Диагонали четырехугольника ABCDпересекаются в точке М под углом 60°, причем AM= МС = ВМ = MD. Определите вид четырехугольника.
A. квадрат Б. прямоугольник
B. ромб Г. невозможно определить - Дана прямоугольная трапеция ABCD, причем CD = 4 см, АВ = ВС = 5 см. Найдите большее основание AD.
- В прямоугольнике ABCDугол ВОС равен 130°. Найдите углы треугольника COD.
- ABCD - трапеция с основаниями 8 см и 20 см. Найдите длину отрезка BE, если DE= 15 см.
- Дано: АВСЕ— трапеция, АВ = СЕ, ABCD - ромб, ВС = 6см, АЕ= 10см. Найти периметр треугольника DCE.
- 38 В равнобедренной трапеции BCDEугол B равен 80°. Найдите угол KDE, если отрезок DKпараллелен боковой стороне ВС.
- Какой многоугольник называется выпуклым? Объясните, какие углы называются углами выпуклого многоугольника.
- Чему равна сумма углов выпуклого четырёхугольника.
- Докажите, что в параллелограмме противоположные стороны равны и противоположные углы равны.
- Какой четырехугольник называется трапецией? Как называются стороны трапеции?
- Какой четырехугольник называется прямоугольником?
- Докажите, что если в параллелограмме диагонали равны, то параллелограмм является прямоугольником.
- Какой четырехугольник называется квадратом? Сформулируйте основные свойства квадрата.
ГЕОМЕТРИЯ
Знания и открытия индийских математиков в геометрии скромнее, чем в арифметике, алгебре и теории чисел. Специальных сочинений по геометрии в Индии не было, эти сведения сообщались
общались в арифметических трактатах или в арифметических разделах сочинений по астрономии.
Геометрические теоремы приводились без доказательств. Обычно это был, только чертёж со словом, *смотри*. Лишь в редких случаях его сопровождали краткие пояснения. По-видимому, доказательства учащимся сообщались устно. В геометрических задачах вопросы
чаще всего сводились к вычислениям и гораздо реже — к построениям.
Самые ранние сведения о познаниях индийцев в области геометрии содержатся в руководстве по постройке алтарей и храмов — «Шульба-сутре». Храмы возводили, подчиняясь ряду правил. здания должны были иметь в основаниях определённые фигуры и быть сориентированы по странам света. Для этого требовалось умение строить прямой угол, квадрат, прямоугольные треугольники, стороны которых выражаются целыми киотами.
Индийцы знали, как построить квадрат, равновеликий прямоугольнику, и квадрат, площадь которого кратна площади данного квадрата. Отправной точкой многих построений служила теорема Пифагора. Бхаскара приводит доказательство этой Теоремы в виде чертежа с надписью'. *Смотри»,
ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПОСТРОЕНИЯ
Искусство построения геометрических фигур с помощью циркуля и линейки было высоко развито в Древней Греции. Линейкой пользовались ещё в Древнем Египте, но циркуль, по свидетельству древнеримского поэта Овидия, изобрели имения в Греции. Возможно, два этих инструмента потому и стали основными, что позволяли начертить две простейшие линии — прямую и окружность, а в математике решение задачи минимальными средствами всегда считалось признаком совершенства.
Для всех, кто изучает геометрию, задачи на построение никогда не потеряют своей привлекательности. Таких задач очень много. Познакомимся с основными методами их решения.
ПРОСТЕЙШИЕ ЗАДАЧИ
В задачах на построение весьма важно четко сформулировать «правила игры», т. е. определить, какие операции можно выполнять с помощью циркуля и линейки. Правила эти совсем простые:
- линейка считается односторонней, делений на ней нет и наносить их нельзя, с её помощью можно провести прямую через две заданные точки, и это всё;
- циркулем по заданной точке О и отрезку/Ш разрешается построить окружность с центром О и радиусом, равным АВ;
- точки пересечения построенных или заданных линий считаются построенными;
- разрешается выбирать произвольную точку на плоскости, на или вне построенной прямой или окружности. (Впрочем, такие произвольные точки всегда можно построить.)
Несколько простейших построений (деление отрезка пополам, проведение перпендикуляра и др.) обычно принимают за основные, а все более сложные сводят к ним.
Построение правильного треугольника на отрезке АВ (рис. 1) используют для определения середины отрезка АВ\ она лежит на пересечении отрезка и прямой, соединяющей точки С и О пересечения окружностей, проводимых при этом построении. Здесь потребовалось провести три вспомогательные линии — две окружности и прямую. Меньшим числом линий в данном случае обойтись нельзя.
ГЕОМЕТРИЯ
Остаётся неизвестным, сколько и какие имен-1Ю аксиомы положили ранние пифагорейцы в основу своей геометрии, но все они относились к планиметрии прямолинейных фигур. Изучались свойства треугольников, прямоугольников, параллелограммов и других плоских фигур, сравнивались их площади. Венчало их систему знаний доказательство знаменитой теоремы Пифагора, которая до этого была известна лишь как факт для некоторых частных случаев. Трудно переоценить значение теоремы Пифагора (см. статью «Треугольник, простейший и неисчерпаемый»). Ее обобщение сегодня лежит в основе определения всех метрических пространств.
Можно утверждать, что и в стереометрии пифагорейцы достигли значительных успехов. По свидетельству греческого историка и философа V в, Прокла, именно они построили пять правильных многогранников: тетраэдр, ко, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр.
Ко, октаэдр, додекаэдр, икосаэдр. Правда, многие современные исследователи считают, что Пифагору были известны лишь куб, тетраэдр и додекаэдр, а октаэдр и икосаэдр открыл Теэтет Афинский(IV в. до н. э.), талантливый ученик пифагорейца Феодора Киренского и Платона.
АСТРОНОМИЯ И ГАРМОНИЯ.
Пифагорейцы считали, что Земля имеет форму шара и находится в центре Вселенной: ведь нет никаких оснований, чтобы она была смещена или вытянута в какую-то одну сторону. Солнце же, Луна и пять планет (Меркурий, Венера, Марс).
ИДЕАЛЬНЫЙ МАТЕМАТИК - ЛЕОНАРД ЭЙЛЕР
XVIII столетие - недолгий век. Просвещения между эпохами жестокой нетерпимости, всего лишь за шесть лет до рождения Леонарда Эйлера (1707-11783) в Берлине была публично сожжена последняя ведьма. А через шесть лет после его смерти вспыхнула Великая французская революция.
Эйлеру повезло: он родился в маленькой тихой Швейцарии, куда со всей Европы приезжали мастера и ученые, не желавшие тратить драгоценное время на гражданские смуты или религиозные распри. Так переселилась в его родной Базель из Голландии семья Бернулли.
Уникальное созвездие научных талантов во главе с братьями Яковом и Иоганном. Вокруг братьев Бернулли сложился самый яркий математический кружок, и на полвека Базель стал третьим по важности математическим центром Европы после Парижа и Лондона, где уже процветали академии наук. Каждый год в кружке решались трудные и увлекательные задачи, а на смену им вставали новые.
Поступив в Базельский университет, Эйлер слушал лекции Иоганна Бернулли и подружился с его сыновьями - Николаем и Даниилом. Но когда ученые орлята подросли, выяснилось, что в Швейцарии не хватит места для их собственных гнезд, зато в далекой России по замыслу Петра I и по проекту Лейбницев 1724 г. Была учреждена Петербургская Академия наук. Русских ученых не хватало, и трое друзей- Леонард Эйлер и братья Даниил и Николай Бернулли отправились туда в поисках счастья и научных подвигов.
Чем только не пришлось заниматься Эйлеру на новом месте! Он обрабатывал данные всероссийской переписи населения( и проделал эту огромную работу в одиночку). Он расшифровывал перехваченные депеши. Он обучал молодых моряков высшей математике, астрономии, а также основам кораблестроения и управления парусным судном в штиль и в бурю. А еще составлял таблицы, необходимые для расчета артиллерийской стрельбы и таблицы движения Луны. Только гений мог за этими трудами не забыть о большой науке. Эйлер и был гением. За 14 лет своего первого пребывания в России (1727-1741 гг.) он успел написать первый в мире учебник по теоретической механике, а также математической навигации многие другие труды. Писал Эйлер легко и быстро, простым и понятным языком, столь же быстро он овладевал новыми языками, но вкуса к литературе не имел. Математика поглощала все его время и силы.
В 26 лет Эйлера избрали Российским академиком, а через восемь лет он переехал из Петербурга в Берлин. Считаться «немцем в Петербурге было безопасно и престижно, а ученых немцев ценили на вес золота. Но он уже почувствовал себя одним из сильнейших математиков Европы- и вдруг заметил, что здесь ему не с кем на равных поговорить о своей науке. Приезжая иностранная молодежь повзрослела и либо покинула дикую, опасную Россию, либо погрязла в мелкой текущей работе. А первое поколение ученых-россиян еще не выросло(вспомним, что Ломоносов находился тогда на учебе в Германии). Эйлер решил переехать туда, где накал научных дисскусий был повыше. Он выбрал Берлин - там молодой король Фридрих II решил создать научный центр не слабее парижского.
Эйлер провел в Берлине четверть века и считал эти годы лучшими в своей жизни. У него вновь появилось много друзей ученых, в их числе президент Берлинской академии наук.
Эйлер занимался самыми разными проблемами, и почти всегда - успешно. Например, захотелось ему перенести все методы математического анализа на функции, зависящие от комплексных переменных, и он создал теорию элементарных функций комплексного переменного. Попутно выяснилось, что показательная функция и синусоида суть две стороны одной медали. Это выражается формулой:
в –cos=sin
которая доказывается при помощи степенных рядов.
ЖИВОПИСЬ И ГЕОМЕТРИЯ
Примерно с XIII в. художники (среди них итальянец Джотто де Бон-доне) начали экспериментировать с изображением пространства. Они «создавали» живописное пространство, изменяя размеры фигур, располагая по определённым правилам элементы архитектуры, детали ландшафта.
В то время на латинском Западе стали популярными трактаты по оптике, и в частности труд «Перспектива» польского учёного Целика Витало (около 1225 — около 1280). В нём описание оптических экспериментов сочеталось с изложением «высшей математики» той эпохи: фрагментов «Начал» Евклида, «Конических сечений» Апол-лония и «Перспективы» арабского математика X—XI вв. Ибн аль-Хай-сама (Альгазена). Интерес к геометрии пространства в конечном итоге привёл к открытию в живописи линейной перспективы с единой точкой схода. (Точнее сказать, этот приём был переоткрыт, поскольку им владели ещё древние греки.)
В XV в. итальянский архитектор и скульптор Филиппо Брунеллески написал две картины с видами Флоренции, применив законы перспективы. К сожалению, эти работы не сохранились. Историки спорят о том, обладал ли Брунеллески недюжинными познаниями в математике и других науках. Если так, то его картины представляли собой сложнейшие геометрические построения. Есть и другое мнение: Брунеллески вначале писал картины на зеркале, обводя и раскрашивая отражения. Именно это натолкнуло его на мысль о перспективном сокращении архитектурных форм. Вскоре у него появились ученики и последователи. В их числе — друг Брунеллески живописец Мазаччо. Его кисти принадлежит монументальное панно «Троица» во флорентийской церкви Санта-Мария Новелла, где художник применил единую точку схода уходящих в глубину линий. Страстным энтузиастом перспективы был и Паоло Уччелло.
Практическую геометрию изучали, отложив на время кисти и краски, величайшие художники и теоретики искусства Леонардо да Винчи и Альбрехт Дюрер. Они использовали геометрическую технику в приложении к теории пропорций и перспективы в живописи.
«РЕНЕССАНС XII ВЕКА».
ГЕОМЕТРИЯ.
Новая волна переводов древнегреческих рукописей в Западной Европе пришлась на XII в. Это время называют «ренессансом (возрождением) XII века». Именно тогда возникли первые европейские университеты, создававшиеся обычно на базе крупных кафедральных школ. Как и гильдии средневековых ремесленников, университеты находились под покровительством светских и церковных иерархов и не зависели от произвола феодалов. Наиболее известные из университетов того времени — Парижский (Сорбонна) и Оксфордский, а также Болонский и Падуанский. Первые два баши особенно знамениты своими богословскими факультетами и факультетами «искусств», на которых изучали философию и математические науки. В XII в. впервые появились полные латинские переводы «Начал» Евклида, выполненные с арабского. Исчезло «варварское» прочтение классических текстов. Однако сама идея общности геометрии и практических приёмов измерений осталась и привела к появлению нового раздела математики — так называемой практической геометрии.
В трактатах по практической геометрии проблемы измерения полей всё больше уступали место задачам на нахождение расстояний до недоступных предметов (сами эти задачи восходили к римским источникам). Методы их решения вполне отвечали принципам геометрии Евклида. Наиболее известными из таких трактатов были труды монаха-бенедиктинца Гуго Сен-Викторского (?—1141), выдающегося итальянского математика Леонардо Пизанского. Известного также под именем Фибоначчи. Парижского математика и придворного астролога Доменико де Клавазио (XIV в.) и бакалавра медицины Никола Шюкё (XV в.), работавшего в Лионе.
Нужно сказать, что средневековым школярам премудрости практической геометрии давались с большим трудом. Чертежи, сопровождающие теоремы, надо было запоминать. Вот это и становилось камнем преткновения для учащихся, которым проще было затвердить наизусть несколько страниц латинского текста, нежели воспроизвести по памяти чертеж. Ведь люди тогда почти не сталкивались в своей жизни с такими понятиями, как план или чертёж, выполненный в масштабе. Как говорят историки, они жили «в мире приблизительности» и вместо измерения и вычерчивания точных геометрических форм довольствовались их словесными описаниями. Чтобы надёжнее запомнить тот или иной чертёж из «Начал» Евклида, ученики придумывали им смешные, запоминающиеся названия вроде «куриной лапы», «ослиного моста» или «хвога павлина» (рис. 1).
Которым проще был Остаётся загадкой, откуда черпали знания по геометрии средневековые архитекторы и строители готических соборов, ведь они, по-видимому, не посещали университетов. Скорее всего секреты зодчих передавались от мастера к ученику и не подлежали разглашению. Очевидно, поэтому от тех времён до нас почти не дошло архитектурных альбомов, которыми так богата последующая эпоха Возрождения. Единственное исключение — чудом уцелевший альбом архитектурных зарисовок, принадлежавший некоему Виллану д'Оннекуру. Он датируется примерно 1235 г. Полторы страшны, испещрены чертежами с подписями на пикардйском диалекте старофранцузского языка, разъясняющими их смысл. Расшифровать «геометрию» Виллана д'Оннекура непросто даже историкам архитектуры.
Братья Николай и Даниил Бернулли
Леонард Эйлер
