Программа курса "Геометрия — это интересно"

В связи с тем, что на экзаменах в 11 классе геометрические задачи включены во вторую и третью части экзаменационной работы, то для успешного выполнения этих заданий необходимы твердые знания основных геометрических фактов. Как показывает анализ задач, предлагаемых на экзаменах, можно сделать вывод, что это чаще всего задачи в которых используются свойства вписанных углов, свойства касательной и хорды, вписанных и описанных многоугольников, а также свойства замечательных точек треугольника.

Предлагаемый курс носит обобщающий характер и направлен на закрепление умений и навыков, полученных в 7-9 классах средней школы, а также на расширение и углубление теоретических знаний по планиметрии.

Целью курса является подготовка учащихся к изучению стереометрии в старших классах, формирование пространственных представленных, развитие абстрактного мышления, умения логически излагать материал и делать выводы.

Курс предназначен для учащихся, имеющих стойкий интерес или склонности к изучению математики, а также для подготовки учащихся к сдаче экзаменов в формате ЕГЭ.

Поэтому основными задачами курса являются:

• повторение основных понятий и теорем планиметрии;
• изучение новых теорем и свойств, применяемых для решения задач по планиметрии и стереометрии;
• закрепление полученных знаний при решении задач.

Курс предполагает применение полученных знаний как для решения стандартных задач, так и задач повышенной трудности. Для этого задачи взяты не только из школьных учебников различных авторов, но и из пособий для поступающих в вузы.

Требования к уровню образованности учащихся:

• знание основных определений и теорем планиметрии;
• умение анализировать и рассуждать.

Содержание курса:

1. Замечательные точки треугольника (4часа);
2. Свойства вписанных углов и их измерение (3часа);
3. Свойства касательной и хорды (3 часа);
4. Свойства вписанных и описанных многоугольников (3 часа);
5. За страницами учебника геометрии (теоремы: Чевы, Менелая, Стюарта) (3 часа).

§1. Замечательные точки треугольника. (3 часа)

Биссектриса.

Определение: Отрезок биссектрисы угла треугольника, соединяющий вершину треугольника с точкой противоположной стороны, называется биссектрисой треугольника.

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника делит противоположную сторону на отрезки пропорциональные сторонам, прилежащим к углам.

Рис.1

Теорема: Биссектриса внутреннего угла треугольника есть геометрическое место точек, равноудаленных от сторон угла (биссектриса – ось симметрии сторон угла).

Теорема: Биссектрисы внутренних углов треугольника пересекаются в одной точке – центре вписанной в треугольник окружности.

Рассмотрим и докажем ещё одно свойство биссектрисы угла, которое не рассматривается в школьном курсе математики.

Теорема: Пусть биссектрисы AL₁, BL₂, CL₃ треугольника ABC, со сторонами a, b, c, пересекаются в точке J. Доказать, что Рис.2

Доказательство: Пусть CL₃ = х, тогда L₁ B = а – х. AL₁ биссектриса треугольникABC , то по свойству из школьного курса известно, что откуда. Из того, что CJ – биссектриса треугольникAL ₁C, используя полученное выражение для х, получим: Аналогично доказываются остальные случаи. (предложить учащимся доказать самостоятельно).

Задачи на применение данного свойства:

1. Какое из расстояний больше: от вершины треугольника до точки пересечения биссектрис или от точки пересечения биссектрис до основания биссектрис?
2. Вписанная в треугольник ABC окружность касается стороны ВС в точке К. Докажите, что отрезок АК длиннее диаметра окружности.
3. Биссектриса AL₁ пересекает вписанную в треугольникABC окружность в точках Е и Т. Какой из отрезков больше: АЕ или ТL₁?
4. Докажите, что если биссектрисы треугольникABC точкой J делятся в одном отношении, то треугольникABC -равносторонний.
5. Докажите, что если биссектриса треугольника точкой J делится в отношении 2 : 1, то сторона, к которой она проведена есть среднее арифметическое двух других сторон.
6. Сторона ВС треугольника ABC есть среднее арифметическое сторон АВ и АС. Докажите, что прямая МJ ( точка М – центр тяжести треугольника, J – точка пересечения биссектрис) параллельна стороне ВС.

Медиана.

Определение: отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны, называется медианой треугольника.

Теорема: медианы треугольника пересекаются в одной точке – центре тяжести треугольника. Центр тяжести делит медианы в отношении 2 : 1, считая от вершины.

Рис. 3

Высота.

Определение: Перпендикуляр, проведенный из вершины треугольника к прямой, содержащей противоположную сторону, называется высотой треугольника.

Теорема: Высоты треугольника пересекаются в одной точке – ортоцентре треугольника.

Серединный перпендикуляр.

Определение: Серединным перпендикуляром к отрезку называется прямая, проходящая через середину данного отрезка и перпендикулярная к нему.

Теорема: Каждая точка серединного перпендикуляра к отрезку равноудалена от концов этого отрезка.

Теорема: Серединные перпендикуляры сторон треугольника пересекаются в одной точке – центре описанной окружности.

R – радиус описанной окружности.

O – центр описанной окружности. Рис.4

Задачи, рекомендуемые для решения.

1. В равнобедренном треугольнике с боковой стороной 4 см, проведена медиана к боковой стороне. Найдите основание, если медиана равна 3 см.
2. Один из катетов прямоугольного треугольника равна 15 см, а проекция другого катета на гипотенузу – 16 см. Найдите радиус окружности вписанной в треугольник.
3. В прямоугольном треугольнике радиус окружности равен 15 см, радиус вписанной окружности – 6 см. Найдите стороны треугольника.
4. В равнобедренном треугольнике основание и боковая сторона равны соответственно 5 см и 20 см. Найдите биссектрису угла при основании.
5. Через вершины треугольника АВС проведены прямые параллельные противолежащим сторонам, точки их пересечения являются вершинами нового треугольника. Докажите, что а) вершины треугольникABC являются серединами сторон нового треугольника; б) прямые, содержащие высоты нового треугольника пересекаются в одной точке.
6. Докажите, что в равностороннем треугольнике все четыре замечательные точки совпадают.
7. Диагональ АС параллелограмма АВСD равна 15см. середина М сторона АВ соединена с вершиной D. Найдите отрезки, на которые отрезок DМ делит отрезок АС.
8. В треугольнике ABC медиана ВD равна половине стороны АС треугольника. Найдите угол В треугольника АВС.
9. Медианы проведенные к катетам прямоугольного треугольника, равны и . Найдите гипотенузу треугольника.
10. Две стороны треугольника равны соответственно 6см и 8см. Известно, что медианы, проведенные к этим сторонам перпендикулярны. Найдите третью сторону треугольника.
11. В треугольник ABC вписан ромб АDЕF так, что вершины D, Е, F лежат соответственно на сторонах АВ, ВС, АС. Определите отрезки ВЕ и ЕС, если АС = 14см, ВС = 12см, АС 10см.
12. В равнобедренном треугольнике высота, проведенная из вершины равна 12см, а основание относится к боковой стороне как 4 : 3. Найдите радиус вписанной окружности.
13. В треугольнике ABC, проведены медианы АА₁ и ВВ₁, которые пересекаются в точке М. в треугольникABC проведена средняя линия РQ. Доказать, что четырехугольник РQА₁В₁ – параллелограмм.

§ 2. Свойства вписанных углов и их измерение.

Определение: Угол, вершина которого лежит на окружности, а стороны пересекают окружность, называется вписанным.

Теорема: вписанный угол измеряется половиной дуги на которую он опирается.

Следствие №1: Вписанные углы опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Следствие №1: Вписанный угол, опирающийся на полуокружность – прямой.

Задачи, рекомендуемые для решения.

1. Центральный угол АОВ на 30⁰ больше вписанного угла, опирающегося на дугу АВ. Найдите каждый из этих углов.
2. Точки А и В разделяют окружность на две дуги, меньшая из которых равна 140⁰. Большая дуга точкой М делится в отношении 6 : 5, считая от точки А. Найдите угол ВАМ.
3. Найдите угол, образованный двумя секущими, проведенными из точки, лежащей вне окружности, если дуги, заключенные между секущими равны 140⁰ и 52⁰.
4. Хорды АВ и СD пресекаются в точке Е. Найдите угол ВЕС, если дуга АС равна 54⁰, а дуга ВС равна 70⁰.
5. Хорды АВ и СD пресекаются внутри круга под углом 35⁰. Сколько градусов содержит каждая из дуг АВ и ВD, если их отношение равно 2 : 3.
6. Диаметр АВ и хорда СD пересекаются в точке М. Дуга АС равна 120⁰, а дуга ВD равна 98⁰. Найдите угол АМD.
7. Угол с вершиной внутри окружности опирается на диаметр. Докажите, что этот угол тупой.
8. Вершина равностороннего треугольника лежит вне окружности, а его основание совпадает с диаметром. Вычислить градусную меру дуг, на которые полуокружность рассекается сторонами треугольника.
9. В треугольникABC угол А равен 32⁰, угол С равен 24⁰. Окружность с центром в точке В проходит через точку А, пересекает ас в точке М, а ВС в точке N. Чему равен угол АNМ?
10. В окружности r = см проведена хорда АВ = 2см. Пусть М некоторая точка окружности. Чему равен угол АМВ?

§3. Свойства касательной и хорды.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к этой окружности.

Определение: Прямая, имеющая с окружностью две общие точки, называется секущей.

Определение: Отрезок, соединяющий две точки окружности, называется хордой.

Теорема: Касательная к окружности, проведенная через конец радиуса, перпендикулярна этому радиусу.

Теорема: Прямая, перпендикулярная к радиусу в конце его, лежащем на окружности, является касательной к окружности.

Теорема: Равные хорды стягивают равные дуги. Рис. 9

Теорема: Хорды, равноотстоящие от центра, равны и наоборот. Рис.10

Теорема: Если две хорды окружности пересекаются, то произведение отрезков одной хорды равно произведению отрезков другой хорды. Рис. 11

Теорема: Угол между касательной и секущей, проходящей через точку касания, измеряется половиной дуги окружности, лежащей внутри измеряемого угла. Рис. 12

Теорема: Угол с вершиной внутри круга измеряется полусуммой дуг , лежащих соответственно внутри данного угла и угла с ним вертикального. В частности, если точка М совпадает с точкой О, то Рис.13

Теорема: Угол, образованный двумя секущими, проведенными из внешней точки, измеряется полуразностью дуг , лежащих внутри его. Рис.14

Теорема: Произведение секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной: Рис. 15

Следствие: Для любой секущей, проведенной через данную точку А, произведение её длины на внешнюю часть постоянно:

Теорема: Две касательные к окружности, проведенные из одной точки, равны между собой.

Задачи, рекомендуемые для решения.

1. Из точки вне круга проведены две окружности. Внутренний отрезок первой секущей равен 47см, а внешний – 9см. Внутренний отрезок второй секущей на 72см больше внешнего отрезка этой секущей. Определить длину второй секущей.
2. Из точки, отстоящей от центра круга на m см, проведены касательные к кругу. Расстояние между точками касания равно а см. определите радиус круга.
3. Внутри круга, радиус которого равен 13см, дана точка М, отстоящая от центра на расстоянии 5см. через точку М проведена хорда АВ = 25см. Определите длины отрезков, на которые хорда АВ делится точкой М.
4. Окружность касается большего катета прямоугольного треугольника и проходит через вершину противолежащего угла. Центр окружности лежит на гипотенузе треугольника. Каков радиус окружности, если катеты равны 5см и 12см?
5. Доказать, что диаметр, перпендикулярный хорде, делит её пополам.
6. АВ – диаметр окружности, СА и СВ – равные хорды. Какие углы образует касательная, проведенная через точку С с данными хордами?
7. Даны окружность с центром в точке О и радиуса 4,5см и точка А, такая, что ОА = 9см. через точку А проведены две касательные к данной окружности. Найдите угол между касательными.
8. Дана трапеция АВСD, такая, что вершины В, С и D лежат на окружности, АВ – касательная к окружности. Основание ВС = 6см, АD = 24см. Найдите диаметр окружности.

§4. Свойства вписанных и описанных многоугольников.

Теорема: Сумма внутренних углов выпуклого n-угольника равна 180⁰(n-2).

Следствие: Сумма всех внешних углов n- угольника не зависит от числа его сторон и всегда равна четырём прямым углам.

Теорема: Сумма внешних углов всякого выпуклого четырехугольника равна 360⁰.

Теорема: Для всякого выпуклого многоугольника где

АС = d₁, DB = d₂, О₁О₂ = m (т. О₁ и О₂ - середины диагоналей).

Теорема: В четырехугольник можно вписать окружность тогда и тогда, когда a +d = c + d.

Рис. 16

Теорема: около четырехугольника можно описать окружность тогда и только тогда, когда Рис.17

Частными случаями выпуклого четырехугольника являются: параллелограмм, ромб, прямоугольник, квадрат, трапеция и для них остаются в силе свойства, сформулированные в §4.

Задачи, рекомендуемые для решения.

1. Найдите радиус окружности вписанной в трапецию с основаниями а см и в см.
2. В трапецию с основаниями а и в можно вписать и описать окружность. Найдите радиус вписанной окружности.
3. Докажите, что около выпуклого четырехугольника АВСD, образованного при пересечении биссектрис трапеции можно описать окружность.
4. Высота равнобедренной трапеции в 2 раза больше меньшего основания. Найдите острый при основании, если известно, что в трапецию можно вписать окружность.
5. Одно из оснований равнобедренной трапеции равно см. Центр описанной окружности лежит на другом её основании. Угол при основании равен 75⁰. Найдите площадь трапеции.
6. Диагональ равнобедренной трапеции перпендикулярна боковой стороне. Найти площадь трапеции, если известна её высота 4 см и радиус описанной окружности 5 см.
7. Величины углов трапеции относятся как 1 : 2 : 4 : 5. Найти площадь трапеции, если известно, что в неё можно вписать окружность с радиусом 0,5 см.

§5. За страницами учебника геометрии.

Теорема Стюарта. Если треугольник со сторонами а, в и с разделен на два, отрезком длины d, проходящим через вершину С и делящим сторону АВ на отрезки, равные m и n, то

Рис. 20

Доказательство: (при доказательстве применяются признаки подобия треугольников). Опустим из вершин А и В перпендикуляры на прямую, содержащую отрезок СD. Тогда треугольники BND и DAM подобны. Вычисляя отрезки ND и DM, находим: Из подобия треугольников BND и DAM получаем выражение: преобразуя, которое приходим к равенству

Творческое задание учащимся: Доказать теорему Стюарта используя:

а) метод координат;

б) векторы;

в) теорему косинусов;

г) используя формулы для площадей треугольников;

д) геометрический подход.

Теорема Менелая. Если прямая пересекает стороны треугольникABC или их продолжение в точках А₁, В₁, С₁ () и не проходит через его вершины, то Рис. 21

Доказательство: Рассмотрим случай. Когда прямая пересекает две стороны треугольника во внутренних точках А₁ и В₁ и продолжение третьей стороны в точке С₁. По теореме о двух синусах Применим это равенство к треугольникам АА₁В и СА₁А:

Перемножив эти равенства почленно, и учитывая, что получим требуемый результат. Теорема доказана.

Доказать следующие утверждения:

1. Основания перпендикуляров, проведенных к прямым, содержащим стороны треугольника, из произвольной точки описанной около него окружности, лежат на одной прямой (прямая Симпсона).
2. Середина отрезка, соединяющего точки пересечения продолжений противоположных сторон четырехугольника, лежит на прямой, проходящей через середины диагоналей (теорема Гаусса).
3. Если противоположные стороны вписанного шестиугольника не параллельны, то точки пересечения продолжений этих сторон лежат на одной прямой (теорема Паскаля).

Теорема Чевы. Пусть в треугольникABC точки А₁, В₁, С₁ лежат на сторонах ВС, АС и АВ соответственно. Если отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ пересекаются в одной точке, то Рис. 22

Доказательство: Пусть отрезки АА₁, ВВ₁, СС₁ имеют общую точку Р. Тогда применяя теорему о двух синусах. Будем иметь: Перемножив почленно равенства, получим требуемый результат. Теорема доказана.

Доказать следующие утверждения:

1. Отрезки, соединяющие вершины треугольника с точками, в которых окружность касается противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
2. Прямые, проходящие через вершины треугольника, и делящие его периметр пополам, пересекаются в одной точке.
3. Отрезки, соединяющие противоположные вершины описанного шестиугольника, пересекаются в одной точке (теорема Брианшона).