Урок алгебры в 9-м классе по теме "Сумма n первых элементов геометрической прогрессии"

Обоснование выбранного типа урока

Предметное содержание данной темы является обязательным в курсе “Алгебры”, так как при её изучении учащиеся знакомятся с понятием сумма n первых элементов геометрической прогрессии.

В ходе урока учащиеся выводят формулу суммы n первых элементов геометрической прогрессии, решают простейшие и старинные задачи на геометрическую прогрессию.

На практической части занятия учащиеся в ходе самостоятельной работы закрепляют полученные знания, что дает возможность проверить усвоение изученного материала.

Цель: Доказать формулу суммы n первых элементов геометрической прогрессии, сформировать у учащихся умение применять данную формулу при решении старинных задач.

1. Общая структура урока

- Тип урока: урок-объяснение теоретического материала, отработка навыков решения задач.

2. Реализация основной дидактической цели урока

- Проверка качества ЗУН осуществляется на каждом этапе урока выборочно, а в конце урока при выполнении самостоятельного задания – у каждого ученика.

3. Осуществление развития учащихся в процессе обучения

- Проблемно-игровая ситуация в начале урока, поисково-исследовательская работа, самостоятельная работа являются продуктивными развивающими формами работы на уроке.

- Ученики на большей части урока постоянно осуществляют анализ, синтез и обобщение полученных знаний.

- Учащимся предлагается творческое домашнее задание.

Логическая схема урока

1. Актуализация знаний. (2 мин.)
2. Беседа с постановкой проблемной ситуации (7 мин.)
3. Вывод формулы суммы n первых элементов геометрической прогрессии (7 мин.)
4. Решение простейших задач (5 мин.)
5. Домашнее задание (2 мин.)
6. Решение старинных задач (15 мин.)
7. Подведение итогов урока (1 мин.)
8. Самостоятельная работа (6 мин.)

Конспект урока.

1. Актуализация знаний

Ответьте устно на вопросы.

- Какую последовательность называют арифметической прогрессией?

- Какую последовательность называют геометрической прогрессией?

- Какова формула n-го элемента арифметической прогрессии?

(Формула записывается на доске)

a_n=a₁+d(n-1)

- Какова формула n-го элемента геометрической прогрессии?

(Формула записывается на доске)

b_n=b₁ q^n-1

- Назовите формулы суммы n первых элементов арифметической прогрессии. (Формулы записываются на доске)

S_n=(a₁+a_n)n/2 или S_n=(2a₁+d(n-1))n/2

2. Беседа с постановкой проблемной ситуации. Объяснение нового материала.

- Знаем ли мы формулу суммы n первых элементов геометрической прогрессии?

- НЕТ.

Это и будет темой нашего сегодняшнего урока: “Сумма n первых элементов геометрической прогрессии”.

Выводя формулу для арифметической прогрессии, кого мы вспоминали? (К. Гаусс) По его действиям выводили формулу. Попытаемся и сегодня проделать это по аналогии. Но сначала послушайте следующую легенду.

По преданию, индийский принц Сирам, восхищённый остроумием и разнообразием возможных положений шахматных фигур, призвал к себе её изобретателя, учёного Сету, и сказал ему: “Я желаю достойно вознаградить тебя за прекрасную игру, которую ты придумал. Я достаточно богат, чтобы исполнить любое твоё желание”. Сета попросил принца положить на первую клетку шахматной доски 1 пшеничное зерно, на вторую – 2 зерна, на третью – 4 зерна и т.д. Оказалось, что принц не был в состоянии выполнить это “скромное” желание Сеты.

Попробуем найти количество зёрен пшеницы.

1; 2; 4; 8; … Сколько элементов? (64)

S₆₄ = 1 + 2 + 2² + 2³ + . . . + 2⁶² + 2⁶³ Умножим обе части равенства на q = 2.

2S₆₄ = 2 + 2² + 2³ + . . . + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴. Вычтем из второго равенства первое.

2S₆₄ – S₆₄ = (2 + 2² + 2³ + . . . + 2⁶² + 2⁶³ + 2⁶⁴) - (1 + 2 + 2² + 2³ + . . . + 2⁶² + 2⁶³) = 2⁶⁴ – 1.

Таким образом, S₆₄ = 2⁶⁴ – 1 = 18.446.744.073.709.551.615 зёрен. Такое количество зёрен можно собрать лишь с урожая планеты, поверхность которой примерно в 2000 раз больше поверхности Земли.

Встаёт вопрос: какова же формула суммы n первых элементов геометрической прогрессии?

4. Вывод формулы суммы n первых элементов геометрической прогрессии (Один ученик у доски выводит по аналогии с задачей).

Пусть дана геометрическая прогрессия (b_n). Обозначим сумму n первых ее элементов через S_n:

S_n = b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n. (1) Умножим обе части этого равенства на q:

S_n• q = b₁• q + b₂• q + b₃• q + … + b_n-1• q + b_n• q.

Учитывая, что

b₁• q = b₂, b₂• q = b₃, b₃• q b₄, … b_n-1• q = b_n,

получим:

S_n• q = b₂ + b₃ + b₄ … + b_n + b_n• q. (2)

Вычтем почленно из равенства (2) равенство (1) и приведем подобные члены:

S_n• q – S_n = (b₂ + b₃ + b₄ … + b_n + b_n• q) – (b₁ + b₂ + b₃ + … + b_n-1 + b_n) = b_n• q – b₁,

S_n•(q – 1) = b_n• q – b₁.

Отсюда следует, что при q1

S_n= ( b_n• q – b₁)/(q – 1).

Мы получили формулу суммы n первых элементов геометрической прогрессии, в которой q1. Если q = 1, то все элементы прогрессии равны первому элементу и S_n = nb₁.

При решении многих задач удобно пользоваться формулой суммы n первых элементов геометрической прогрессии, записанной в другом виде. Подставим в полученную формулу Sn= ( bn• q – b1)/(q – 1) вместо bn выражение b₁•q^n-1. Получим:

S_n= b₁ (qⁿ – 1)/(q – 1), если q1.

5. Решение простейших задач (Два ученика работают у доски).

Попробуем применить эти формулы при решении задач:

1. Найти сумму 4-х первых элементов геометрической прогрессии, у которой b₁=8, q= 3.

Решение: S₄= 8• (3⁴- 1)/(3 – 1) = 8•80/2 = 320

2. Найти сумму 5-и первых элементов геометрической прогрессии, у которой b₁=500, q= 5.

Решение: S₅= 500• (5⁵- 1)/(5 – 1) = 500•3124/4 = 500•781 = 390500

3. Найти сумму 7-и первых элементов геометрической прогрессии, у которой q=3, b₇=5832.

Решение: b₇ = b₁•q⁶ 5832 = b₁•3⁶ b₁ = 5832/729 b₁ = 8

S₇= (5832•3- 8)/(3 – 1) = (17496 – 8)/2 = 17488/2 = 8744

4. Найти сумму 6-и первых элементов геометрической прогрессии, у которой q= -2 , b₆= -160.

Решение: b₆ = b₁•q⁵ -160 = b₁• (-2)⁵ b₁ = -160/-32 b₁ = 5

S₆= (-160• (-2) - 5)/(-2 – 1) = (320 – 5)/-3 = 315/-3 = -105

6. Домашнее задание

Интересные задачи на прогрессии есть в “Арифметике” Магницкого. Вот одна из них: “Некто продавал коня и просил за него 1000 рублей. Купец сказал, что за коня запрошена слишком большая цена. “Хорошо, - ответил продавец, если ты говоришь, что конь дорого стоит, то возьми его себе даром, а заплати только за одни гвозди в его подковах. А гвоздей во всякой подкове по 6 штук. И будешь ты мне за них платить таким образом: за первый гвоздь полушку (0,25 копейки), за второй гвоздь ты заплатишь две полушки, за третий гвоздь – 4 полушки и так далее за все гвозди; за каждый в два раза больше, чем за предыдущий”. Купец же, думая, что заплатит намного меньше, чем 1000 рублей, согласился. Проторговался ли купец, и если да, то на сколько?”

Это ваша домашняя задача.

7. Решение старинных задач

А сейчас мы попытаемся решать задачи, взятые из жизни: старинные и современные.

1. По сообщению одной из газет 1914 года у судьи в городе Новочеркасске разбиралось дело о продаже стада в 20 овец по условию – уплатить за первую овцу – 1 коп, за вторую – 2, за третью – 4 и т.д. Очевидно, покупатель соблазнился надеждою дешево купить стадо – и просчитался. Подсчитайте, какую сумму он должен был уплатить.

Оказывается, Магницкий не без основания снабдил решение этой задачи предупреждением:

“Хотяй туне притяжати,
От кого что принимати,
Да зрит то себе опасно…”,

то есть, если кто-нибудь соблазнится кажущейся дешевизною покупки, то он может попасть в неприятное положение.

Решение: n = 20, b₁ = 1, b₂ = 2, b₃ = 4 …

S₂₀ = 1• (2²⁰ – 1)/(2 – 1) = 1048576 копеек = 10485 руб 76 коп

2. Задача из книги Е.Д.Войцеховского “Курс чистой математики”.

Служившему воину дано вознаграждение за 1-ю рану – 1 копейка, за 2-ю – 2 копейки, за 3-ю – 4 и т.д. Всего воин получил 20 рублей 47 копеек. Сколько ран у воина?

Решение: b₁ = 1, b₂ = 2, b₃ = 4 …

q = 2, 2047 = 1• (2ⁿ – 1)/(2 – 1) 2ⁿ = 2048 n = 11

8. Подведение итогов урока.

9. Самостоятельная работа.

Каждый ученик получает карточку с заданиями вида:

b₁ = , q = , n = , найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.

Варианты заданий для самостоятельной работы:

1. b₁ = 4, q = 3, n = 5, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
2. b₁ = -3, q = 0,5, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
3. b₁ = 6, q = 2, n = 7, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
4. b₁ = 5,5, q = 2, n = 6, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
5. b₁ = 40, q = 0,5, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
6. b₁ = 7, q = 2, n = 8, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
7. b₁ = -120, q = 4, n = 3, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
8. b₁ = 15, q = -3, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
9. b₁ = 200, q = 0,5, n = 6, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
10. b₁ = 81, q = 9, n = 3, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
11. b₁ = -124, q = 3, n = 5, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
12. b₁ = 100, q = -3, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
13. b₁ = 25, q = 5, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
14. b₁ = 0,25, q = -2, n = 8, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
15. b₁ = 650, q = -0,5, n = 5, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
16. b₁ = 12, q = 6, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
17. b₁ = -5, q = 2, n = 10, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
18. b₁ = 250, q = 3, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
19. b₁ = 45, q = -2, n = 6, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.
20. b₁ = 111, q = -0,5, n = 4, найти b_n и сумму n первых элементов геометрической прогрессии.