Методическая разработка урока алгебры и начал анализа в 10-м классе по теме "Логарифмические уравнения"

Цели:

• образовательная: научить решать более сложные логарифмические уравнения, путем преобразования их к простейшим методом замены переменной; закрепить осознание необходимости проверки корней на наличие посторонних; научить выбирать преобразования, не приводящие к потере корней;
• воспитательная: развитие внимания, аккуратности, инициативы и творчества в труде;
• развивающая: развитие мыслительных операций (анализа, сравнения, обобщения), культуры устной и письменной речи, навыков самоконтроля.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Устная работа (актуализация базовых знаний).

А) При каких значениях х имеет смысл функция:

1) у = log₃ х² ;

2) у = log₅ (- х);

3) у = log_1/2 (3 – х);

4) у = lg (4 – х²);

5) у = lg |x|.

Б) Совпадают ли графики функций:

у = х и у = ;

2) y = x² + 1 и y =

В) Решить уравнение:

1) log₅ х² = 0;

2) log_v3 х = 4;

3) log₃ х – 1 = 0;

4) log₂ (2х – 1) = 3;

5) log₃ (2х – 3) – 1 = 0;

6) дщп₅(2х – х²) = 0ж

7) дщп_0б7 (2х + 1) = дщп_0б7 (х -1)

Указать “лишнее” уравнение и обосновать свой ответ. Как называется уравнение, которое получили после преобразования исходного?

3. Проверка домашнего задания.

На доске записано решение уравнения из домашнего задания, в котором допущены ошибки. Ученики должны указать на них и объяснить причину их возникновения.

№ 337 (2)

log₃ (х – 2) + log₃ (х + 6) = 2

log₃ (х – 2)? (х + 6) = 2

x² + 4x – 12 = 9

x² + 4x – 21 = 0

D= 16 + 84 = 100

x =

x₁ = 3; x₂ = -7

Ответ: x₁ = 3; x₂ = -7

(x₂ = -7 – посторонний корень, так как -7 не входит в область допустимых значений. Пропущен этап проверки корня.)

Вопросы классу:

Почему получен посторонний корень?

Перечислить равносильные преобразования уравнений.

Какие преобразования не являются равносильными?

Что при этом может получиться?

Почему получаются посторонние корни?

Что необходимо сделать, для того чтобы их обнаружить?

Когда происходит потеря корней?

Как можно найти потерянный корень?

4. Изучение нового материала.

После ответа на последний вопрос переходим к рассмотрению материала урока.

На обратной стороне крыльев доски записаны два решения одного и того же уравнения.

Преобразование, приводящее к потере корня

log₂ х² = 8

2 log₂ x = 8

log₂ x = 4

x = 2⁴

х = 16

Преобразование, не приводящее к потере корня

log₂ х² = 8

2 log₂ |x| = 8

log₂ |x| = 4

|x| = 2⁴

х = 16 или х = -16

После разбора каждого решения предлагается найти еще один способ решения этого уравнения, так чтобы не было потери корня.

log₂ х² = 8

х² = 2⁸

х =

х =

5. Решение № 341 (1).

log₇ (x – 1) ? log₇ x = log₇ x

log₇ x ? (log₇ (x – 1) – 1) = 0

log₇ x = 0 или log₇ (x – 1) – 1 = 0

х = 1

x – 1 = 7

x = 8

Проверкой убеждаемся, что х = 1 является посторонним корнем.

Ответ: x = 8

Может возникнуть у кого-либо из учащихся предложение разделить обе части исходного уравнения на log₇ x (или учитель может сам его сделать, если оно не возникнет у учеников). В этом случае необходимо определить, что произойдет с областью определения уравнения, расширится она или сузится, и сделать вывод, что может произойти потеря корня, поэтому этот способ решения отвергается.

6. Домашнее задание № 341(2), 344(2) и оценки за урок.

7. Итог урока:

1. В каком случае мы получаем приобретение посторонних корней?
2. Как их можно найти?
3. В каком случае мы получаем потерю корней?
4. Как этого избежать?