К уравнениям (выражениям) смешанного типа относят уравнения (выражения), включающие функции разных видов: тригонометрическую и иррациональную, показательную и линейную т.д., а также, содержащие модуль.
Существует несколько способов решения уравнений смешанного типа. Основными являются:
- использование свойств произведения или частного;
- графический способ;
- способ подбора корней;
- сравнение областей определения выражений, стоящих в правой и левой частях
Рассмотрим некоторые задания, содержащие тригонометрические функции.
№1. Найдите число корней уравнения 
=0.
Решение.
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
1) 
=0, где
Использование тригонометрических тождеств и
следствий из них позволяет уравнение свести к
виду: 
Его
решением будет 
2) 
=0.
Числа -4 и 4 являются корнями этого уравнения. Но
выражение, стоящее под знаком радикала, 
Из
неравенства следует, что 
.
3) С помощью единичной окружности перебираем корни первого уравнения в ограничении второго и получаем их 10.
Ответ: 10.
Для самостоятельного решения
Найдите число корней уравнения 
Найдите число корней уравнения 
№2. Найдите число положительных корней
уравнения 
= 0.
Решение
Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю, а другой при этом имеет смысл.
1) 
Область допустимых значений данного
уравнения с учетом условия положительности
корней будет при 
и 
.
Его решением будет 
и 
.
2) 
= 0.
Числа 0 и 
являются корнями этого уравнения. Но выражение,
стоящее под знаком радикала,
С учетом
условия и ограничений первого уравнения следует,
что 
3) Перебирая корни первого уравнения в
промежутке 
,
получаем 20 положительных корней исходного
уравнения.
Ответ: 20.
Для самостоятельного решения
Найдите число положительных корней уравнения
= 0.
№3. Решите уравнение 
.
Решение.
При решении этого уравнения необходим анализ значений, принимаемых левой и правой частями.
1) Преобразуем левую часть уравнения.
Пусть 
,
тогда 
. Полученное
выражение может принимать лишь неотрицательные
значения.
2) Правая часть уравнения имеет ограничение 
0. По определению модуля
получаем:
- если >0,
то выражение принимает значение 0,
- если 
<0,
то данное уравнение решений не имеет.
3) Следовательно, 
, где 
Таким образом, 
и 
.
При решении этих уравнений получаем корни 
4) Учитывая условие >0, делаем вывод, что корнями данного
уравнения могут быть только 
Ответ: 0; 1.
Для самостоятельного решения
Решите уравнение 
№4. Решите уравнение 
.
Решение.
При решении данного уравнения проанализируем значения, принимаемые левой и правой частями.
1) Преобразуем левую часть уравнения.
Пусть 
,
тогда 
=
. Полученное
выражение может принимать лишь неотрицательные
значения.
2) Ограничения на знаменатель в правой части
уравнения 
.
По определению модуля получаем:
- если 
то
уравнение решений не имеет,
- если 
то
получаем 
и
выражение в правой части уравнения принимает
значение 0.
3) Следовательно, =0, где 
Таким образом, 
и 
.
Лишь первое уравнение дает решения: 
и 
4) С помощью единичной окружности, используя
условие ,
получаем результат 
Ответ: 
Для самостоятельного решения
Решите уравнение 
№5. Решите уравнение 
+ 
= 2.
Решение.
1) Из определения квадратного корня следует
важное тождество 
Применяя это тождество, имеем 
2) Выражение под знаком модуля 
всегда принимает
отрицательные значения. Следовательно, 
или 
3) Выражение под знаком модуля 
всегда принимает
неотрицательные значения. Следовательно, 
Решая это
уравнение, получим и 
Ответ: и 
Для самостоятельного решения
Решите уравнение 
+ 
= 6.
№6. Решите уравнение 
Решение.
1) По определению модуля
- если 
, то 
, где 
- если 
, то 
, где 
.
2) Объединяя два решения в одно, получим 
.
Ответ: 
.
Для самостоятельного решения
Решите уравнение 
Решите уравнение 
№7. Найдите значение выражения
+ 
+ 
.
Решение.
1) Преобразуем выражения, стоящие под знаками
радикалов, применив тождество 
:
+ 
+ 
.
2) Область допустимых значений данного
выражения 
Получаем 
.
3) Используя определение модуля и данные ОДЗ,
имеем лишь один вариант событий, если 
, тогда + + =7-9+2=0.
Ответ: 0.
Для самостоятельного решения
Найдите значение выражения
+ 
+ 
.
ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ
У числовых функций имеется весьма обширный список свойств, которые обычно проверяют при исследовании той или иной конкретной функции. В основном встречаются задачи на нахождение области определения и множества значений, периодичность, исследование на монотонность, критические точки, отыскание точек экстремума и нахождение наибольших и наименьших значений функции. Другие свойства (четность, нечетность, поведение на бесконечности и т.д.) как отдельное исследование встречаются значительно реже.
№1. Найдите сумму целых значений функции у =
.
Решение.
Решение данного задания сводится к нахождению множества значений функции и дальнейшему отбору целых значений и их суммированию.
1) С помощью основного тригонометрического
тождества преобразуем выражение, стоящее под
знаком корня и выделим квадрат разности: 
= 
.
Таким образом, данная функция будет иметь вид у
=
.
2) Решение будет основано на знании множества
значений функции 
:
E(cosx)=[-1;1],
E(3cosx-1)=[-4;2],
E((3cosx-1)2)=[0;16],
E(26-(3cosx-1)2)=[10;26],
E(
)=[
].
3) Целыми значениями будут 4 и 5, что в сумме дает 9.
Ответ: 9.
Для самостоятельного решения
Найдите сумму целых значений функции у =
.
Найдите сумму целых значений функции у =
.
ЛИТЕРАТУРА
- Единый государственный экзамен: математика: методика подготовки: кн. для учителя/ [Л.О.Денищева, Ю.А.Глазков, К.А.Краснянская и др.]. - М.: Просвещение, 2005.
- Единый государственный экзамен: математика: сборник заданий/ [Л.О.Денищева, Г.К.Безрукова, Е.М.Бойченко и др.]. – М.: Просвещение, 2005.
- Математика: реальные тесты и ответы. – Сергиев Посад: ФОЛИО, 2005.