Урок по теме "Правильные многогранники"

Цели урока:

• ввести понятие правильного многогранника;
• выяснить, какими свойствами обладают правильные многогранники;
• использовать эти свойства при решении задач;
• развивать мышление и пространственное воображение;
• воспитывать умение работать в группе.

Подготовка к уроку:

• класс разбивается на пять групп, каждая группа знакомится со своим правильным многогранником, готовит его модель, собирает сведения по своему многограннику;
• учитель готовит пять карточек- подставок с названиями многогранников , пять вариантов задач по 6 штук, раскладывает их в подставки и модели для этих задач.

На доске: “ Человек проявляет интерес к многогранникам на протяжении всей своей жизни: от двухлетнего ребенка, играющего в кубики, до зрелого математика, физика, кристаллографа”.

Венниджер З. М.

Ход урока

Учитель: Еще в Древней Греции были описаны все правильные многогранники. Эти многогранники носят название “Платоновых тел” по имени древнегреческого философа Платона (428-348 г. до н.э.), в учении которого они играли важную роль. Познакомимся с ними.

По ходу знакомства в тетради заполняется таблица.

Представители групп по очереди выходят к доске, демонстрируют свой многогранник и рассказывают о нем. Например, правильный икосаэдр-двадцатигранник, от греческого “икос”, то есть двадцать, составленный из двадцати правильных треугольников. В учении Платона икосаэдр символизировал воду. У икосаэдра число ребер при вершине 5, у грани 3 стороны, число граней 20, 30 ребер, 12 вершин. Сравнительно недавно было обнаружено, что симметричное тело в форме икосаэдра было изобретено живой природой: такую форму имеют белковые оболочки многих вирусов (в частности, хорошо изученных “бактериофага ” и вируса “ табачной мозаики”)

Учитель: Вы прослушали информацию по пяти правильным многогранникам и заполнили таблицу. А теперь попробуйте дать определение правильного многогранника?

При необходимости учитель исправляет или дополняет ответ учащихся.

Учитель: Ребята, а почему существует только пять правильных многогранников? Подумайте и попробуем доказать этот факт. (Л.Эйлер доказал это в 18 веке)

Наводящие вопросы:

1. Не менее скольки граней может быть при одной вершине многогранника?
2. Что представляют из себя грани правильного многогранника?
3. Как вычисляется один угол правильного многоугольника?
4. Какой может быть сумма плоских углов при вершине правильного многогранника?

Вывод.

Учитель: А теперь переходим к решению задач, которые находятся в ваших подставках.

Каждая группа находит модель для своей задачи и рассказывает ее решение, в случае необходимости другие группы оказывают помощь в решении задачи.

Задача 1. Является ли правильным многогранником четырехугольная пирамида, все ребра которой равны?

Задача 2. Докажите, что параллелепипед, у которого три грани, имеющие общую вершину - квадраты, является правильным многогранником. Как называется такой многогранник?

Задача 3. Найдите угол между двумя диагоналями граней куба, имеющими общий конец.

Задача 4. В кубе из одной вершины D проведены диагонали граней DA, DB, DC и концы их соединены отрезками. Докажите, что многогранник DABC –правильный тетраэдр.

Задача 5. Найдите площадь полной поверхности куба, правильного тетраэдра с ребром а.

Учитель: На месторождении изумрудов нашли необыкновенной красоты самородок. После необходимой обработки в ювелирной мастерской самородок принял форму правильной призмы с равными ребрами. Изумруд был настолько красив, что его решили поместить в краеведческий музей на выставку “Богатства родного края”. А чтобы кристалл не подвергался вредным воздействиям окружающей среды, его запаяли в стеклянный тетраэдр, поместив вершины верхнего основания на ребра правильного тетраэдра. Сотрудники музея, не дождавшись сопроводительных документов, разместили экспонат в выставочном зале. И тут же нашелся дотошный посетитель, который спросил о размерах изумруда.

И теперь нам предстоит решить задачу: в правильный тетраэдр вписана правильная треугольная призма с равными ребрами так, что вершины одного ее основания находятся на боковых ребрах тетраэдра, а другого - в плоскости его основания. Ребро тетраэдра равно а. Определите ребро призмы. Демонстрируется модель.

Ответ: а(v6-2) ~ 0,45а

После построения чертежа, идет обсуждение хода решения задачи, выдвигаются различные предложения, гипотезы. Затем решение записывается на доске и в тетради.

Итог урока.

Учитель: Мы познакомились с пятью правильными многогранниками. А сейчас уточним в чем сходство и различие наиболее часто используемых многогранников.

Заполняется таблица.