Современные условия требуют от выпускников профильных классов прочных теоретических знаний, владения большим количеством стандартных и нестандартных методов решения. Но не менее важно и умение применять полученные знания в нестандартной ситуации, способность творчески подходить к решению каждой задачи, на основе грамотного анализа условия генерировать идеи по её решению. Большое значение в развитии такого “творческого” стиля мышления имеют уроки в форме учебно-мозгового штурма (УМШ). На таких уроках ученики не действуют по указанному учителем алгоритму, а учатся в ходе работы в творческой группе “открывать” свои алгоритмы, сравнивать их, критиковать, находить преимущества, корректировать, обобщать.
Урок проводился в 11 информационно-математическом классе (7 часов математики в неделю) и длился одну пару (35мин+35мин). До проведения УМШ были изучены свойства показательной функции и простейшие методы решения показательных уравнений, основанных на применении её свойств. Задача УМШ – “открытие” других методов решения показательных уравнений. Надо отметить, что процесс “творчества” трудно регламентировать, поэтому технология УМШ не предполагает строго запланированного количества рассмотренных на уроке методов и решённых задач.
Учащиеся работали в группах по 4 человека (две парты); у каждого учащегося был лист со списком предлагаемых уравнений (Приложение 1); у каждой группы – один набор карточек с этими же уравнениями, бумага для черновиков. На магнитной доске заранее прикреплены карточки с уравнениями. Слайды (Приложение 3) демонстрировались при помощи мультимедийного проектора.
Содержание урока.
Организационный момент. Учащимся сообщается форма урока (УМШ), для создания творческой обстановки приводятся в качестве эпиграфа слова В.Гюго (Слайд №1):
“Ум человеческий имеет 3 ключа, всё открывающих,-
- знание;
- мысль;
- воображение”.
Формируются творческие группы; записывается в тетрадях тема урока (Слайд №2).
Актуализация знаний. Итак, первый “ключ” - знания. Учащиеся отвечают на вопросы:
- Какими свойствами обладает показательная функция?
- Какие методы решения показательных уравнений вам уже известны? (Приведение левой и правой части уравнения к степеням с равными основаниями; применение основного свойства пропорции; графический метод).
- Применяя эти методы, решите устно уравнения
(Слайд №3):
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
Ответы: 
0; 0; нет корней; 2; 
Сообщение цели урока и постановка задачи УМШ. (Слайды №4,5). Рассмотренные в устной работе типы уравнений не исчерпывают всего многообразия показательных уравнений. Цель сегодняшнего урока и задача УМШ – отыскание методов решения других типов показательных уравнений. В этом вам помогут 3 ключа (каких?) и, конечно, интуиция. По мнению Спинозы, именно интуиция является высшим типом познания.
Этапы учебного мозгового штурма (Слайд №6).
I. Этап учебного мозгового штурма: выделение групп однотипных уравнений; формулировка отличительных признаков.
Работая в группах, необходимо за 3 минуты выделить 4-5 групп (типов) уравнений, объединённых какой-либо особенностью. Некоторые уравнения можно “отправить” в группу “Тёмная лошадка” - к ним можно вернуться позже.
Учащиеся используют имеющиеся на столах карточки с уравнениями, раскладывая их в столбики. Учитель наблюдает за работой групп и одной из них предлагает на магнитной доске перевесить карточки с уравнениями по столбикам (А, Б, В, Г, Д,..) в соответствии с полученной этой группой классификацией. Затем результат обсуждается и корректируется другими группами.
Далее творческими группами для каждого столбика уравнений формулируется “отличительный признак” и выделяется наиболее простое, “типовое” уравнение, которое и будет решаться. Всё это фиксируется в списках уравнений, имеющихся у каждого ученика.
Предполагается, что уравнения будут сгруппированы следующим образом (порядок групп не имеет значения):
А. № 1, 2, 9.
Б. № 3, 8, 17.
В. № 4, 5, 10, 18.
Г. № 6, 11 (возможно, №7).
Д. № 7, 12, 15.
Е. № 14, 16 (возможно, №9).
Ж. № 19, 20, 13.
Возможно, уравнения групп Д, Е, Ж будут отнесены к разряду “тёмная лошадка”.
II. Этап учебного мозгового штурма: генерирование идей об оптимальном методе решения уравнений отдельных групп.
Необходимо для каждого типа уравнений найти оптимальный метод решения. Конечно, не всё удастся сделать за одну пару, но ведь и к крупным учёным момент озарения обычно приходит после долгих часов размышлений.
На этом этапе своеобразными “ключами” нам послужат наиболее общие методы решения уравнений. Какие методы вы можете назвать? (Слайд № 7). Возможно, какие-то из этих методов применимы и к показательным уравнениям.
Далее УМШ идёт по следующему алгоритму:
- Выбор учащимися одного из типов уравнений;
- 3-5 минутный мозговой штурм в группах (при этом уравнения не решаются до конца, а только генерируются “идеи” решения);
- Выдвижение и обсуждение идей;
- “Реализация” идеи – решение у доски (возможно, представителями разных групп одновременно, если идеи решения отличаются); запись решений в тетрадях;
- Анализ решения, коррекция. Определение преимуществ и недостатков метода, его “тонких мест”, требований к оформлению. Запись решения в тетрадях.
На этом этапе УМШ учителю нужно, не торопя учащихся, не отвергая ни одной идеи, не навязывая им свои методы, а лишь подсказывая направления поиска, поддерживать атмосферу “изобретательства”. При этом каждый “шаг” на пути поиска поощряется, а ошибки – анализируются, но не наказываются.
Предполагается, что на этом уроке учащиеся найдут методы решения для первых четырёх типов (А, Б, В, Г). Методы решения этих уравнений общеизвестны (они сформулированы на слайдах №8 и №9).
При решении уравнений группы В могут быть предложены два пути: традиционный – сведение при помощи замены переменной к дробно-рациональному уравнению, и более удобному - сведению к квадратному уравнению после домножения уравнения на подходящую степень. Например:
№ 4.(Задание из сборника для проведения письменного экзамена за курс средней школы [2]).
Домножим это уравнение на отличный от нуля
множитель 
:
Замена переменной 
t; t>0 приводит к уравнению типа Б:
или 
. Второй корень
не удовлетворяет условию t>0.
Полезно будет рассмотреть оба способа решения и позволить учащимся сравнить их преимущества и недостатки.
При решении уравнений группы Д (№7, 12, 15) используется монотонность функций. Здесь надо обратить внимание на то, что, применяя этот метод, необходимо записать теоретическое обоснование этого решения. Рассмотрим уравнение №7 из сборника для проведения письменного экзамена [2], которое в некоторых пособиях предлагается решать как однородное уравнение третьей степени. Можно решить его, используя монотонность показательной функции:
. Для
применения метода монотонности необходимо,
чтобы по одну сторону знака равенства стояла
возрастающая функция, а по другую – убывающая
функция. Этого можно добиться, если разделить
уравнение на отличную от нуля
степень 18x. При этом получим уравнение 
Далее
необходимо сделать в тетрадях следующую запись:
“функция у=
-
возрастающая; функция у=
- убывающая, следовательно, данное
уравнение имеет не более одного корня”. Этот
корень находят подбором. В данном случае х=0 –
корень. Проверка: 
Ответ: 0. Надо отметить, что можно
делить уравнение и на 27x. При этом слева от
знака равенства получаем убывающую функцию, а
справа – число 2. Тогда необходимо записать фразу
“функция у=
убывает
и принимает каждое своё значение ровно один раз,
следовательно, данное уравнение имеет не более
одного корня”. Далее – аналогично
рассмотренному случаю. Полезно добиться того,
чтобы учащиеся “обнаружили” оба способа
решения.
Уравнения группы Е (№9, 14, 16) содержат
сопряжённые выражения. Обычно такие уравнения
решаются умножением уравнения на одно из этих
выражений (что проще) или заменой сопряжённых
выражений на 
и 
. Рассмотрим
уравнение №16 из вступительного экзамена в РЭА
им. Плеханова:
Умножим это уравнение на 
где после замены t=t>0, получим
;
t=4-
или t=4+
;
 или |
  |
 |
 |
| х=3 |  |
| x=-3. |
Ответ: -3;3.
Уравнения группы Ж (№ 13, 19, 20) можно решить, используя ограниченность функций. В левой части уравнения №19 каждое слагаемое больше нуля, поэтому сумма больше нуля и уравнение корней не имеет. В уравнении №13
1, а 1-
, поэтому равенство возможно только при
условии 
то
есть, при х=0.
Решая это уравнение, полезно рассмотреть и графическую иллюстрацию.
Ответы ко всем уравнениям Приложения1 содержатся в Приложении2.
Незадолго до конца занятия, вне зависимости от количества рассмотренных типов уравнений, необходимо перейти к III этапу.
III. Этап учебного мозгового штурма. Анализ идей; коррекция; выводы.
Формулируются полученные методы решения (только для рассмотренных типов), выводы можно записать в тетрадях (Слайды №8, № 9).
IV Этап учебного мозгового штурма (домашний)
Формулировка домашнего задания (Слайд №10). Из имеющегося у каждого учащегося списка учитель задаёт сам или позволяет учащимся выбрать 1-2 уравнения рассмотренных типов для обязательной части домашней работы. Кроме этого, предлагается высказать идеи решения уравнений из группы “Тёмная лошадка” - они и станут необязательной, но самой интересной частью домашней работы. На следующем занятии работа по “изобретению” методов решения будет продолжена.
Заключительная часть урока.
На этом этапе необходимо коротко проанализировать работу каждой группы – активность, слаженность, корректность, умение преподносить свои идеи и принимать чужие. Обязательно надо отметить лучших “генераторов идей”. Я считаю, что на уроках УМШ нет необходимости ставить отметки, ведь оценить творчество в пятибалльной системе очень трудно.
Приложение 1 содержит список уравнений.
Приложение 2 содержит список ответов к уравнениям.
Приложение 3 содержит слайды №1-10 к уроку.
Литература.
- Гин А.А. Приёмы педагогической техники: свобода выбора. Открытость. Деятельность. Обратная связь. Идеальность: Пособие для учителя.- М.: Вита-Пресс, 1999.
- Дорофеев Г.В., Муравин Г.К., Седова Е.А. Сборник заданий для проведения письменного экзамена по математике (курс А) и алгебре и началам анализа (курс Б) за курс средней школы. 11 класс. – М.: Дрофа, 2004.
- Азаров А.И., Барвенов С.А. Математика для старшеклассников: Методы решения алгебраических уравнений, неравенств и систем: Пособие для учащихся и учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования. Мн.: Аверсэв,2004.
- Азаров А.И., Барвенов С.А. Математика для старшеклассников: Функциональный и графический методы решения экзаменационных задач: Пособие для учащихся и учреждений, обеспечивающих получение общего среднего образования. Мн.: Аверсэв,2004.