Урок с применением информационных технологий в 11-м классе. Тема "Сочетания"

Разделы: Математика

 

Тема: «Сочетания»  


Цели урока:

  • закрепление умений по вычислению факториала, решению задач на нахождение размещений;
  • изучение понятия «Сочетания»;
  • изучение различий между применением правила умножения и теоремы для нахождения числа сочетаний при решении комбинаторных задач;
  • формирование умений решения задач на нахождение числа сочетаний;

Тип урока: комбинированный.

Оборудование: презентация, компьютеры с программой Microsoft Power Point

Ход урока

I. Организационный момент

II. Устная работа

1. Вычислите:
а) 4!-3!    (18);
б)    (3);

2. На дверях четырех одинаковых кабинетов надо повесить таблички с фамилиями четырех заместителей директора. Сколькими способами это можно сделать?  (24)

3. На  странице  альбома  6  свободных  мест для  фотографий. Сколькими способами  можно  вложить  в  свободные  места 2 фотографии? (30)

4. Сколькими различными способами можно распределить между шестью лицами две различные путевки в санаторий? (30)

III. Изучение нового материала.

- Давайте вспомним, что называется комбинаторикой.

(Комбинаторика – раздел элементарной математики, изучающий вопросы, связанные с подсчетом числа всевозможных комбинаций из элементов данного конечного множества.) [1]

- Какие виды комбинаций различают?

( Различают три вида комбинаций: перестановки, размещения, сочетания)

- Вы уже познакомились с двумя видами комбинаций: перестановки и размещения. Сегодня мы изучим сочетания. (слайд 1)
- Наш сегодняшний урок будет состоять из следующих этапов: (слайд 2)

  1.  Рассмотрение случая выборок двух элементов.
  2.  Рассмотрение случая выборок трех элементов
  3. Рассмотрение случая выборок  k элементов из n данных без учета порядка. Сочетание.
  4. Решение задач на нахождение числа сочетаний.

 (Озвучивание плана урока.)

1.

- Итак, начнем со случая выбора двух элементов.
- Прочитайте задачу №1: (слайд 3)

 В чемпионате участвовали 7 команд. Каждая команда играла матч с каждой. Сколько всего было встреч? [2]
(Учащиеся молча читают задачу)
Учитель последовательно задает вопросы, учащиеся отвечают.

- О чем говорится в задаче?
- Что известно в задаче?
- Что значит, каждая команда играла матч с каждой?
- Что нужно найти в задаче?
- Рассмотрим таблицу результатов встреч размером 77. (приведена ниже)
- Так как никакая команда не играет сама с собой, то клет­ки по диагонали закрашены. Тогда в подсчете числа встреч сколько будет участвовать команд?

(ровно 7² - 7 = 7(7 - 1) = 42 клетки).

- В результате закрашивания таблица разделилась на две половин­ки, что вы особенного здесь увидели?
(результаты встреч команд дублируются)

- Поэтому как можно найти число всех проведенных игр?
(разделить оставшиеся 42 клетки на две равные половинки)

- Итак, чтобы получить число всех проведенных игр нужно разделить оставшиеся 42 клетки на две равные половинки.
Один ученик записывает решение задачи на доске:

Ответ: 21.

- Около 2500 лет тому назад древнегреческие математики находили сумму 1 + 2 + 3 + ... + (п - 1) + п с помощью при­мерно таких же рассуждений. Сначала они рисовали клетча­тую лесенку, в основании которой — полоса из п клеток, над ней полоса, в которой (п - 1) клетка, затем полоса с (п - 2) клетками, и т. д.; в предпоследней строке стояли две клетки, а наверху — одна клетка. Правее они рисовали ту же лесенку, но в перевернутом виде: внизу — одна клетка, над ней — две, затем — три клетки, ..., а последняя строка состоит из п клеток.
Затем, сдвинув эти лесенки вместе, получали прямоуголь­ник из п строк и (п + 1) столбца. (слайд 4)
Число клеток в этом прямоугольнике равно п(п + 1). Зна­чит, в каждой из двух равных между собой лесенок находится
 клеток.
Получилась замечательная формула для суммы первых п натуральных чисел:

. [2]
- Вернемся к задаче 1. Состав участников игры определен, как только мы выбрали две команды. Значит, количество всех игр в турнире из п команд — это в точности количество всех выборок двух элементов из п данных элементов. Важно при этом то, что порядок выбора не имеет значения, т. е. если выбраны две команды, то какая из них первая, а какая вто­рая — не важно.
- Итак, оформим наш итог в виде теоремы:
Теорема 1. (о выборках двух элементов). Если множе­ство состоит из п элементов, то у него имеется подмножеств, состоящих из двух элементов. [2] (слайд 5)

- Итак, количество выборок двух элементов без учета порядка будет ровно в два раза меньше,чем количество выборок с учетом порядка. (слайд 6)

2.

- Сейчас поговорим о выборе трехэлементов из данного множества.
Прочитайте задачу №2: (слайд 7)

 В классе 25 учеников, из которых нужно выбрать троих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить уравнение, второй — сходить за мелом, третий — пойти дежурить в столовую; б) им следует спеть хором?

- В первом случае важен порядок вызова учеников и применимо правило умноже­ния. Один из 25 учеников идет решать уравнение. Один из остав­шихся 24 учеников идет за мелом, а один ученик из оставшихся 23 будет дежурным в столовой. Получается: 25 • 24 • 23 = = 13800 способов вызова.

Во втором случае начнем действовать, вызывая учеников по порядку. Можно сначала вызвать Дашу, затем Витю и по­том — Аллу. Обозначим этот вариант (ДВА). Можно вызывать этих же ребят в другом порядке. Например, сначала Аллу, затем Дашу и потом — Витю (АДВ). Буквы А, Д, В можно расставить по порядку ровно Р3 = 3! способами. Во всех этих случаях состав хора будет одним и тем же. Значит, каждый состав хора при подсчете, учитывающем порядок вызова учеников, мы возьмем 3! раз. Поэтому количество различных составов хора в 3! раз меньше количества всех вызовов по порядку.

- Итак, число способов, при которых порядок выбора трех элементов из 25 не важен, в 3! раз меньше числа способов, при которых порядок выбора трех элементов из 25 важен. Остается лишь учесть, что 3! = 3 •2 • 1 = 6, и получить ответ:
 способов.
- Это рассуждение верно и в общем случае выбора трех элементов из п данных. Значит, верна следующая теорема.

Теорема 2. (о выборках трех элементов). Если множе­ство состоит из п элементов, то у него имеется  подмножеств, состоящих из трех элементов. [2] (слайд 8)

- Как и в случае выборок двух элементов, приведем соответствующую схему (слайд 9).
- Достаточно длинный словесный оборот «количество выборок двух (трех) элементов из п данных без учета порядка можно заметно сократить, если ввести для такого количества выборок специальное названиеи специальное обозначение.
Число всех выборок двух элементов из п данных без учета порядка обозначают и называют числом сочетаний из п элементов по 2. Число всех выборок трех элементов из п данных без учета порядка обозначают и называют числом сочетаний из п элементов по 3. [2]

Учитывая сказанное, теоремы о выборках двух и трех элементов можно записать в виде следующих формул для числа сочетаний из п элементов по два и по три:
          

3.
- Как записать аналогичную формулу для числа сочетаний из п элементов по 4?:

Чтобы привыкнуть к новым обозначениям можно рассмотреть несколько примеров:

Число всех выборок к элементов из п дан­ных без учета порядка обозначают  и называют числом сочетаний из п элементов по k.
Теорема 3. Для числа сочетаний из п элементов по k справедлива формула . [2] (слайд 10)

-Теорема 3 может быть сформулирована так: если множество состоит из п элементов, то у него имеется  подмножеств, состоящих из k элементов.

- Рассмотрим задачу № 3.  (слайд № 11)

«Проказница Мартышка, Осел, Козел и косолапый Мишка затеяли сыграть квартет». Мишке поручили принести со склада 9 каких-нибудь попавшихся под лапы музыкальных инструментов из имеющихся 14 инструментов. Сколько способов выбора есть у Мишки?
(учащиеся молча читают задачу)
- По условию порядок выбора не важен? (да)
- Значит, как можно найти количество всех выборок?
(найдем количество всех выборок 9 элементов из 14 данных без учета порядка, т. е. число сочетаний из 13 эле­ментов по 8).

Ответ: 2002.

IV. Первичное закрепление изученного материала.

Задача №4. (читают задачу молча и решают с комментированием 1-3 учащихся, учитель помогает) (слайд 12)
Встретились 11 футболистов и 6 хоккеистов и каждый стал по одному разу играть с каждым в шашки.

а) Сколько встреч было между футболистами?
б) Сколько встреч было между хоккеистами?
в) Сколько встреч было между футболистами и хоккеистами? [2]

Задача №5. (учащиеся решают задачу самостоятельно, затем появляется решение на слайде) (слайд 13)

В классе 27 учеников. К доске нужно вызвать двоих. Сколькими способами это можно сделать, если: а) первый ученик должен решить задачу по алгебре, а второй – по геометрии; б) они должны быстро стереть с доски? [2]

V. Подведение итогов урока.

- Когда применимо правило умножения?
- В каком случае применима теорема для подсчета числа сочетаний?

VI. Домашнее задание.

Придумать 2-3 задачи на применение правила умножения и теоремы для подсчета числа сочетаний.

Литература:

  1. Алгебра для 9 класса: Учеб. пособие для учащихся шк. и кл. с углуб. изуч. математики / Н.Я.Виленкина - М.: Просвещение, 1999
  2. Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая обработка данных. М.: Мнемозина, 2005
  3. Семеновых А. Комбинаторика // Математика. –  2004. – № 15. – 28-32 с.
  4. Шалаева Г. П. Новейший справочник школьника. Физика, математика, английский язык, география.