Особенность нашего времени – это потребность в предприимчивых, деловых, компетентных специалистах в той или иной сфере общественной, социальной, экономической и производственной деятельности. Необходимо быть грамотным, чтобы нормально “функционировать” в сложном и требовательном обществе. А быть грамотным в быстро меняющемся мире означает быть просто лучше образованным. Чем выше уровень образованности, тем выше профессиональная и социальная мобильность. Свобода, духовность, культура – основа современного общества.
В “Концепции профильного обучения” записано: “Реализация идеи профильности старшей ступени ставит выпускника основной ступени перед необходимостью совершения ответственного выбора – предварительного самоопределения в отношении профилирующего направления собственной деятельности”. Важность подготовки к этому ответственному выбору определяет серьёзное значение предпрофильной подготовки в основной школе, задача профилизации которой – создать такие условия, чтобы каждый ученик нашёл себя, понял, к какой сфере деятельности он склонен и наиболее способен.
В МОУ Рассветовской СОШ, где я работаю, решением проблемы предпрофильной подготовки учащихся учителя математики начинают заниматься уже в пятом классе. В рамках работы школьного детского интеллектуального центра “Озарение” мы проводим занятия математических кружков для учеников 5-7 классов, куда приглашаем всех желающих детей. На первые заседания кружка, как правило, особенно в пятом классе, приходит много детей, надеясь просто улучшить оценки по математике. Позже, понимая, что здесь мы не рассматриваем программный материал, они уходят и остаются те, кто любит решать какие-то необычные задачки. В принципе текучка членов кружка продолжается в течении этих трёх лет, выявляя вместе с тем детей, которые впоследствии становятся участниками школьных и районных олимпиад. Во второй половине седьмого класса начинается профориентационная работа. На классных часах дети не только знакомятся с профессиями, но и узнают, какие школьные предметы в большей мере необходимы для овладения той или иной специальностью. И вот дети приходят в восьмой класс.
Для того чтобы помочь ученику определиться, является ли математика для него приоритетной областью, мной была разработана и апробирована программа курса по выбору “Путешествие в страну математики”, рассчитанная на учащихся восьмых классов. Основной целью данного курса является предоставление ученику возможности оценить свой потенциал с точки зрения перспективы дальнейшего обучения в классах, где одним из профильных предметов будет математика. Кроме того, целями изучения данного курса являются: создание условий для самореализации учащихся в процессе учебной деятельности; развитие математических, интеллектуальных способностей учащихся, обобщённых умственных умений. Для достижения поставленных целей в процессе обучения решаются следующие задачи: приобщение учащихся к работе с математической литературой; выделения логических приёмов мышления и способствовать их осмыслению, развитию образного мышления; обеспечение диалогичности процесса обучения математике.
Принцип системности обучения, выдвинутый ещё Я.А.Коменским – один из основополагающих. Поэтому в содержание курса я ввожу материал, дающий представление об определённых этапах развития математики.
Для этого курса выделяю несколько видов и способов создания учебных ситуаций:
— ситуации неожиданности создаются при ознакомлении учащихся с материалом, вызывающим удивление, поражающим своей необычностью;
— ситуации конфликта возникают при наличии противоречия между практически достигнутым результатом (известным фактом) и недостаточностью только предметных знаний для его теоретического обоснования;
— ситуации опровержения создаются, когда учащимся на основе всестороннего анализа предлагается доказать несостоятельность какого-либо предположения, идеи, вывода и т.д.;
— ситуации предположения создаются, когда предполагается существование какого-нибудь закона или теории, расходящихся с полученными ранее знаниями;
— ситуации неопределённости возникают, когда учащимся предъявляются задания с недостаточными и избыточными данными для получения однозначного ответа.
Содержание разработанного мной курса рассчитано на 17 академических часа, предполагает изучение его во втором полугодии восьмого класса и включает такие разделы как “История возникновения математики”, где рассматривается связь истории развития человеческого общества и истории науки математики, подчёркивается её связь с практикой, решаются старинные задачи.
В теме “Проценты” показывается широта применения в жизни аппарата процентного вычисления при рассмотрении вопросов распродаж, тарифов, штрафов, банковских операций.
При раскрытии темы “Целые алгебраические уравнения” учащиеся знакомятся с теоремой Безу и её применением при решении целых алгебраических уравнений, со схемой Горнера, используемой при их решении.
В теме “Двойные радикалы” раскрываю смысл самого понятия, ввожу формулу двойного радикала, позволяющую выполнять преобразования выражений, содержащих двойной радикал.
Рассматривая тему “Геометрическая интерпретация решения квадратных уравнений”, показываю применение графиков зависимостей у = ах2, у = ах2 + с, у =kx + l для решения квадратных уравнений. В нашей школе изучение курса алгебры осуществляется по учебнику Г.В.Дорофеева, поэтому для детей это совершенно новый подход к решению квадратных уравнений (графический метод решения уравнений у этого автора рассматривается лишь в девятом классе).
“Элементы теории вероятностей”. Что такое факториал, перестановки, размещения, сочетания – это важные вопросы, вытекающие из требований сегодняшнего дня. И, хотя это рассматривалось на уроках математики в 5-7 классах, я считаю необходимым включить их в программу курса, где несколько расширяется круг решаемых задач.
Тема “Парадоксы и софизмы” заканчивает содержательную часть курса. Здесь учащихся узнают, что же такое парадокс или софизм, решают задачи занимательного характера по теме, бывшие популярными в России в начале ХХ века.
Завершается курс зачётом, который можно получить “автоматом” или непосредственным написанием зачётной работы. При изучении тем курса детям предлагается написание докладов с обязательным выступлением с ним по истории развития темы, за что можно получить до 10 баллов, пишутся проверочные работы, за каждую из которых можно набрать до 10 баллов и детям предлагается самим составить задачи по теме или подобрать из литературы старинные задачи. За этот вид работы также можно получить до 10 баллов. Таким образом, очень добросовестный ученик в итоге может получить 210 баллов. Но такое бывает редко, поэтому выработана шкала для автоматического получения зачётной отметки. Набрав более 170 баллов за весь курс, ученик получает отметку “5”, от 100 до 170 – “4”, менее 99 баллов – пишет зачётную работу.
При ознакомлении с темами курса предполагается реализация научных, исторических, академических идей. В каждом разделе обязательно рассматривается история развития его. При проведении занятий используются такие формы как уроки-лекции, заочная экскурсия в прошлое, уроки-анализ первоисточников. Обучение строится на применении следующих современных образовательных технологий: обучение в сотрудничестве (групповая работа), проблемное обучение, рейтинг-контроль оценки деятельности учащихся.
В девятом классе для изучения обучающимся предлагается предпрофильный курс “Параметры”, по окончании которого учащиеся получают отметку, которая проставляется в зачётную книжку и вкладывается в “портфолио” ученика. Начиная с 2005-2006 учебного года, у нас в школе открыт профильный класс информационно-технологического направления, одним из критериев приёма в этот класс является отметка посещённого курса по выбору математической ориентации.
Ниже я хочу привести разработку одного из занятий курса.
Тема занятия: “Парадоксы”
Цели занятия.
Обучающие: познакомить учащихся с понятием „парадокс”, обсудить задачи на рассмотрение парадоксальных ситуаций.
Воспитательные: воспитание культуры поведения, навыков работы в парах, культуры речи.
Развивающие: развитие логики мышления, умений концентрировать внимание, анализировать созданную ситуацию.
Место занятия в учебной теме: первый урок по теме “Парадоксы и софизмы”.
Оборудование: карточки с задачами для работы в парах.
Ход занятия
I. Проверка домашнего задания.
Учитель выясняет непонятные моменты в домашнем задании, разбирает их. Проводит фронтальную проверку домашней работы.
II. Изучение нового материала.
Современным математикам известен древнегреческий миф о бегуне Ахиллесе и черепахе. Я хочу предложить эту историю вашему вниманию.
Ахиллес находится в пункте А на некотором расстоянии от пункта В, в котором расположилась черепаха. В один и тот же момент они начинают двигаться в одном направлении, причём черепаха устремилась от Ахиллеса со скоростью, например, в 100 раз меньшей скорости бегуна. Житейский опыт говорит о том, что Ахиллес довольно быстро догонит черепаху. Однако, если воспользуемся рассуждениями математиков, то мы покажем, что этого никогда не случится. Действительно, к моменту, когда Ахиллес достигнет пункта С – середины первоначального расстояния АВ между Ахиллесом и черепахой, последняя, пусть на небольшое расстояние, но всё же удалится от пункта В. Далее Ахиллес добежит до середины Д отрезка СВ, затем до середины Е отрезка ДВ и т.д. Всё это время черепаха будет удаляться от точки В.
Итак, чтобы достигнуть В, Ахиллесу необходимо побывать в каждом из бесконечной последовательности пунктов С, Д, Е, … . Однако кажется очевидным, что невозможно за конечное время побывать в бесконечном количестве различных пунктов. Следовательно, Ахиллес никогда не достигнет пункта В и тем более не догонит черепаху.
Ситуация, которая была предложена вашему вниманию, носит название парадокса.
Сам термин парадокс состоит из двух греческих слов para, что означает против и doxa – мнение. Таким образом, дословно переводится как противоречивое мнение.
В широком смысле парадокс – высказывание, истинность которого неочевидна; в этом смысле парадоксальными принято называть любые неожиданные противоречивые высказывания, особенно если неожиданность их смысла выражена в остроумной форме.
В математике парадокс – ситуация, когда в данной теории доказываются два взаимоисключающих суждения, причём каждое из них выведено убедительными с точки зрения данной теории средствами, т.е. парадокс – высказывание, которое в данной теории равным образом может быть доказано и как истина, и как ложь.
Парадоксы, как правило, свидетельствуют о недостатках рассматриваемой теории, о её внутренней противоречивости. В науке очень часто обнаружение парадокса в рамках данной теории приводило к существенной перестройке всей теории и служило стимулом для дальнейших более глубоких исследований. В математике анализ парадоксов способствовал как пересмотру взглядов на проблему обоснования, так и развитию многих современных идей и методов. Этими вопросами занимается наука, называемая математической логикой.
А теперь вернёмся к сформулированной выше задаче об Ахиллесе и черепахе. Оказывается парадокс, заложенный в ней вполне преодолим, что стало возможным после введения в теорию действительных чисел так называемой аксиомы Архимеда: для любых действительных положительных чисел a и b найдётся натуральное число n такое, что a• n › b.
Иными словами, за конечное время п Ахиллес пробежит расстояние, намного превышающее расстояние АВ, а также расстояние от А до точки, где через время п будет находиться черепаха, т.е. Ахиллес за конечное время не только не догонит, но и перегонит черепаху.
III. Решение задач по теме. (Решения всех предложенных задач обсуждаются в парах, затем - озвучиваются классу).
Задача №1. Деревенский парикмахер.
— В деревне только один парикмахер, но он бреет тех и только тех жителей своей деревни, которые не бреются сами. Должен ли он брить самого себя? – задали вопрос мудрецу.
— Если он себя не бреет, то он относится к тем жителям деревни, которых он должен брить. Значит, он должен себя брить. Если же он себя бреет, то он не относится к тем жителям своей деревни, которых он должен брить. Значит, он не должен себя брить. Вот и весь ответ на ваш вопрос, - ответил мудрец.
В чём заключается парадокс данной ситуации?
(Парадокс данной ситуации в том, что если парикмахер себя не бреет, то должен брить, а если он себя бреет, то не должен брить. Парадокс разрешить невозможно, т.к. ситуация свидетельствует о том, что такой парикмахер не может существовать вообще в силу того, что условие, которому должен удовлетворять деревенский парикмахер, является внутренне противоречивым и, следовательно, невыполнимым).
Задача № 2. Мудрец на необитаемом острове.
Хорошо известна следующая легенда: один мудрец, оказавшийся на необитаемом острове, сказал, что все люди, находящиеся на острове, лжецы. Проанализируйте данную ситуацию и скажите, пожалуйста, можно ли её назвать парадоксальной и почему?
(Можно. Если все люди, находящиеся на острове, лжецы, а сам мудрец тоже находится на острове, то и он лжец. Другими словами, то, что он сказал, неправда. Следовательно, не все люди, находящиеся на острове, лжецы, но так как на острове всего один человек – мудрец, то он не лжец и сказал правду, что все люди, находящиеся на острове, лжецы. Но тогда мудрец тоже лжец, следовательно, он сказал неправду, поэтому он не лжец, т.е. то, что он сказал, правда и т.д. и т.д. Понятно, что так можно рассуждать бесконечно долго).
Задача № 3. Два слова, спасшие жизнь.
Рассказывают, что во время франко-прусской войны произошёл следующий любопытный случай.
Один французский офицер имел несчастье попасться в плен к пруссакам, и его по подозрению в шпионаже было решено отдать под суд и судить по законам военного времени, которые, как известно, карают за шпионаж смертной казнью.
Когда подсудимому вынесли смертный приговор и несчастный, выслушав его, уже готов был покориться своей участи, судьям пришло в голову оказать осуждённому снисхождение, правда, несколько странного свойства.
— Вам, молодой человек, — сказали они офицеру, — предлагается в виде особой милости самому выбрать род казни: или смерть через повешение, или расстрел. Для этого мы предлагаем вам произнести какую-нибудь фразу, заключающую в себе или явную правду, или явную ложь. При этом заметьте, что за сказанную вами правду вы будете повешены, а за неправду вас расстреляют.
Всё это было, конечно, очень жестоко, немилосердно, но … странное дело! По мере того, как молодой человек слушал бесстрастную речь своих судей, его бледное умное лицо прояснялось всё более и более, и, наконец, после некоторого размышления он медленно произнёс … .
Попробуйте сообразить, какие два спасительные слова произнёс офицер?
(Судьи своим решением создали парадоксальную ситуацию. Офицер понял это и произнёс два слова:
— Меня расстреляют!
— Ну и что же? Что вы хотите этим сказать? — спросили судьи с недоумением.
— Только то, что вы потребовали от меня! — ответил молодой человек. — Я сказал фразу, а что она в себе заключает — правду или неправду — я предоставляю судить вам! Но предупреждаю вас, господа судьи, что, какой бы род казни вы ни применили ко мне, теперь вы всё равно окажетесь глубоко неправыми и несправедливыми судьями, не умеющими держать своё слово.
Дерзкая речь француза задела за живое судей. Но офицер поспешил пояснить сказанное.
— Я сказал: “Меня расстреляют”. Следовательно, если вы меня повесите, то окажется, что я сказал неправду, а за неправду вы же сами обещали меня расстрелять. Если же вы решите меня подвергнуть расстрелу, то окажется, что я сказал правду, а за правду меня следовало, согласно вашему же условию, повесить. Ясно, что и в том, и в другом случае вы будете неправы, но … я к вашим услугам!
Судьи настолько были поражены простой, логичной и остроумной речью молодого французского офицера, что, из уважения к его уму, единогласно решили его помиловать).
IV. Задание на дом.
Можно ли назвать ситуацию, описанную в “Сказке про белого бычка”, парадоксальной? Почему?
Крокодил украл ребёнка; он обещал отцу вернуть ребёнка, если отец угадает – вернёт ему крокодил ребёнка или нет. Что должен сделать крокодил, если отец скажет, что крокодил не вернёт ему ребёнка?
Приведите примеры ситуаций, которые можно считать парадоксами (для выполнения задания можно воспользоваться книгами, газетами, журналами, воспользоваться жизненным опытом - своим или известных тебе людей).