От решения задач несколькими способами к формированию навыков исследовательской деятельности

“Каждому ребенку даровано от природы склонность к познанию и исследованию окружающего его мира. Правильно поставленное обучение должно совершенствовать эту склонность, способствовать развитию этих умений и навыков…” [1]

Не секрет, что математика является наиболее трудоемким учебным предметом, требующим от учащихся повседневной кропотливой работы, как правило, значительной по объему, причем весьма специфической и разнообразной. На уроках учащимся приходится сталкиваться с различными заданиями и овладевать способами их решения. Сформировать представления школьников о многообразии существующих подходов к решению задач позволяет выполнение одной задачи различными способами. Наблюдения за учащимися показывают, что они, овладев этими приемами, активнее включаются в поисковую деятельность, смелее берутся за поиск нескольких способов решения задачи. Постепенно они преодолевают чувство боязни перед решением задачи, у них вырабатывается “математическое чутье”. У школьников расширяется сфера понимания изученного теоретического материала, восстанавливаются в памяти правила, понятия и формулы, которые находят свое применение в решении задач тем или иным способом.

Накопленные знания должны быть постоянно востребованы. Учителю необходимо осознать, что если ученик не может применить свои знания, то это все равно, что их у него нет. Это представление он должен прививать своим ученикам. В этом смысле решить одну задачу несколькими способами лучше, чем несколько задач одним. При поиске различных вариантов решения конкретной задачи у учащихся систематизируются знания и умения, формируется логическое мышление, развивается интуиция. Поиск нового составляет основу для развития памяти, воображения и воли.

Наш опыт и опыт коллег показывает, что организация поиска способов решения задачи создает условия для формирования навыков исследовательской деятельности, способствует накоплению творческого потенциала школьника.

Понятно, что без самостоятельного поиска решения задач учащимся здесь не обойтись, необходима мотивация на самостоятельную деятельность. Как правило, сдерживающим фактором является время. К сожалению, в учебном плане не предусмотрены дополнительные часы для овладения не только методами и приемами учебной деятельности, но и для более глубокого усвоения учебного содержания.

В этой ситуации мы пришли к выводу, что данную проблему можно решить на уроках, учебных занятиях по повторению и систематизации полученных знаний, на занятиях факультативов, элективных курсах.

Естественно, важную роль играет подготовка к таким урокам, занятиям. При выполнении домашнего задания, которое включает в себя подготовку сообщений, подборку заданий для демонстрации решений и доказательства тех или иных утверждений (в нашем случае демонстрации решения одной и той же задачи различными способами) учащимся рекомендуется использовать учебную, дополнительную и справочную литературу, исторический материал, информацию из Интернета.

Продемонстрируем это на примере урока обобщения и систематизации знаний в 9 классе по теме: “Квадратные уравнения. Способы решения одного и того же уравнения”.

Рассмотрим фрагменты урока, в которых покажем последовательность перехода от поиска нескольких способов решения задачи к исследовательской работе.

Учащимся предлагается найти несколько способов решения уравнений:

а) x + 6x - 7 = 0;

б) 2х + 5х + 2 = 0;

На начальном этапе урока были представлены все найденные учащимися способы

решения квадратных уравнений. Рассмотрим случай а) x+ 6x - 7 = 0;

Способы решения данного квадратного уравнения:

1. Разложение на множители:

x+ 6x – 7 = 0;

Решение:

x + 7х – х – 7 = 0,

х (х + 7) – (х + 7) = 0,

(х + 7) (х – 1) = 0,

х + 7 = 0 или х – 1 = 0

x = – 7 х = 1

Ответ: – 7; 1

2. Выделение квадрата двучлена:

x+ 6x – 7 = 0;

Решение:

(x+ 2х 3 + 9) –16 = 0,

(х + 3) – 16 = 0,

(х + 3)= 16,

х + 3 = ± 4,

х + 3 = – 4, х + 3 = 4,

x = – 7 х = 1

Ответ: – 7; 1

3. Решение с помощью формул корней квадратного уравнения:

x+ 6x – 7 = 0;

Решение: D = b – 4ac, x = .

D = 64, x = –7, x = 1

Ответ: – 7; 1

4. Решение с помощью прямой и обратной теорем Виета:

x+ 6x – 7 = 0; (приведенное квадратное уравнение), т.к. а = 1.

x = – 7, x = 1

Ответ: –7; 1

5. Графический способ:

x+ 6x – 7 = 0

Рассматриваются функции

а) y = x+ 6x, y = 7

б) y = x– 7, y = – 6x

в) y = x, y = – 6x + 7

г) y = x+ 6x – 7

и строятся их графики.

На рис. 1 представлены графики функций а) y = x+ 6x и y = 7.

Решением квадратного уравнения являются абсциссы точек пересечения графиков функций (найденные значения являются приближенными), т.е. x –7, x 1

6. Нули функции y = (х + 3) – 16

(х + 3) – 16 = 0

Решение аналогично пункту 2.

Для решения уравнения (случай б) 2х + 5х + 2 = 0; кроме перечисленных выше способов решения был найден способ “переброски” первого коэффициента.

7. Способ “переброски” первого коэффициента

2х + 5х + 2 = 0;

Решение: умножим обе части уравнения на 2 – первый коэффициент,

Получим 4х + 10х + 4 = 0; Введем новую переменную y = 2x, получим уравнение равносильное данному: y + 5y + 4 = 0;

Далее, применяя теорему Виета и обратную ей, найдем корни y = – 1 и y = – 4

Подставим корни в условие y = 2x, найдем x = – и x = – 2

Ответ: – 2; –

8. Способ, основанный на свойствах коэффициентов квадратного уравнения.

x+ 6x – 7 = 0;

Данное уравнение демонстрирует применение следующих свойств коэффициентов квадратного уравнения a, b и c

а) если a + b + c = 0, то x = 1, x = ;

Решение: 1 + 6 + (– 7) = 0, тогда x = 1, x = – 7;

б) если a – b + c = 0, то x = – 1, x = –;

Второе свойство демонстрируется учащимися для уравнения x – 6x – 7 = 0;

Решение: 1– (– 6) – 7 = 0, тогда x = – 1, x = 7;

Таким образом, на последнем этапе урока, когда происходит расширение и углубление знаний учащихся, мы сознательно выходим на постановку проблемы и исследовательскую деятельность:

1. Что произойдет с корнями уравнений, если поменять знак второго коэффициента или поменять местами коэффициенты? Учащимся предлагается привести собственные примеры, самостоятельно выдвинуть гипотезу и найти доказательство, подтверждающее правильность выдвинутой гипотезы.

Такие доказательства были найдены и представлены: случай 8 а)

Доказательство: ах + bх + c = 0; a 0

x + x + = 0 (1).

Рассмотрим условие a + b + c = 0, выразим b = – a – c, подставим в (1), получим x + x + = 0

Корни можно найти с помощью теоремы Виета и обратной ей:

Отсюда x = 1, x = ;

По аналогии проводится доказательство для случая 8 б).

Важно организовать учебную работу детей так, чтобы они постепенно усваивали процедуру исследования, проходя все его основные этапы:

• постановку проблемы;
• сбор фактического материала;
• систематизацию и анализ фактического материала;
• выдвижение гипотезы;
• проверку гипотезы;
• доказательство или опровержение гипотезы.

Полноценное выполнение исследовательского задания требует тщательной подготовки и соответствующего методического обеспечения. В связи с тем, что мы ограничены временными рамками урока, данную работу можно продолжить на занятиях факультатива или элективных курсах.

Для того чтобы не было спонтанной работы и выдерживалась последовательность всех этапов исследования, можно создать специальную организационно-деятельностную карту, с помощью которой можно упорядочить, сделать более интересной и результативной познавательную деятельность учащихся.

Проиллюстрируем организационно-деятельностную карту на примере нахождения способов решения квадратных уравнений, в том числе б) 2х + 5х + 2 = 0;

Организационно-деятельностная карта.

I этап. Задача: решить уравнения

1. 2х + 5х + 2 = 0;	4. 2х – 5х + 2 = 0;
2. 3х + 10х + 3 = 0;	5. 3х – 10х + 3 = 0;
3. 4х + 17х + 4 = 0;	6. 4х – 17х + 4 = 0;

II этап. Выдвижение проблем:

1. Как зависят корни квадратного уравнения от коэффициентов?

2. Какая зависимость существует между коэффициентами а, b и c?

III этап. Фактическое решение: опыты, пробы, вычисление корней.

1. 2х + 5х + 2 = 0; D = 25 – 16 = 9, 9 > 0, два корня x = – x = – 2

2. 3х + 10х + 3 = 0; D = 100 – 36 = 64, 64 > 0, два корня x = – x = – 3

3. 4х + 17х + 4 = 0; D = 289 – 64 = 225, 225 > 0, два корня x = – x = – 4

4. 2х – 5х + 2 = 0; D = 25 – 16 = 9, 9 > 0, два корня x = x = 2

5. 3х – 10х + 3 = 0; D = 100 – 36 = 64, 64 > 0, два корня x = x = 3

6. 4х – 17х + 4 = 0; D = 289 – 64 = 225, 225 > 0, два корня x = x = 4

IV. Таблица результатов:

V. Гипотезы:

1. Частная гипотеза: если коэффициент а = с, то b = a+ 1 (для случая b > 0)

Действительно, если

а = с = 2, то b = 2+ 1 = 5

а = с = 3, то b = 3+ 1 = 10

а = с = 4, то b = 4+ 1 = 17

2. Общая гипотеза: если уравнение имеет вид: ах + ( + 1)х + a = 0; a 0

где b = + 1, то его корнями являются числа – а и (в случае, если b > 0)

а и (в случае, если b < 0).

VI. Доказательство общей гипотезы:

Рассмотрим уравнение вида ах + ( + 1)х + a = 0; a 0 и найдем его корни

D = a + 2a+ 1 – 4a= a– 2a+ 1 = (a– 1)

x = =

Не нарушая общности можно считать, что перед нами квадратное уравнение с целыми коэффициентами (даже если бы коэффициенты были дробными, уравнение можно было бы свести к уравнению с целыми коэффициентами).

т.е. если a Z и тогда a– 1> 0, а значит

x= x= .

Ответ: x= – ; x = – a

Гипотеза нашла подтверждение.

Все этапы исследования пройдены.

Организационно-деятельностная карта, которую можно назвать учебно-исследовательской, помогает усваивать процедуру исследования. Ее можно набрать изначально в печатном варианте с пробелами, и учащиеся самостоятельно заполняют ее. По мере приобретения опыта исследовательской работы с организационно-деятельностными картами у учащихся формируется особый подход к решению нестандартных задач. Можно использовать и дополнительные фрагменты организационно-деятельностной карты, связанные с развитием темы исходной задачи, а стало быть, и с постановкой и исследованием новых проблем.

Таким образом мы выходим на формирование навыков исследовательской деятельности учащихся на уроках и во внеурочное время (на занятиях спецкурса или факультатива).

Особенности данной методики заключаются в разнообразии форм проведения уроков, реализации деятельностного подхода в обучении, систематическом привитии учащимся навыков самостоятельности в рассуждениях, в поиске различных способов решения любых задач.

Кроме этого учащиеся учатся понимать задачи, а если есть понимание, то будет сопоставление с личным опытом и все это будет способствовать формированию познавательной активности, самосовершенствованию.

На наш взгляд, данная практическая работа по поиску решения задач несколькими способами, в частности квадратных уравнений, расширяет возможности понимания данной темы, углубляет знания и умения и повышает интерес к саморазвитию и дает возможность приобрести первый опыт исследовательской деятельности.

Литература

1. Баранова Е.В., Зайкин М.И. “Как увлечь школьника исследовательской деятельностью” Математика в школе №2 2004 г.
2. Гусев К.А., Мордкович А.Г. Математика “Справочник материалов, книга для учащихся” М. Просвещение 1998 г.
3. Ершова А.П., Голобородько В.В. Дидактические материалы по алгебре 9 кл. М. Просвещение 2002 г.
4. Мордкович А.Г. Учебник, задачник “Алгебра – 8”, “Алгебра – 9” М. “Мнемозина” 2004 – 2005 г.г.
5. Окунев А.К. “Квадратичные функции, уравнения и неравенства”. Пособие для учителя М. Просвещение 1972 г.
6. Журнал “Математика в школе” №2 2000 г.