Цель занятия: повторить правило умножения для комбинаторных задач, рассмотреть его применение в различных задачах.
План.
1. Из истории комбинаторики.
2. Повторение решения задач за курс 6 класса.
3. Выступление ученицы 7 класса с защитой решений задач по данной теме.
4. Решение других задач.
5. Подведение итогов занятия.
Ход занятия
1. Постановка цели занятия. Сообщение ученика.
Задачи, в которых идет речь о тех или иных комбинациях объектов, называются комбинаторными. Область математики, в которой изучаются комбинаторные задачи, называется комбинаторикой.
Комбинаторика как наука стала развиваться в XVII веке параллельно с возникновением теории вероятностей, так как для решения вероятностных задач необходимо было подсчитать число различных комбинаций элементов. Первые научные исследования по комбинаторике принадлежат итальянским ученым Н.Тарталье, Г.Галилею и французским ученым Б.Паскалю и П.Ферма. Комбинаторику как самостоятельный раздел математики стал рассматривать немецкий ученый Г.Лейбниц в своей работе об искусстве комбинаторики. Он также впервые ввел термин “комбинаторика”. Значительный вклад в развитие комбинаторики внес Л.Эйлер.
2. Задачи из курса 6 класса
1) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7?
Решение.
Для выбора первой цифры существует 4 варианта, для выбора второй цифры тоже 4 варианта, умножим 4 на 4, получим 16 – это количество искомых чисел: 11, 13, 15, 17, 31, 33, 35, 37, 51, 53, 55, 57, 71, 73, 75, 77.
2) Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 1, 3, 5, 7 при условии, что цифры не должны повторяться?
Решение.
Для выбора первой цифры существует 4 варианта, для выбора второй цифры при выбранной первой цифре вариантов остается уже 3, поэтому чисел будет 4 • 3 = 12: 13, 15, 17, 31, 35, 37, 51, 53, 57, 71, 73, 75.
3. Выступление ученицы 7 класса с защитой решений задач по данной теме.
1) Задача № 23 из “Кенгуру 5 - 6” 2006 года.
Каким числом способов можно составить поезд из четырех вагонов – красного, синего, желтого, зеленого, если всегда ставить красный вагон впереди желтого?
Решение.
Если красный вагон стоит на первом месте, то три остальных вагона можно расположить 3 • 2 = 6 способами. Если красный стоит на втором месте, то желтый можно поставить либо на третье, либо на четвертое место, в каждом из этих случаев оставшиеся два вагона можно расположить двумя способами, то есть всего способов 2 • 2 = 4. Наконец, если красный вагон расположить на третьем месте, то желтый придется поставить на четвертое место, а оставшиеся два вагона можно расположить 2 • 1 = 2 способами. Всего получается 6 + 4 + 2 = 12 способов.
2) Задача №22 из “Кенгуру 5-6” 2007года.
Когда в школе объявили день вежливости, каждый мальчик из 5-ого класса поздоровался с каждой девочкой из своего класса. Всего при этом было 77 рукопожатий. Сколько учеников может быть в 5 классе?
Решение.
Т. к. 77=7•11, то, по правилу умножения для комбинаторных задач, в классе может быть или 7 девочек и 11 мальчиков, или 7 мальчиков и 11 девочек, то есть всего ребят 7+11=18.
Ответ: 18.
3) Задача №4 из районной олимпиады 2006 года за 9 класс.
Расписание одного дня содержит 5 уроков. Определить количество таких расписаний при выборе из 11 дисциплин.
Решение.
Для выбора первого урока существует 11 вариантов, для выбора второго урока 10 вариантов, третьего 9 вариантов, четвертого 8 вариантов, пятого 7 вариантов. Всего 11•10•9•8•7=55440 способов составления расписаний.
Ответ: 55440.
4) Задача №4 из районной олимпиады за 10 класс.
Чемпионат, в котором участвуют 16 команд, проводится в два круга (т.е. каждая команда дважды встречается с любой другой). Определить, какое количество встреч следует провести.
Решение.
По правилу умножения количество встреч 16•15, но среди этого количества повторяются, например, такие: первая со второй и вторая с первой, поэтому встреч будет (16•15)/2. Так как чемпионат проводится в два круга, то количество встреч (16•15)/2•2=240.
Ответ: 240.
5) Задача №4 из районной олимпиады 2006 года за 11 класс.
Сколькими способами можно выбрать трех дежурных из 20-и человек?
Решение.
Для выбора первого дежурного существует 20 вариантов, для выбора второго дежурного 19 вариантов, для выбора третьего дежурного 18 вариантов, всего 20•19•18 способов, но среди них одинаковыми будут, например, такие: 3-2-1, 1-2-3, 3-1-2, 1-3-2, 2-1-3, 2-3-1, таким образом, способов будет (20•19•18):6= =6840:6=1140.
Ответ: 1140.
6) Задача №4 из районной олимпиады 2007 года за 10 класс.
Сколькими способами можно составить разведывательную группу из трех офицеров и семи солдат, если всего 10 офицеров и 20 солдат?
Решение.
Трех офицеров из 10 можно выбрать (10•9•8):6=120 способами.
Семерых солдат из 20 можно выбрать (20•19•18•17•16•15•14):(7•6•5•4•3•2)= =77520 способами.
Для каждого из 120 способов выбора трех офицеров существует 77520 способов выбора семерых солдат, поэтому всего способов 77520•120=9302400.
Ответ: 9302400.
7) Задача из заочной математической олимпиады “Авангард” (7,8,9 классы) за 2007 год.
Сколькими способами можно расставить на шахматной доске черного и белого королей так, чтобы они не били друг друга (не стояли на соседних клетках)?
Примечание. Расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами, считаются разными.
Решение.
Если одного из королей поставить по углам шахматной доски, то второй король не будет его бить в 4 • 60 случаях (4 угла и 64 – 4 = 60 клеток, в которых может стоять второй король, чтобы он не бил первого, так как на трех соседних второй будет бить первого).
Если одного короля поставить по краям шахматной доски (кроме углов), то таких клеток наберется 6 • 4 = 24, второй король будет бить первого на пяти соседних клетках, а не бить на 64 – 6 = 58 клетках, и таких способов будет 24 • 58.
Если одного короля поставить внутри доски в квадрат 6х6, то он будет бит на восьми клетках, а не бит на 64 – 9 = 55 клетках, всего способов получается 36 • 55.
Так как расстановки, при которых черный и белый короли меняются местами, считаются разными, то всего способов будет (4х60+24х58+36х55):2Х2=3612.
Ответ: 3612.
4. Решение других задач.
1) В одном городе были трехзначные велосипедные номера. Но велосипедисты попросили, чтобы в этих номерах не встречались цифры 0 и 8, потому что первая из них похожа на вытянутое колесо, ну, а что значит для велосипедиста восьмерка колеса, знает каждый. Хватит ли им номеров, если в этом городе велосипеды имеют 710 человек?
Решение
Для выбора цифры сотен есть восемь возможностей: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9. Столько же возможностей и для выбора цифры десятков и для выбора цифры единиц, т.е. всего 8· 8· 8 = 512 вариантов. Так что на всех обладателей велосипедов номеров не хватило. Тогда велосипедисты согласились на цифру 0, номеров стало 9· 9· 9 = 729, и их хватило на всех.
2) Ребята Андрей, Боря, Витя, Гриша, Дима и Женя решили покататься на карусели. На ней было 6 сидений. Одно изображало льва, другое – тигра, третье – слона, четвертое – оленя, пятое – медведя и шестое – жирафа. Ребята заспорили, кому на какого зверя садиться. Поэтому они решили перепробовать все способы. Сколько раз пришлось им прокатиться на карусели?
Решение
Пусть первым выбирает Андрей, у него есть 6 возможностей выбора, а Боре остались лишь 5 возможностей, Вите – 4, Грише – 3, Диме – 2, Жене – 1, всего 6 х 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 720. Так что, если даже они катались в день по 20 раз, то им пришлось бы больше месяца ходить каждый день в парк.
3) Сколькими способами можно зачеркнуть 5 номеров из 36, участвуя в “Спортлото”?
Решение
По правилу умножения для комбинаторных задач способов будет 36 х 35 х 34 х 33 х 32, но среди них повторяются 5 х 4 х 3 х 2 способа, поэтому получаем (36 х 35 х 34 х 33 х 32) : (5 х 4 х 3 х 2) = 376992.
5. Подведение итогов занятия.
Решение различных задач на применение правила умножения поможет вам в дальнейшем при изучении комбинаторики.