Интегрированный урок (математика + физика) по теме "Производная. Применения производной", 10-й класс

Разделы: Математика, Физика

Класс: 10

Потребность в быстром и эффективном овладении знаниями вызывает к жизни новые формы и методы обучения, новые образовательные технологии. Одной их таких технологий является информационно-компьютерная технология. В настоящее время компьютеризация учебного процесса рассматривается как один из актуальных факторов организации обучения любому предмету, включая математику и физику.

Использование информационно-компьютерных технологий позволяет повысить эффективность учебного процесса, т.е. увеличить скорость усвоения материала, достичь учебной цели наиболее рациональным способом, получить максимальное количество информации за кратчайшее время.

Наряду с этим важным моментом педагогической деятельности является непосредственная связь любого предмета с другими учебными дисциплинами и их взаимообогащение. Ярче всего эта интеграция прослеживается в преподавании математики и физики. Ее установление способствует более глубокому усвоению знаний, формированию научных понятий и законов, совершенствованию учебно-воспитательного процесса, формированию научного мировоззрения, единства материального мира, взаимосвязи явлений в природе и обществе.

Интегрированный урок имеет и психологическое преимущество: пробуждает интерес к предмету, снимает напряженность, неуверенность, помогает сознательному усвоению подробностей, фактов, деталей, тем самым обеспечивает формирование творческих способностей учащихся, т.к. позволяет вести не только учебную, но и исследовательскую деятельность.

Оптимальной организации интегрированных уроков способствует применение интерактивных компьютерных технологий.

Представленный интегрированный урок “Применение производной” рассчитан на два академических урока по 45 минут, проводился в 10-ом физико-математическом классе.

Цель интегрированного урока – дать учащимся всесторонние (углубленные и расширенные) знания о предмете изучения, его целостную картину. Основные его свойства – синтетичность и универсальность. Он позволяет посвятить учащегося в конечные цели изучения не только данной темы, раздела, но и всего материала, быстрее включить его в познавательный процесс.

По своей структуре он является повторительно-обобщающим.

Оборудование урока:

  • интерактивная доска;
  • проектор;
  • персональный компьютер.

Рады видеть всех, присутствующих на этом интегрированном уроке, который позволит объединить знания по математике и физике.

Предлагаем следующий режим работы: три двадцатиминутных мини урока с двумя физическими паузами.

Эпиграфом к уроку выбраны слова ученого-химика Евгения Вагнера: “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются”.

Цель наших совместных действий определим следующим образом: в ходе урока мы должны убедиться в значимости знаний, получаемых на уроках математики, и их прикладном характере и эффективности использования при решении физических задач. Только осознанное применение знаний, овладение математическим аппаратом, умение логически мыслить позволит достичь успехов в покорении вершин других наук.

Какой математической операции посвящен урок мы узнаем, если правильно ответим на вопросы кроссворда. (Слайды №2-10)

Вопросы кроссворда:

  1. Фрацузский математик 17 века Пьер Ферма определял эту линию так:
    “Прямая, наиболее тесно примыкающая к кривой в малой окрестности
    заданной точки ”.
  2. Раздел механики, изучающий механическое движение тел в пространстве с течением времени.
  3. Приращение какой переменной обычно обозначатся ?х.
  4. Если существует предел в точке а и этот предел равен значению функции в точке а, то в этой точке функцию называют... (Подсказка: график такой функции можно нарисовать одним росчерком карандаша без отрыва от бумаги.)
  5. Что является мерой изменения механической энергии?
  6. Эта величина определяется как производная скорости по времени.
  7. Если функцию f(x) можно представить в виде y=f(x)=g(h(x)), где y=g(t), t=h(x) - некие функции, то функцию называют.. .

Кроссворд заполнен, и мы по горизонтали читаем слово “Лагранж”.

С именем Лагранжа связана такая операция математического анализа, как нахождение производной. Обратимся к истории появления в математике термина “ производная”. Небольшая историческая справка-сообщение об ученых Лагранже, Ньютона, Декарте, Ферма, Лейбнице. (Слайды №11-14)

В 19 лет он стал профессором в Артиллерийской школе Турина. Именно Лагранж в 1791 г. ввёл термин “производная”, ему же мы обязаны и современным обозначением производной
(с помощью штриха). Термин “вторая производная” и обозначение (два штриха) также ввёл Лагранж.

Задача определения скорости прямолинейного неравномерного движения была впервые решена Ньютоном. Функцию он назвал флюэнтой, т.е. текущей величиной, производную же - флюксией. Ньютон пришел к понятию производной, исходя из вопросов механики. Предполагают, что Ньютон открыл свой метод флюксий ещё в середине 60-х годов XVII в.

Первый общий способ построения касательной к алгебраической кривой был изложен в “Геометрии” Декарта. Более общим и важным для развития дифференциального исчисления был метод построения касательных Ферма.

Основываясь на результатах Ферма и некоторых других выводах, Лейбниц значительно полнее своих предшественников решил задачу о построении касательной к кривой в некоторой точке.

Итак, теперь мы можем сформулировать тему урока: “Производная. Геометрический и физический смысл производной”.

Ответим на следующие вопросы:

  1. Что такое производная функции?
  2. В чем ее геометрический смысл?
  3. В чем ее физический смысл?

Чтобы эффективно использовать производную при решении конкретных задач, необходимо, как таблицу умножения, знать таблицу производных элементарных функций.

Убедимся в том, что вы эту таблицу знаете в совершенстве.

Математический диктант

Ответы к диктанту. (Слайд №15-16)

Математический диктант написан, бланк ответов, лист с диктантом сдан. Пожалуйста, поднимите руки, кто из вас написал диктант без единой ошибки? Сделал не более трех ошибок?

Однако, формальное знание таблицы производных - это только инструмент, с помощью которого можно решать задачи, как по математике, физике, так и по экономике, биологии и другим наукам.

Физкультурная пауза.

Переходим к следующему этапу урока, который покажет, как вы владеете этим эффективным и универсальным инструментом - производной.

(Слайды №17-20) Вам предлагаются четыре графика функций. Пожалуйста, ответьте на следующие вопросы:

По первому графику определите знак углового коэффициента
касательной, проведенной к графику функции в точках с абсциссами “а”, “в”, “с”.

На следующих графиках укажите точки, в которых производная
равна нулю, и точки, в которых производная не существует.

Ответы к заданиям:

1) Знак углового коэффициента в точке с абсциссой “а” - плюс,
с абсциссой “в” - минус, с абсциссой “с” - плюс.

2) На втором графике производная равна нулю в точках 0 и 3,5 , не
существует в точке -1.

3) На третьем графике производная равна нулю в точке -4 и не существует в точках -2, 6, 2.

4) На четвертом графике производная равна нулю в точках -4 и -1,5 и не существует в точке 4.

Можно ли, зная, в чем заключается геометрический смысл производной, ответить на вопрос: “Каков характер движения материальной точки, если ее координата “х” изменяется с течением времени “t” согласно графикам, представленных на следующем слайде? (Слайды №21-22)

img9.gif (17852 bytes)

Первый график: tgaB>tgaA —> VB>VA.

Второй график: tgaB<tgaA —> VB<VA.

Действительно. Производная - это универсальный инструмент, позволяющий быстро решать задачи из любой области знаний. Обратимся к математической задаче.

Данная задача была представлена ученикам в электронном курсе “Открытая математика”. На конкретном примере ученики увидели преимущества использования производной при определении промежутков монотонности функции в сравнении с нахождением этих промежутков по определению. (Слайд 23).

Эффективность использования производной подтверждается также обращением к задачам по физике из раздела “Кинематика”. (Слайды №24-25).

  1. Координата тела меняется по закону X = 5 - 3t + 2t2 (м).
  2. Определите скорость и ускорение данного тела в момент времени 2 сек
  3. Пусть X = 2 + 4t2 - sin2пt. Найти: а) мгновенную скорость, б) ускорение, если t = 0,5 c

Первую задачу решим, используя формулы, связывающие между собой кинематические характеристики равнопеременного движения.

Vox= - 3 м/с; хо=5 м; ах = 4м/с2 —> Vx = Vox+ axпt =-3 + 8 = 5 (м/с)

Эта задача решается довольно просто. Но как быть, если координата движущегося тела с течением времени изменяется по закону: Х=2+ 4t?- sin2?t а необходимо ответить на вопрос: “Какова скорость и ускорение этого тела в момент времени 2 секунды?” Формулы кинематики нам здесь не помогут. К чему, по вашему мнению, мы должны обратиться? - Конечно, к производной, к ее физическому смыслу. Это позволит нам практически без особых усилий ответить на поставленные вопросы.

V(t) = X =8t - 2cos 2пt = 16 -2 cos 4пt ~16 - 6,28п10 (м/с)

ах(t) = V'(t) = 8 + 4п2 sin 2пt = 8 (м/с2)

Прежде, чем продвигаться дальше, обращаем ваше внимание на индивидуальное домашнее задание, которое вы видите на столах. Выполните его к следующим урокам по математике и физике. Домашнее задание предлагается в нескольких вариантах.

Один из вариантов:

  1. Точка движется по закону x(t)=2t3 -3t. Чему равно ускорение в момент
    времени 1с.
  2. Ускорение тела выражается формулой a =4t. Найти скорость тела через 5с
    от начала движения.
  3. Скорость тела выражается формулой v(t)=3t2 -8t. Найти ускорение тела
    через 2с от начала движения.
  4. По прямой движутся две материальные точки по законам x1(t)=l\3 t3 и
    X2(t)=5t2 -21t. В каком промежутке времени скорость первой точки меньше
    скорости второй точки?
  5. Тело, брошенное со скоростью 40 м/с, достигло максимальной высоты
    подъема. Чему равна эта высота? Какова скорость тела через 2 с после
    броска?
  6. Задание по математике из задачника, по которому занимаются учащиеся.

А теперь подведем итоги двух этапов урока, ответив на вопросы:

  1. Что дают нам знания о производной?
  2. Какие задачи можно решать, используя физический и геометрический смысл производной?

Вы правильно ответили на вопросы, и это позволяет нам переходить к выполнению следующего задания.

Физкультурная пауза.

(Слайды №26-38)

Вам предлагается самостоятельная работа, при верном решении которой мы получим ключ к дальнейшим действиям. В бланк ответов (один на два варианта) вы заносите буквы, соответствующие полученным решениям; первый вариант - с цифры “1” по “6”, а второй вариант - с “7” по “12”. Не забудьте на бланке указать фамилию и соответствующий вариант.

Тест. Вариант 1

1. Точка движется по закону S(t)=2t3+3t.

Чему равна скорость точки в момент времени t= 1c ?

А) 5

Б) 12

В) 9

Г) 13

2. Чему равен тангенс угла наклона касательной к графику функции

g(x)=4x2 - х в точке Х0=1

А) 8

Б) 7

В) 3

3. Найти силу, действующую на материальную точку массой Зкг, движущуюся прямолинейно по закону S(t)=3t3 - 4,5t2 при t=2c?

А) 27

Б) 30

В) 81

Г) 54

4. Найти производную функции g(x)=tg(2x+п/3)

a) 2(2x+п/3)/cos2x 6)2/cos2x b)2/cos2 (2х+п/3)

5. Заряд, протекающий через электролит, меняется по линейному закону q=2t + 0,02t3 (Кл)

Какова сила тока в цепи в момент времени t=5c?

А) 2,0 Б) 1,5 В) 3,5 Г) 4,0

6. Составьте уравнение касательной к графику функции у=х2 - Зх + 5 в точке а=-1

А) у=-5х + 4 Б) у=5х-4 В) у=-5х

Тест. Вариант 2

7. Точка движется прямолинейно по закону x(t)= - t3/6+3t2-5.Найти момент времени t, когда ускорение точки равно 0.

А) 2

М) 4

К) 8

0) 6

8. В какой точке графика функции y=vx касательная наклонена к оси абсцисс под углом 30°?

Г) нет ответа

9. Заряд, проходящий через поперечное сечение проводника, меняется с
течением времени по закону q(t)=0,2t + 3t2 + 1

Найти мгновенное значение силы тока в момент времени t=2c

Ф)19 А)18,4 В)13 И)21

10. Найти производную функции

11. Две материальные точки движутся по законам: Xl(t)=2,5t2-6t+l; X2(t) =0,5t2 + 2t - 3

В какой момент времени их скорости равны?

Р)10

Б) 4

И) 2

Ю) 7

12. Составьте уравнение касательной к графику функции у=2 - х2 в точке

х0=3

А) у =2х +5 Е) у =6х +11 В) у = -Зх - 6 Г) нет ответа

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

и

С

С

Л

Е

Д

О

В

А

Н

И

Е

Итак, если вы абсолютно правильно решили все задания, то мы читаем слово “ исследование”, а оно, как никакое другое соответствует теме нашего сегодняшнего урока. Как применить производную к исследованию функции, мы увидим на следующем примере:

Исследовать на монотонность функцию у =2х3 +3х2 -1 и построить график этой функции.

f(x) = 6x2 + 6x = 6x(x + 1)

Умение исследовать поведение функции очень важно и при решении физических задач, особенно тех, которые традиционными способами решаются сложно и громоздко.

Обратимся к вопросу определения условий, при которых мощность, выделяемая на нагрузке в цепи постоянного тока, будет максимальной (Слайд 39).

Завершая урок, мы надеемся, что все поняли и приняли истину: математика - это, действительно, царица наук, которая не гнушается выступать и в роли служанки, помогающей нам в покорении вершин других наук. Прав был Вагнер, когда говорил, что “Вся глубина мысли, которая заложена в формулировку математических понятий, впоследствии раскрывается тем умением, с которым эти понятия используются”.

И, наконец, после “всяких умных вещей” немного юмора. На экране представлены графики зависимости уровня ваших знаний от времени, в интервале от начала урока до его завершения. Пожалуйста, выберите тот график, который, на ваш взгляд, наиболее близок вам, принимая во внимание их разный характер. Имеют ли они отношение к теме нашего урока? Можно ли по этим графикам судить о скорости приращения наших знаний в ходе урока? Если - да, то как? Какой же график выбран вами? Если вы выбрали график 1 – это означает, что мы достигли цели и решили задачи, поставленные в начале урока (Слайд 40).

Урок завершен. Всего вам доброго. До свидания.

Презентация

ЛИТЕРАТУРА

  1. Н.Я. Виленкин и др. Алгебра и математический анализ 10. Москва, Мнемозина, 2004 г.;
  2. И.М. Гельфгад и др. Тысяча одна задача по физике. Москва, Илекса, 2005 г.;
  3. Ф.М. Дягелев. Из истории физики и жизни ее творцов. Москва, Просвещение, 1986 г.;
  4. Б.Н. Иванов. Современная физика в школе. Москва, Лаборатория Базовых Знаний, 2002 г.;
  5. А.А. Леонович. Физический калейдоскоп. Москва, Бюро Квантуси, 1994 г.;
  6. А.Г. Мордкович и др. Алгебра и начало анализа (профильный уровень). Москва, Мнемозина, 2006 г.;
  7. С.М. Никольский и др. Алгебра и начало анализа. Москва, Просвещение, 2003 г.;
  8. Ю.И. Сазонов. Сборник задач по физике. Москва, Высшая школа, 1999 г.;
  9. Физика: реальные тесты и ответы. Сергиев Посад. Фолио, 2007 г.;
  10. Интерактивный курс “Открытая Математика”. CD, Физикон.