Математика как язык физики

Цель урока: показать и доказать примерами то важное, что математика – не только инструмент для вычислений, преобразований алгебраических выражений и доказательств теорем геометрии. Математика – это прежде всего уникальный язык для описания устройства и изменения во времени материального мира.

Ожидаемый результат: решая задачи физики, ученики станут яснее различать и разделять две части решения: запись заданной физической ситуации при помощи уравнений, т.е. математическую модель, и запись правильных алгебраических и геометрических преобразований для нахождения и вычисления искомых величин. Ученики сознательно отделят содержательную часть физической задачи от ее технической, так сказать, “формульной” части.

Ученики обратят свое внимание на характер связей между физическими величинами (например, линейный или нелинейный). Это позволит им замечать общее в математическом описании разнородных явлений.

Ученики задумаются и удивятся замечательной эффективности математики не вообще, а в конкретной школьной практике [ 2 ].

Учитель: Человек общается с окружающей его природой и обществом и описывает их при помощи разнообразных средств, которые называют языками. Вопрос: какие языки используете вы? Танец, музыка, живопись – это языки. Для своего строя они используют движение, звук, свет и цвет.

Особыми языками для человека являются речь и ее запись при помощи знаков: букв, точек, запятых, иероглифов и других. Для каждого человека есть единственный родной язык, все прочие языки для него – иностранные. В 1887 г. польский врач-окулист Лазарь Заменгоф изобрел простой язык для международного общения и назвал его эсперанто. Вопрос: как бы вы перевели фразу на эсперанто (пишет на доске) Mi amas du, de Petr' afero, … ? (Люблю тебя, Петра творенье,…) Однако, эсперанто до сих пор не стал всемирным языком.

Языки танца, музыки и живописи понятны всем. Однако, это понимание эмоционально и поэтому – индивидуально, т.е. неоднозначно и неточно (и это замечательно!). Для описания законов материального мира и предсказания результатов их действия нужен рациональный язык, охватывающий все явления этого мира и однозначно понятный всем – этакое физическое эсперанто. Поразительным и до сих пор таинственным является то, что такой язык существует!

Это – математический язык.

Вопрос: как бы вы записали на математическом языке следующие два вопроса? (текст вопросов, Задание1, проецируют на экран)

1. Друзья собирают марки. Сколько марок у Руслана, если всегда оказывается, что у него марок меньше, чем у Ромы, во столько же раз, во сколько раз у Саши их больше, чем у Любы?
2. Каково сопротивление проволоки, если оно прямо пропорционально удельному электрическому сопротивлению ее материала и ее длине, но обратно пропорционально площади ее поперечного сечения?

(Желающие выходят к доске и пишут свои варианты ответов на левой и правой частях доски.

Учитель выделяет рамкой верные ответы: 1) Р_у = Р_о*Л/С, 2) R=?*l/s и просит поднять руку сначала тех, кто верно ответил на вопрос 1), затем тех, кто верно ответил на вопрос 2), и, наконец тех, кто верно ответил на оба вопроса).

Ход обсуждения результатов задания 1 следует направлять к следующим выводам:

• математический язык краток (сравните количества знаков в вопросах и в математической их записи),
• математический язык точен (указана последовательность математических операций над числами, что позволяет произвести вычисления),
• математический язык универсален (полученные совершенно одинаковые математические формулы описывают совершенно разные физические ситуации, изложенные совершенно разными словами),
• краткость, точность и универсальность математического языка требуют повышенного внимания к процессу обозначения величин (надо знать и уметь писать принятые латинские и греческие буквы и обязательно использовать индексы, чтобы различить величины, обозначенные одинаковыми буквами),
• главным глаголом математического языка является знак равенства. Этот знак объявляет в физике сразу два равенства: количественное (равенство чисел) и размерное (равенство размерных наименований). Количественное равенство требует подумать о типе чисел (натуральные, целые, действительные?..), о знаках чисел (каков физический смысл?), о степени округления чисел. Размерное равенство требует точного согласования размерностей левой и правой части в принятой системе единиц СИ. Количественное и размерное равенства независимы друг от друга, т.е. верность одного из них не гарантирует верность другого.

(Дежурные или учитель стирают с доски, оставляя выделенные рамками верные формулы, тем самым оформляя паузу и переход к следующему блоку урока – Заданию 2)

Задание 2 : Определение характера функциональной зависимости

Высшим принципом существования материального мира является принцип причинности, по которому все явления природы образуют замкнутую сеть причинно-следственных связей. Как известно, на усном математическом языке причину называют независимой переменной, или аргументом, а следствие – зависимой переменной, или значением функции. Записывают же это так (пишет на доске вверху по центру): у=f(x).

Вопрос 1: где в этой записи причина, где следствие? Каково содержание (смысл) буквы f ?

Ответ: буква f - это не столько сокращение слова “функция” (зависимость), сколько общее обозначение характера зависимости следствия у от причины x, например, - линейный, квадратичный или другой.

Вопрос 2: зачем использованы скобки?

Ответ: конечно, в правой части нет никакой математической операции. В скобках помещают список причин (аргументов), которые порождают следствие у. В выражении f(x) список содержит только одну причину х.

Посмотрите на функции Задания 1 (записаны в рамках в левой и правой частях доски). Их общая запись должна быть такой (пишет на доске по центру ниже): у=f(x₁, x₂, x₃). Следствие у зависит по способу f от трех причин х₁, х₂, х₃. Способ f, т.е. характер зависимости, выражают конкретной формулой. В данном случае (пишет на доске по центру ниже) у=х₁*x₂/x₃. Самое важное – это заметить разный (может быть) характер зависимости величины у от каждой в отдельности величины х₁, х₂, х₃.

Вопрос 3: каковы в формулах на доске характеры зависимости величины у от величины х₁, x₂, х₃?

В физике необходимо обозначать разные причины (аргументы) не одной и той же буквой х, а разными прописными и строчными буквами латинского и греческого алфавита.

(Дежурные раздают бланки для выполнения Задания 2 <Рис.1>. Учитель проецирует пленку с Заданием 2).

Учитель объясняет: вы видите пять физических формул, т.е. причинно-следственных связей между известными вам величинами. В столбце вашего бланка для каждой связи задана единственная причина (названная “аргумент”), которая может изменять величину, заданную формулой в этой строке. Остальные причины-аргументы следует считать постоянными параметрами, так сказать, - “ не активированными”. В пустых столбцах вам надо: 1) написать физическое название заданной связи, 2) написать вид зависимости величины, заданной формулой в этой строке, от заданного аргумента,3)изобразить график этой зависимости (без масштабов по осям). Не забудьте подписать бланк. Время выполнения 5 минут. Смотрите пример, приведенный в первой строке.

(Во время выполнения задания учитель стирает все с доски и по истечении заданного времени объявляет самопроверку без исправления уже написанного. Он проецирует таблицу с верными ответами).

Учитель: в крайнем поле каждой строки поставьте два знака – первый – за график, второй – за остальное. “Плюсы” - за верное, “минусы” - за неверное. Затем сосчитайте “минусы” и в крайнем верхнем поле бланка поставьте себе общий балл в соответствии с указанием под таблицей.

(Пока дежурные собирают бланки учитель просит поднять руку тех, кто оценил свою работу на “5” и “4”).

Задача 1: использование известного математического анализа для решения физической задачи

Учитель: посмотрим теперь, как язык квадратичной зависимости описывает и помогает решить задачи равноускоренного движения [ 1 ].

(К доске выходит “физик”, размещает в ее правой части свой плакат <Рис.2> и поясняет его.

Затем выходит “математик”, размещает свой плакат <Рис.3> в левой части доски и поясняет его. “Физик” и “математик” обращают внимание класса на уравнения, выделенные на плакатах рамкой (или цветом), приглашают “переводчика” и садятся на места. К доске выходит “переводчик”, размещает свой плакат <Рис.4> по центру и поясняет его).

Учитель: функции y=f(x) и h=f(t), т.е. характеры зависимостей значений у от значений х и значений высоты h от моментов времени t, совершенно одинаковы. Поэтому известные результаты математического анализа квадратичной функции можно c успехом использовать для решения физической задачи равноускоренного движения.

(К доске поочереди выходят “переводчики”, и каждый сообщает о некотором результате ис-

пользования языка квадратичной функции для физической задачи).

1. График движения h=f(t) должен быть параболой с ветвями “вниз”.
2. Поскольку парабола имеет ось симметрии, параллельную оси Y, то (пишет на доске)

t_п=2t_м. Следовательно, время подъема в точности равно времени падения.

3. Мгновенная скорость тела (пишет на доске) v=h/t. Вид графика h=f(t) показывает, что в точке М (вершине параболы) непрерывное уменьшение скорости переходит в непрерывное ее увеличение (поясняет по графику на плакате). Следовательно, в наивысшей точке М скорость тела равна нулю (пишет: v_м=0).
4. Из приведенного определения мгновенной скорости следует, что скорости тела в симметричные относительно оси симметрии моменты времени имеют одинаковый модуль (поясняет по плакату). Следовательно, скорость в момент t_п падения тела (h=0м) равна по модулю начальной скорости v_o (h=0м) (пишет: v_п=v_o).
5. Для расчета максимальной высоты h_м следует выполнить лишь подстановку величин в выражение для у_м в соответствии с Таблицей перевода обозначений <Рис.3> (пишет, поясняя: h_м= - v_o²/4(-g/2) = v_o²/2g).
6. Для расчета полного времени движения t_п также следует выполнить лишь подстановку в готовое выражение для х₂ (пишет, поясняя: t_п= -v_o/-g/2= 2v_o/g).

Учитель: Полученные результаты показывают (и требуют!) важность правильного обозначения величин и анализа их математического и физического содержания. Квадратичная функция может описывать разнородные зависимости между физическими величинами. Рассмотрим траекторию тела, брошенного под углом к горизонту. (Во время этого комментария с доски снимают плакаты “физика” и “переводчика”, оставляя плакат “математика” <Рис.3> и стирают записи).

(К доске выходит “физик”, размещает справа плакат <Рис.5> и поясняет его, подчеркивая различие траектории движения от графика движения. “Физик” обращает внимание класса на выделенные рамкой (или цветом) уравнения, приглашает “переводчика” и садится на место. “Переводчик” размещает свой плакат <Рис.6> в центре, поясняет его и садится на место. Затем поочереди выходят “переводчики”, и каждый сообщает о своем результате использования языка квадратичной функции для решения физической задачи).

1. Тело должно двигаться по параболической траектории (без учета сил сопротивления движению.
2. Полное время движения можно найти как в предыдущей задаче, с заменой v_o на v_oY (пишет: t_п=2v_oY/g).
3. В силу симметрии параболы модуль вектора скорости v_п в момент падения t_п (h=0м) равен v_o (пишет: v_п=v_o). Кроме того, угол падения ? равен углу взлета ?.
4. В каждой точке траектории (пишет: v= + v_oY² +v_oX²). Поскольку, как было показано, в точке М v_oY=0, то (пишет: v_м=v_oX=v_o* cos?).
5. Максимальную высоту h_м можно найти подстановкой в выражение для у_м по Таблице перевода (пишет: h_м= - (v_oY/v_oX)²/4(- g/2v_oX²) = v_oY²/2g). Результат можно было получить сразу из предыдущей задачи заменой v_o на v_Oy.

6) Дальность полета l_п можно найти, сопоставив точки парабол х₂ и l_п и выполнив подстановку при помощи Таблицы перевода (пишет: l_п= (- v_Oy/ v_Ox)/(- g/2v_oX²) = 2v_oX*v_oY/g = 2v_ocosa*v_osina/g = v_o²*sin(2a)/g). Видно, что максимальная дальность (пишет: l_max =v_o²/g) достигается при sin(2a) =1, т.е. а = 45°. Для попадания в заданную точку на дальности l следует найти угол взлета из уравнения (пишет: sin(2a) = g*l/v_o²).

Учитель благодарит учеников за работу на уроке и просит выполнить домашнее задание.

(Дежурные раздают бланки с домашним заданием <Рис.7>).

Заключительное обсуждение темы урока

Учитель задает вопрос: как вы думаете, кто из великих физиков сказал: “Вселенная описана в величайшей книге, которая постоянно открыта нашему взору, но понять ее может лишь тот, кто сначала научился постигать ее язык и толковать ее знаки, которыми она написана. Написана же она на языке математики”? Ответ: Г.Галилей.

Учитель: каждому человеку дана способность изучить этот язык, ибо прирожденная способность человека – воспринимать окружающий мир через пространство, время, число и логику.

Литература

1. Мякишев Г.Я. Физика: Учеб. для 10 кл. Общеобразовательных учреждений / Г.Я. Мякишев, Б.Б. Буховцев, Н.Н. Сотский. – 11 изд. – М. : Просвещение, 2003.
2. Орлов В.А., Сауров Ю.А. Методы решения физических задач. – М. : Первое сентября. Физика, 2006. - №5.

Таблица