Факультативное занятие по математике в 9-м классе

Разделы: Математика

Цели урока:

  • расширить познания учащихся о средних математических величинах;
  • развивать логическое мышление;
  • прививать интерес к математике.

Тип урока: урок – лекция

Структура урока:

I этап – мотивационно–ориентировочный

(Разъяснение целей учебной деятельности на уроке).

II этап – подготовительный

(Актуализация опорных знаний).

III этап – основной

(Приобретение новых знаний в ознакомительном порядке).

IV этап – заключительный

(Подведение результатов урока, самооценка учащихся).

Ход урока

I этап

Средние величины играют в математике и не только в ней значительную роль. Давайте вспомним, какие средние величины мы с вами уже изучили.

- среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное.

Сформулируйте эти понятия для двух величин и запишите в виде буквенного выражения.

- (Дети говорят формулировки и на доске записывают формулы)

Эти величины были хорошо знакомы ещё математикам античности, создавшим теорию пропорций, на основе которой строилась геометрическая теория чисел, теория площадей и даже древнегреческое учение о музыке.

II этап

Предлагаю вашему вниманию задачу.

Из пункта А в пункт В автомобиль выехал со скоростью 90 км/ч, а возвращался из В в А со скоростью 60 км/ч. Какова была средняя скорость автомобиля?

- 75 км/ч.

Итак, вы предлагаете определить Vср как среднее арифметическое. Давайте посмотрим, можно ли так сделать в данном случае. Вспомним из курса физики, что такое Vср.

- Vср = , где S – весь пройденный путь, а t – время движения.

Если путь из пункта А в пункт В принять за 1, то весь пройденный путь S будет равен 2. Время движения из пункта А в пункт В есть t1 =, из пункта В в пункт А – t2 = . Значит, время нахождения в пути t = t1 + t2, т.е.

t = + = . Тогда Vср = = . Найдём значение полученного выражения Vср.

Vср = км/ч = 72 км/ч.

Итак, истинное значение Vср = 72 км/ч.

Величина h = – среднее гармоническое.

Итак, среднее гармоническое двух положительных чисел а и в равно отношению удвоенного произведения этих чисел к их сумме

– другая запись величины (связь со средним арифметическим). Попробуйте сформулировать определение в таком виде.

- Величина, обратная среднему гармоническому а и в, есть среднее арифметическое величин, обратных а и в.

III этап

Мы с вами в школьном курсе математики уже знакомы с геометрической интерпретацией неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. Среднее гармоническое тоже имеет красивый геометрический образ. Но давайте вспомним хотя бы о геометрической интерпретации среднего арифметического.

Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причём BC< AD, MN – отрезок, соединяющий середины боковых сторон, диагонали AC и BD пересекаются в точке О, через которую параллельно основаниям проведён отрезок PT.

Как называются отрезки MN и PT в трапеции, и какая связь между ними и основаниями?

- Так как MN – средняя линия трапеции, то MN = .

Так как PT – среднее гармоническое, то PT = .

Докажем, что PT – среднее гармоническое оснований.

значит, и .

Сложим почленно полученные равенства

, т.е. . Таким образом, РО = .

Из подобия треугольников АСD и ODT, треугольников BDC и ODT аналогично получаем, что ОТ = . Следовательно, РТ = РО + ОТ = + = 2 • = , т.е. РТ – среднее гармоническое оснований трапеции.

Итак, среднее гармоническое двух положительных чисел в геометрической интерпретации – это…

-отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельный основаниям.

Сравним эти два отрезка MN и РТ. Это, значит, сравним их длины, т.е. величины и . Каким образом это можно сделать?

- чтобы сравнить две величины, составим их разность и сравним с 0.

– = = = = >0. Следовательно, >. Возможно равенство при а = в. Значит, >=.

Итак, РТ >= MN. Какой можно сделать вывод?

- отрезок, являющийся средним гармоническим оснований трапеции, всегда меньше средней линии и расположен ближе к меньшему основанию.

Попробуем расположить средние величины в порядке возрастания. Сравним большую из известных величин и среднее квадратичное.

- V 0?

Т.к. >= 0 и >= 0, то мы можем сравнить их квадраты.

; .

= > 0.

Значит, среднее квадратичное самая большая из трёх величин, и ряд выглядит так:

среднее гармоническое среднее арифметическое среднее квадратичное

Осталась четвёртая величина – - среднее геометрическое.

IV этап

Найдите его место в этом ряду. Это и будет ваше задание на дом.

Итак, сегодня на уроке мы расположили в порядке возрастания три величины. На следующем дополним его четвёртой (из вашего домашнего задания) и посвятим занятие решению задач по этой теме. Поставьте себе оценки за сегодняшнее занятие.