Цели урока:
- расширить познания учащихся о средних математических величинах;
- развивать логическое мышление;
- прививать интерес к математике.
Тип урока: урок – лекция
Структура урока:
I этап – мотивационно–ориентировочный
(Разъяснение целей учебной деятельности на уроке).
II этап – подготовительный
(Актуализация опорных знаний).
III этап – основной
(Приобретение новых знаний в ознакомительном порядке).
IV этап – заключительный
(Подведение результатов урока, самооценка учащихся).
Ход урока
I этап
Средние величины играют в математике и не только в ней значительную роль. Давайте вспомним, какие средние величины мы с вами уже изучили.
- среднее арифметическое, среднее геометрическое, среднее квадратичное.
Сформулируйте эти понятия для двух величин и запишите в виде буквенного выражения.
- (Дети говорят формулировки и на доске записывают формулы)
Эти величины были хорошо знакомы ещё математикам античности, создавшим теорию пропорций, на основе которой строилась геометрическая теория чисел, теория площадей и даже древнегреческое учение о музыке.
II этап
Предлагаю вашему вниманию задачу.
Из пункта А в пункт В автомобиль выехал со скоростью 90 км/ч, а возвращался из В в А со скоростью 60 км/ч. Какова была средняя скорость автомобиля?
- 75 км/ч.
Итак, вы предлагаете определить Vср как среднее арифметическое. Давайте посмотрим, можно ли так сделать в данном случае. Вспомним из курса физики, что такое Vср.
- Vср = 
, где S – весь пройденный путь, а t –
время движения.
Если путь из пункта А в пункт В принять
за 1, то весь пройденный путь S будет равен 2. Время
движения из пункта А в пункт В есть t1 =
, из пункта В в
пункт А – t2 = 
. Значит, время нахождения в пути t = t1 +
t2, т.е.
t = + = 
. Тогда Vср = 
= 
. Найдём значение
полученного выражения Vср.
Vср = 
км/ч = 72 км/ч.
Итак, истинное значение Vср = 72 км/ч.
Величина h = 
– среднее гармоническое.
Итак, среднее гармоническое двух положительных чисел а и в равно отношению удвоенного произведения этих чисел к их сумме
–
другая запись величины (связь со средним
арифметическим). Попробуйте сформулировать
определение в таком виде.
- Величина, обратная среднему гармоническому а и в, есть среднее арифметическое величин, обратных а и в.
III этап
Мы с вами в школьном курсе математики уже знакомы с геометрической интерпретацией неравенства о среднем арифметическом и среднем геометрическом двух чисел. Среднее гармоническое тоже имеет красивый геометрический образ. Но давайте вспомним хотя бы о геометрической интерпретации среднего арифметического.
Пусть дана трапеция ABCD с основаниями AD и BC, причём BC< AD, MN – отрезок, соединяющий середины боковых сторон, диагонали AC и BD пересекаются в точке О, через которую параллельно основаниям проведён отрезок PT.
Как называются отрезки MN и PT в трапеции, и какая связь между ними и основаниями?
- Так как MN – средняя линия трапеции, то
MN = 
.
Так как PT – среднее гармоническое, то
PT = .
Докажем, что PT – среднее гармоническое оснований.
значит, 
и 
.
Сложим почленно полученные равенства
, т.е. 
. Таким образом, РО
= 
.
Из подобия треугольников АСD и ODT, треугольников
BDC и ODT аналогично получаем, что ОТ = . Следовательно, РТ = РО + ОТ = + = 2 • = 
,
т.е. РТ – среднее гармоническое оснований
трапеции.
Итак, среднее гармоническое двух положительных чисел в геометрической интерпретации – это…
-отрезок, проходящий через точку пересечения диагоналей трапеции, параллельный основаниям.
Сравним эти два отрезка MN и РТ. Это, значит,
сравним их длины, т.е. величины и . Каким образом это можно сделать?
- чтобы сравнить две величины, составим их разность и сравним с 0.
– = 
= 
= 
= 
>0. Следовательно, >. Возможно равенство при а = в. Значит, >=.
Итак, РТ >= MN. Какой можно сделать вывод?
- отрезок, являющийся средним гармоническим оснований трапеции, всегда меньше средней линии и расположен ближе к меньшему основанию.
Попробуем расположить средние величины в порядке возрастания. Сравним большую из известных величин и среднее квадратичное.
- V 0?
Т.к. >= 0 и >= 0, то мы можем
сравнить их квадраты.
; 
.
= 
> 0.
Значит, среднее квадратичное самая большая из трёх величин, и ряд выглядит так:
|
|
|
| среднее гармоническое | среднее арифметическое | среднее квадратичное |
Осталась четвёртая величина – 
- среднее геометрическое.
IV этап
Найдите его место в этом ряду. Это и будет ваше задание на дом.
Итак, сегодня на уроке мы расположили в порядке возрастания три величины. На следующем дополним его четвёртой (из вашего домашнего задания) и посвятим занятие решению задач по этой теме. Поставьте себе оценки за сегодняшнее занятие.