Открытый урок по теме "Показательная функция. Функционально-графические методы решений уравнений и неравенств"

Цель: рассмотреть задачи Единого государственного экзамена базового, повышенного и высокого уровня сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а^х, а>1, а0.

Задачи урока:

1. повторить свойство монотонности показательной функции;
2. свойство ограниченности показательной функции;
3. повторить определение абсолютной величины; работа с графиками, содержащими модуль;
4. ввести понятие сложной функции; рассмотреть графики сложной функции и их область значений;

Оборудование: презентация графиков функций, подготовленная с применением графической программы “Advanced Grapher”.

Ход урока:

1. Вступительное слово учителя.

Слайд 0. Показательная функция. “Функционально - графические методы решения уравнений и неравенств”

Функционально - графический метод основан на использовании графических иллюстраций, применении свойств функции и позволяет решать многие задачи математики.

Сегодня мы рассмотрим задачи Единого государственного экзамена базового, повышенного и высокого уровня сложности с применением функционально- графических методов на примере показательной функции у = а^х, а>1, а0. С помощью графической “Advanced Grapher” выполним иллюстрации ко всем задачам.

Слайд 0а. Почему так важно знать свойства показательной функции?.

• По закону показательной функции размножалось бы все живое на Земле, если бы для этого имелись благоприятные условия, т.е. не было естественных врагов и было вдоволь пищи. Доказательство тому – распространение в Австралии кроликов, которых там не было раньше. Достаточно было выпустить пару особей, как через некоторое время их потомство стало национальным бедствием.
• В природе, технике и экономике встречаются многочисленные процессы, в ходе которых значение величины меняется в одно и то же число раз, т.е. по закону показательной функции. Эти процессы называются процессами органического роста или органического затухания.
• Например, рост бактерий в идеальных условиях соответствует процессу органического роста; радиоактивный распад веществ – процессу органического затухания.
• Законам органического роста подчиняется рост вклада в Сберегательном банке, восстановление гемоглобина в крови у донора или раненого, потерявшего много крови.

2. Актуализация знаний учащихся.

Группа А.

На первом этапе урока устно по готовым чертежам повторим свойства показательной функции:

• определение по графику функции соответствующей формулы;
• свойство монотонности показательной функции;
• свойство ограниченности показательной функции;

Слайд 1. Определить вид графика (устная работа 5 минут). На рисунке изображены графики показательных функций. Соотнесите график функции с формулой.

Рисунок1.

Рисунок2.

Рисунок3.

Рисунок4.

Слайд 2. Свойство монотонности показательной функции (устная работа 2 минуты).

Назовите функцию, возрастающую (убывающую) на множестве действительных чисел. Соотнесите график с соответствующей формулой

Рисунок5.

Рисунок6.

При 1<а<0 показательная функция возрастает.
При а>0 показательная функция убывает.

Слайд 3. Свойство ограниченности показательной функции (устная работа 2 минуты).

Укажите множество значений функции.

Рисунок7.

Графические методы дают возможность решать неравенства, содержащие разные функции.

Слайд 4. Решить графически неравенство.

Что можно сказать про графики функций и график функции у=12 - 1,5х?

(График показательной функции лежит выше функции, записанной в правой части уравнения).

>12 - 1,5х

Рисунок8.
Ответ: х>2. О

Рисунок9.
Oтвет: х>0.

2. Показательная функция содержит знак модуля в показателе степени.

Группа В – это комбинированные задачи. Рассмотрим задачи, содержащие абсолютную величину (модуль).

Повторим определение модуля.

(запись на доске)

Слайд 5. Укажите множество значений функции (5 минут).

Сделать записи в тетради:

1).

2).

Графическая иллюстрация представлена на слайде 5. Объяснить, как построены графики.

Рисунок10.
Е(у)=[1;

Рисунок11.
Е(у)=(0;1]

3. Нахождение области значений сложной функции.

Слайд 6.

Достаточно непросто определять область значений сложных функций.

Определим, что такое сложная функция. Если функция f ставит в соответствие числу х число у, а функция g – числу у число z, то говорят что h есть сложная функция, составленная из функции g и f и пишут h=g(f(x)).

При этом D(h) является E(f) или его частью D(h)E(f).

Слайд 7. Используя умение строить график квадратичной функции, определите последовательно координаты вершины параболы, найдите область значений.

 , - вершина параболы.

Рисунок12.

Рисунок13.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = 16^t возрастает, так как 16>1 .

При наименьшем значении показателя функции

.

Е(у)=[2;.

График иллюстрирует наш вывод.

Рисунок14.

Вопрос: определите характер монотонности функции.

Показательная функция у = убывает, так как <1.

При наименьшем значении показателя функции

. Е(у)=(0;].

График иллюстрирует наш вывод.

4. Решение графически систем уравнений, содержащих показательную функцию.

Слайд 8. Найти значение выражения х+ у,если (х;у) является решением системы уравнений.

Решение:

-параллельный перенос на 1 единицу влево.

- параллельный перенос на 2 единицы влево.

х=-1, у=1

х+ у=0.

Рисунок15.
Ответ: 0.

5. Решение уравнений, содержащих параметры.

Наиболее сложные задания содержатся в группе С.

Слайд 9. Найдите все значения р, при которых уравнение

имеет единственный корень.

Решение:

Пусть 3^х=t, t>0.

3t (3t²-6t) + 9t – 5 = p.

Введем функцию f(t) = 9t³ -18t² + 9t – 5.

Исследуем функцию с помощью производной и построим ее график.

f '(x) =27t² – 36t + 9.

Найдем стационарные точки: f '(x)=0.

27t² – 36t + 9 = 0.

3t² – 4t + 1 = 0.

t₁=1, t₂=.

f()=9=-2+3-5=,

f(1)=9-18+9-5= - 5.

График функции f(t) = 9t³ -18t² + 9t – 5 изображен на рисунке. Уравнение имеет 1 корень при р = -5 и р> .

Рисунок16.

Графическая иллюстрация решения выполнена с использованием программы “Advanced Grapher”.

Рисунок17.

Слайд 10.

Домашнее задание:

1).

2).

3).Найдите все значения р, при которых уравнение

имеет ровно два корня.

6. Самостоятельная работа (при наличии времени).

Решить графически неравенство.

1).. Ответ: (-;2].

2). . Ответ: (-1;0)

7. Итоги урока

По мере изучения курса алгебры постоянно возрастает применение функционально-графических методов, что позволяет быстро и красиво решать многие уравнения и неравенства Единого Государственного экзамена.