Статья "Применение рациональных способов решения – условие повышения эффективности урока"

Актуальность рассматриваемой темы очевидна. Реформа школьного образования выдвигает новые формы проверки знаний. Сдача выпускных экзаменов в форме ЕГЭ, проведение централизованного тестирования в 11-х классах, аттестационного тестирования в 9-х классах требуют серьезного отношения к работе с тестами. Назрела необходимость интенсивного выполнения работы.

В “Словаре русского языка” Ожегов дает определение понятию “Рациональный” как разумно обоснованный, целесообразный. В большом энциклопедическом словаре находим: “Эффективный – дающий эффект, действенный”. Логично предположить, что разумно обоснованные методы более действенны.

Приведём примеры наиболее часто встречающихся случаев применения таких способов решения.

1. Решить уравнение:

а) x- 166x +16 5 = 0
1 способ:	2 способ:
x- 166x + 165 = 0;	x- 166x + 165 = 0;
D=b- 4ac;	a + b + c = 0;
D=(- 166) - 4165 =	x=1;
=27556-660=25689;	x x =165;
x=;	x=165;
x==1;	Ответ: 1; 165.
X==165;
Ответ: 1; 165.
б) 2 x- 12x – 6,5 = 0
1 способ:	2 способ:
2 x- 12x – 6,5 = 0;	2 x- 12x – 6,5 = 0;
D=(- 12) + 4=	D= (- 6) + 13 = 49;
=144+52=196;	x==- 0,5;
x==- 0,5;	x==6,5;
x==6,5;	Ответ: -0,5; 6,5.
Ответ: -0,5; 6,5.

Вывод: при решении квадратного уравнения ax+bx + c = 0 необходимо помнить, что

если a + b + c = 0, то x=1;

если a + c = b, то x=-1;

x + x = -; x x = ;

D= (-)- ac; x=;

2а. При a<b каждое из неравенств (x-a)(x-b)>0, >0, >0 равносильно совокупности неравенств

Пример: Решить неравенство > 0 .

1 способ:

Рассмотрим функцию y = .

Д(y) = (-;-5)(-5;+)

Нули функции: x=6

Точка 6 разбивает область определения функции на промежутки, в каждом из которых функция непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет постоянный знак.

у>0, если х (- ; -5)(6;+ )

Ответ(-;-5)(6;+ )

2 способ:

Ответ(-?;-5)(6;+ ?).

2б. При a<b каждое из неравенств (x-a)(x-b)<0, <0, <0 равносильно двойному неравенству а<x<b.

Легко найти решение неравенства: < 0.

3. Неравенство x<a равносильно неравенству ¦x¦<a (a>0), а неравенство x>a равносильно неравенству ¦x¦>a (a>0).

Неравенство ¦x¦>a (a>0) равносильно совокупности неравенств а неравенство ¦x¦<a (a>0) равносильно двойному неравенству –a<x<a.

Пример: Решить неравенство ¦2x-4¦2.

1 способ:

1		2

Решением неравенства является промежуток [1; 3].

Ответ: [1; 3].

2 способ:

-2<2x-4<2;

2<2x<6;

1<x<3.

Ответ: [1; 3].

4. При решении неравенств второй степени используем теоремы:

а) Значение квадратного трёхчлена ах+вх +с с положительным дискриминантом при любом х вне интервала между корнями трёхчлена имеет знак, совпадающий со знаком коэффициента а; при любом х внутри интервала между корнями- знак, противоположный а.

б) Значение квадратного трёхчлена ах+вх +с с отрицательным дискриминантом при любом х имеет знак , совпадающий со знаком коэффициента а.

Пример:

1. х-5х+6>0,

х(-; 2) (3;+)

Ответ: (-; 2) (3;+)

5. Построить график функции y = x- 4x + 3;

1способ:	2 способ:
x= - ;	Пересечение с OX: x- 4x + 3=0;
x= ; x= 2;	x=1, x=3;
y= 4 – 8 + 3 = - 1;	x= =2;
B( 2 ; -1);	y=4 – 8 + 3 = -1; B( 2 ; -1);

3 способ:

y = x- 4x + 3;

y = x- 4x + 4 – 4 + 3;

y = (x – 2)- 1;

Параллельный перенос графика функции y = x на 2 единицы вправо и на 1 единицу вниз.

6. Решить уравнение=1

1 способ.
Х- 3х- 3=1 ;	ОДЗ : х- 3х- 3 0;
х- 3х- 4=0
а + с = в, х=-1; х=4;
Проверка: х=-1;	1+3-30
	10 (в); х=-1- корень;
х=4;	16-12-3 0 ;
	1 0 (в); х=4- корень.

Ответ:-1;4.

2способ.

Х- 3х- 3=1;

х- 3х- 4=0

а + с = в, х=-1; х=4;

Проверка:	х=-1;	=1;
	=1;	х=-1- корень;
	х=4;	=1;
	=1;	х=4- корень.

Ответ:-1;4.

3 способ.

Х- 3х- 3=1 ;

х- 3х- 4=0;

х=-1; х=4.

Ответ:-1;4.

Очевидно, что посторонних корней мы не получим.

7. Решить неравенство >1.

1 способ:

х-3х-3>1;

х-3х-4>0;

х(-;-1)(4;+).

х-3х-30;

х(-;)(;+).

Найдём решение системы:

>-1, т.к. 3->-2;

->-5;

->-.

<4, т.к. 3+<8;

<5;

<.

Ответ(-;-1)(4;+).

2 способ:

х-3х-3>1;

х-3х-4>0;

(x+1)(x-4)>0;

Ответ(-;-1)(4;+).

Очевидно, что посторонних корней мы не получим.

Конечно, возникает спорный вопрос: надо ли знать рациональные способы решения. Можно выполнить работу традиционными способами, а формулы воспроизвести по справочникам. Но В.Ф.Шаталов писал: “Ученик, который работает со справочником, отличается от ученика, который знает все формулы, так же как отличается начинающий шахматист от гроссмейстера. Он видит только один ход вперёд”.

Задача учителя в том, чтобы чётко ограничить обязательный минимум знаний от второстепенного материала и организовать учащихся на тщательное закрепление именно основных знаний и способов оперирования ими, что лучше делать сразу же при введении нового материала.

Необходимо помнить, что профессиональное мастерство в любой деятельности неразрывно связано с умением организовывать и прогнозировать собственный труд на основе постоянного анализа получаемых при этом качественных результатов, на основе рациональной организации работы ( собственной и объекта труда), глубоко продуманной оценки и коррекции процесса (системы) достижения эффективных показателей.