Актуальность рассматриваемой темы очевидна. Реформа школьного образования выдвигает новые формы проверки знаний. Сдача выпускных экзаменов в форме ЕГЭ, проведение централизованного тестирования в 11-х классах, аттестационного тестирования в 9-х классах требуют серьезного отношения к работе с тестами. Назрела необходимость интенсивного выполнения работы.
В “Словаре русского языка” Ожегов дает определение понятию “Рациональный” как разумно обоснованный, целесообразный. В большом энциклопедическом словаре находим: “Эффективный – дающий эффект, действенный”. Логично предположить, что разумно обоснованные методы более действенны.
Приведём примеры наиболее часто встречающихся случаев применения таких способов решения.
1. Решить уравнение:
а) x![]() |
|
1 способ: | 2 способ: |
x![]() |
x![]() |
D=b![]() |
a + b + c = 0; |
D=(- 166) ![]() ![]() |
x![]() |
=27556-660=25689; | x![]() ![]() ![]() |
x![]() ![]() |
x![]() |
x![]() ![]() |
Ответ: 1; 165. |
X![]() ![]() |
|
Ответ: 1; 165. | |
б) 2 x![]() |
|
1 способ: | 2 способ: |
2 x![]() |
2 x![]() |
D=(- 12) ![]() ![]() |
D![]() ![]() |
=144+52=196; | x![]() ![]() |
x![]() ![]() |
x![]() ![]() |
x![]() ![]() |
Ответ: -0,5; 6,5. |
Ответ: -0,5; 6,5. |
Вывод: при решении квадратного уравнения ax+bx + c = 0 необходимо помнить,
что
если a + b + c = 0, то x=1;
если a + c = b, то x=-1;
x + x
= -
; x
x
=
;
D= (-
)
- ac; x
=
;
2а. При a<b каждое из неравенств (x-a)(x-b)>0, >0,
>0 равносильно
совокупности неравенств
Пример: Решить неравенство > 0 .
1 способ:
Рассмотрим функцию y = .
Д(y) = (-;-5)
(-5;+
)
Нули функции: x=6
Точка 6 разбивает область определения функции на промежутки, в каждом из которых функция непрерывна и не обращается в нуль, т.е. сохраняет постоянный знак.
у>0, если х (-
;
-5)
(6;+
)
Ответ(-;-5)
(6;+
)
2 способ:
Ответ(-?;-5)(6;+ ?).
2б. При a<b каждое из неравенств (x-a)(x-b)<0, <0,
<0 равносильно двойному
неравенству а<x<b.
Легко найти решение неравенства: < 0.
3. Неравенство x<a
равносильно неравенству ¦x¦<a (a>0), а
неравенство x
>a
равносильно
неравенству ¦x¦>a (a>0).
Неравенство ¦x¦>a (a>0) равносильно
совокупности неравенств а неравенство ¦x¦<a (a>0)
равносильно двойному неравенству –a<x<a.
Пример: Решить неравенство ¦2x-4¦2.
1 способ:
1![]() |
![]() |
2![]() ![]() |
![]() |
![]() |
Решением неравенства является промежуток [1; 3].
Ответ: [1; 3].
2 способ:
-2<2x-4<2;
2<2x<6;
1<x<3.
Ответ: [1; 3].
4. При решении неравенств второй степени используем теоремы:
а) Значение квадратного трёхчлена ах+вх +с с положительным
дискриминантом при любом х вне интервала между
корнями трёхчлена имеет знак, совпадающий со
знаком коэффициента а; при любом х внутри
интервала между корнями- знак, противоположный а.
б) Значение квадратного трёхчлена ах+вх +с с отрицательным
дискриминантом при любом х имеет знак ,
совпадающий со знаком коэффициента а.
Пример:
1. х-5х+6>0,
х(-
; 2)
(3;+
)
Ответ: (-; 2)
(3;+
)
5. Построить график функции y = x- 4x + 3;
1способ: | 2 способ: |
x![]() ![]() |
Пересечение с OX: x![]() |
x![]() ![]() ![]() |
x![]() ![]() |
y![]() |
x![]() ![]() |
B( 2 ; -1); | y![]() B( 2 ; -1); |
Дополнительные точки:
|
Дополнительные точки: Если x = 0, то y = 3 |
3 способ:
y = x- 4x + 3;
y = x- 4x + 4 – 4 +
3;
y = (x – 2)- 1;
Параллельный перенос графика функции y = x на 2 единицы
вправо и на 1 единицу вниз.
6. Решить уравнение=1
1 способ. | |
Х![]() |
ОДЗ : х![]() ![]() |
х![]() |
|
а + с = в, х![]() ![]() |
|
Проверка: х![]() |
1+3-3![]() |
1![]() ![]() |
|
х![]() |
16-12-3 ![]() |
1 ![]() ![]() |
|
Ответ:-1;4.
2способ.
Х- 3х- 3=1;
х- 3х- 4=0
а + с = в, х=-1; х
=4;
Проверка: | х![]() |
![]() |
![]() |
х![]() |
|
х![]() |
![]() |
|
![]() |
х![]() |
Ответ:-1;4.
3 способ.
Х- 3х- 3=1 ;
х- 3х- 4=0;
х=-1; х
=4.
Ответ:-1;4.
Очевидно, что посторонних корней мы не получим.
7. Решить неравенство >1.
1 способ:
х-3х-3>1;
х-3х-4>0;
х(-
;-1)
(4;+
).
х-3х-3
0;
х(-
;
)
(
;+
).
Найдём решение системы:
>-1, т.к. 3-
>-2;
->-5;
->-
.
<4, т.к. 3+
<8;
<5;
<
.
Ответ(-;-1)
(4;+
).
2 способ:
х-3х-3>1;
х-3х-4>0;
(x+1)(x-4)>0;
Ответ(-;-1)
(4;+
).
Очевидно, что посторонних корней мы не получим.
Конечно, возникает спорный вопрос: надо ли знать рациональные способы решения. Можно выполнить работу традиционными способами, а формулы воспроизвести по справочникам. Но В.Ф.Шаталов писал: “Ученик, который работает со справочником, отличается от ученика, который знает все формулы, так же как отличается начинающий шахматист от гроссмейстера. Он видит только один ход вперёд”.
Задача учителя в том, чтобы чётко ограничить обязательный минимум знаний от второстепенного материала и организовать учащихся на тщательное закрепление именно основных знаний и способов оперирования ими, что лучше делать сразу же при введении нового материала.
Необходимо помнить, что профессиональное мастерство в любой деятельности неразрывно связано с умением организовывать и прогнозировать собственный труд на основе постоянного анализа получаемых при этом качественных результатов, на основе рациональной организации работы ( собственной и объекта труда), глубоко продуманной оценки и коррекции процесса (системы) достижения эффективных показателей.