Цель: Дать понятие, определение последовательности, конечной, бесконечной, различные способы задания последовательностей, их различие, научить применять при решении примеров.
Оборудование: Таблицы.
Ход занятия
I. Организационный момент.
II. Фронтальная проверка домашнего задания:
1) ученик на доске задачу № 2.636 (из II части “Сборника заданий для письменного экзамена в 9 кл.)
2) ученик. Построить график
3) фронтально со всем классом № 2.334 (а).
III. Объяснение нового материала.
Содержание лекции.
Школьная лекция – это такая форма организации учебного процесса, которая ориентирует учащихся при изучении той или иной темы на главное и предполагает широкую демонстрацию личностного отношения учителя и учащихся к учебному материалу. Т.к. урок-лекция предусматривает крупноблочное изложение учителем материала, то речевое общение учителя и учащихся является главным в ее технологии. Слово учителя оказывает эмоциональное, эстетическое воздействие и создает определенное отношение к предмету. С помощью лекции осуществляется руководство различными видами деятельности учащихся на занятии, а через знания, умения и навыки формируется познание как основа учебной деятельности.
I. Выпишите в порядке возрастания двузначные числа, оканчивающиеся цифрой 3.
13; 23; 33;………….93.
Каждому порядковому номеру от 1 до 9 поставьте в соответствие определенное двузначное число:
1—>13; 2—>23;………9—>93.
Между множеством первых девяти натуральных чисел и множеством двузначных чисел, оканчивающихся цифрой 3, установилось соответствие. Это соответствие является функцией.
Областью определения служит {1; 2; 3;……..9}
Множество значений {13; 23; 33;…….93}.
Если соответствие обозначить f, то
| f (1)=13; | f (2)=23; | f (9)=93. |
Функция, область определения которой – множество натуральных чисел или множество первых n натуральных чисел, называется последовательностью.
Конечная последовательность – это функция, заданная на множестве первых n натуральных чисел.
| а) 3; 5; 7; 9 | о.о.ф. {1;2;3;4} |
| м.з.ф. {3;5;7;9}. |
Эту последовательность можно задать с помощью пар.
(1;3) (2;5) (3;7) (4;9)
б) 1; 0; 1; 0; 1; 0
Таблица № 1
а)
б)
II. 
О.о.ф. {1; 2; 3; 4;…..}
М.з.ф.  g(1) =  ;
|
g(3) = ;
… |
g(60) =  |
Функция, заданная на множестве натуральных чисел, называется бесконечной последовательностью.
в) 2; 4; 6; 8; 10;……..
1 —> 2; 2 —> 4; ……. n —> 2n
f(1); f(2); f(3)… …..f(n)
- члены
последовательности.
Замечание: следует различать понятие множества и понятие последовательности.
а) {10; 20; 30; 40}
- одно и то же множество.
{40; 30; 20; 10}
б) однако, последовательности 10; 20; 30; 40
- различны:
40; 30; 20; 10
(1; 10) (2;20) (3;30) (4;40)
(1; 40) (2;30) (3;20) (4;10).
III. Рассмотрим последовательность:
1) 3; 5; 7; 9; 11;……. —> бесконечная, возрастающая
2) 10; 9; 8; 7; 6. —> конечная, убывающая.
а) 
; 
Последовательность называется возрастающей, если каждый член ее, начиная со второго, больше своего предыдущего.
б) 
; 
Дается определение убывающей последовательности.
Возрастающие или убывающие последовательности называются монотонными.
1; 0; 1; 0; 1; 0. - колеблющаяся;
5; 5; 5; 5; ….. - постоянная.
IV. Последовательности можно изобразить геометрически. Т.к. последовательности – это функция, областью определения которой служит множество N, то графиком, видимо, является множество точек плоскости (х; у).
Пример: -3; -2; -1; 0; 1; 2; 3.
(1; -3) (2;-2) (3; -1) (4; 0) (5;1) (6;2) (7;3)
Построим график этой последовательности
Рисунок 1.
Пример: Докажите, что последовательность, заданная в таком виде
99; 74; 49; 24; -1;……………
является убывающей.
V. Способы задания последовательностей.
Т.к. последовательность – это функция, определенная на множестве N, то существует пять способов задания последовательностей:
I. Табличный
II. Способ описания
III. Аналитический
IV. Графический
V. Рекуррентный
I. Табличный – очень неудобный. Составляем таблицу и по ней определяем, какой член? какое место он занимает……..
 |
1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 | 11 | 12 | 13 |
 |
1 | 4 | 9 | 16 | 25 | 36 | 49 | 64 | 81 | 100 | 121 | 144 | 169 |
II. Способ описания.
Пример: Последовательность такова, что каждый ее член записывается с помощью цифры 4, и число цифр равно номеру числа последовательности.
; 
; 
.
III. Аналитический способ ( с помощью формулы).
пример: 
Формула, выражающая каждый член последовательности через его номер n, называется формулой n члена последовательности.
например:
2) 
и ученики составляют эти последовательности, и наоборот: подберите формулу для членов последовательностей:
а) 1; ;
 ;………….. |
 |
б)  ...
|
 |
в)  |
 |
г)  |
 |
| д) 1;-2;3;-4;5;-6;…………. |  |
IV. Графический способ – тоже не очень удобный, обычно им и не пользуются.
Ученики должны четко знать, что соединять точки графика нельзя!
5; 4; 3; 2; 1; 0.
Рисунок 2.
V. Рекуррентный способ.
Пример: В последовательности каждый член, начиная со второго, равен квадрату предшествующего.
Можно составить сколько угодно таких последовательностей:
а) 2;4;16;256;………..
б) 1;1;1;1;…………..
в) 
Здесь мы не знаем 
, поэтому достаточно указать первый
член.
Например:
Рассмотрим последовательность:
, а каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предшествующих членов.
Формулу, выражающую любой член последовательности, начиная с некоторого, через предшествующие члены, называют рекуррентной.
Итак, еще раз обратить внимание учеников на то, что если последовательность задана рекуррентным способом, то:
1) обязательно известен первый член последовательности;
2) дана формула, позволяющая определить любой член последовательности по известным предшествующим членам.
Пример:
1) 
, а каждый
член, начиная со второго, равен произведению
своего номера и предыдущего числа.
(Факториал).
2)
Напишите первые шесть членов последовательности.
Итог урока:
На дом: из учебника Галицкого М.Л., Гольдмана А.М., Звавича Л.И. “Сборник задач по алгебре 8-9 кл.”
Стр.163 №№ 12.1 (г, д, е, ж), 12.2 (г, д, е), 12.4 (з, и, л), 12.5 (б,г).
Из сборника заданий 9 кл. (экзаменационный материал) № 2.641 (а).
Примечание: Начиная следующее занятие, можно ученикам дать понятие последовательности, ограниченной снизу, сверху, и решать задачи.