"Иррациональные уравнения" (разноуровневый урок обобщающего повторения)

ЦЕЛИ:

• дидактическая: обобщить, систематизировать знания и умения учащихся по теме;
• развивающая: вариативность, дифференциация в обучении на фоне открытости методической работы;
• воспитательная: нравственное воспитание, развитие коммуникативных умений, культуры и дисциплины умственного труда.

ЗАДАЧИ:

• увеличить долю информации;
• повысить интерес к предмету;
• расширить математический кругозор;
• оживить, сделать интересным преподавание “сухой” математики.

ОБОРУДОВАНИЕ:

• тетради для самостоятельных работ;
• тесты;
• конспекты – ориентировочные карты;
• компьютер, мультимедийная система.

(Презентация 1)

Эпиграф:

Мне приходится делить свое время между политикой и уравнениями. Однако уравнения, по-моему, гораздо важнее, потому, что политика существует только для данного момента, а уравнения будут существовать вечно.

Эйнштейн А.

Учащиеся класса распределены по 3 группам (согласно уровню подготовки), соответственно рассажены по рядам.

Ход урока

1. Организационный момент.

2. Введение в тему, формирование целей.

3. Анализ домашнего задания.

3.1. Фронтальный опрос по теории (см. приложение1 - конспекты-ориентировочные карты на столе у каждого ученика).

1) Какое уравнение называется иррациональным? К какому оно сводится в результате решения? Выберите иррациональные уравнения:

а)

2) Что надо контролировать при выполнении каждого преобразования? Почему?

3) Какими типами преобразований пользуются при решении иррациональных уравнений? Приведите примеры.

4) Расскажите о равносильных преобразованиях.

5) Расскажите о преобразованиях – следствиях.

6) Что такое ОДЗ переменной уравнения? Когда его удобно использовать?

7) Всегда ли обязательно находить ОДЗ переменной уравнения. Когда это удобно?

8) Какое уравнение называется следствием другого?

9) Какие преобразования приводят к уравнению – следствию?

10) Какие уравнения называются равносильными на множестве? Приведите примеры.

11) Какие утверждения о равносильности на множестве вы знаете?

12) Что может произойти, если обе участи уравнения умножить на какое-то выражение? Что необходимо выполнять?

13) Как операция взятие функции от обеих частей уравнения влияет на множество корней уравнения?

14) Какими свойствами должна обладать функция при взятии ее от обеих частей уравнения, чтобы переход к следующему уравнению был равносильным?

15) Почему при взятии от обеих частей уравнения немонотонной функции могут появиться посторонние корни? Приведите пример.

16) Почему операция возведения в нечетную степень, обеих частей уравнения считается безопасной?

17) Почему взятие немонотонной функции от обеих частей уравнения может привести к потере корней? Приведите пример.

18) Когда корни уравнения можно потерять?

Назовите такие преобразования.(презентация 4).

19) Что произойдет с ОДЗ переменной уравнения, если в нем заменить

3.2 Анализ практической части домашнего задания (вспоминаем с учащимся основные методы решения уравнения) и записываем в тетрадь;

а) решение иррациональных уравнений возведением в степень обеих частей уравнения;
б) замена переменной.

На доске записаны задания домашней работы. Учащимся предлагается коротко прокомментировать ход решения.

Решите уравнение:

4)Найдите среднее арифметическое корней уравнения:

5) Какому промежутку принадлежит корень уравнения

?

6) Решите уравнение:

б)

7) Укажите количество корней уравнения:

4. Устный счет (презентация 2)

Решить уравнение

1 уровень	2,3 уровень

Найди ошибку (1-3)

3.

5. Работа с разноуровневыми группами:

1-й и 2-й уровень - стартовая тестовая работа (приложение 2)

По окончании работы учащиеся меняются в парах за партами тестами, проверяют тест, выставляют оценку друг другу по нормам: за каждое верно выполненное задание – 1 балл.

4 балла – “5”, 3 балла – “4, 2 балла – “3.Менее 2 б. – “2”

Таблица правильных ответов (Презентация 3)

Во время работы учащихся 1^го, 2^го уровня с тестами уч-ся 3^го уровня обобщают с учителем некоторые нестандартные методы решения иррациональных уравнений на примерах.

Учитель: Для решения большинства уравнений и неравенств, встречающихся на экзаменах, достаточно владеть школьным курсом математики, но при этом необходимо уметь их решать не только с помощью стандартных примеров, предназначенных для вполне определенных типов уравнений. Суть этих методов – реализовать иной взгляд на задачу, чтобы существенно упростить ее решение, не выходя за рамки школьной программы.

1) Использование свойств функции.

А) Решить уравнение:

Заметим, что x ? 0, , следовательно, и .

Поэтому равенство невозможно.

Ответ: решений нет.

Б) (Свойство ограниченности).

Теорема. Если , то

Метод оценок:

а)

Решение:

Рассмотрим функции f(x)=cos?х и g(x)= 1+Vх-2, сравним их области значений: -1 < f(x)<1. Т.к. х-2>0, то 1+х-2>1, т.е. g(x)>1, значит, f(x)= g(x)=1, тогда х=2.

Ответ: 2.

б)

Решение:

f(x)=Vх²-9, g(x)=sin?х/2-1.

Е( f(x))=[0;+?]

Е( g(x) )=[ -2;0]

f(x)= g(x)=0 при х= -3(при х=3 sin?х/2-1= -2).

в) Решить уравнение:

т.к. и , то уравнение равносильно системе

Ответ: -1

в) Свойство монотонности:

Теорема 1.Пусть - функция возрастающая (убывающая) на некотором промежутке, тогда уравнение имеет на промежутке не более одного корня.

Теорема 2. Пусть у = f(x) – возрастающая на некотором промежутке функция, y = g(x) – убывающая на нем. Тогда уравнение f(x) = g(x) имеет на этом промежутке не более одного корня.

Решить уравнение:

f(x) = - сумма двух возрастающих функций, значит возрастающая, следовательно уравнение если имеет корень, то единственный, подбором находим: x = 1

а) log3 (x + 2) =	(ответ: 1)
б) 2x +1 =	(ответ: 1)
в) = 2	(ответ: 4)
г) =	(ответ: 1)
г) Иногда нахождение ОДЗ переменной уравнения сразу облегчит решение:
a)	(ответ: 2)
б)	(ответ: 1)

6. Подведение итогов урока. Если позволяет время, предлагаем учащимся “кроссворд к уроку” (приложение 3), затем - комментарии к домашнему заданию (приложение 4).