Урок алгебры в 8-м классе по теме "Квадратные уравнения"

Организационный момент.

- Здравствуйте, садитесь!

- Тема нашего урока “Решение квадратных уравнений”. На этом занятии повторяем знания по теме. Каждый ученик должен уметь верно и рационально решать квадратные уравнения. Эта тема является существенной в изучении следующей темы и более сложного материала математики средней школы, включая 11 класс.

Вопросы для опроса учащихся.

1. Какие уравнения называются квадратными?

Квадратным уравнением называется уравнение ах² + вх + с = о, а 0, где а, в, с – числа, х – неизвестное.

2. Какое квадратное уравнение называется неполным?

Квадратное уравнение ах² + вх + с = о называется неполным, если хотя бы один из коэффициентов в или с равен нулю.

ах² = о,

ах² + с = о, с 0,

ах² + вх = о, в 0.

3. Какое выражение называется дискриминантом?

D = в² – 4 ас

4. Как по дискриминанту определить, сколько корней имеет квадратное уравнение?

D > 0 - 2 корня,

D = 0 – 1 корень,

D < 0 – нет корней

5. Напишите формулу для нахождения корней.

D > 0,

D = 0,

6. Какое уравнение называется приведенным?

Квадратное уравнение вида x² + px + q = 0 называется приведенным.

7. Как читается теорема Виета?

Если х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения x² + px + q = 0, то справедливы формулы

х₁ + х₂ = - р

х₁ · х₂ = q

(сумма корней равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, произведение корней равно свободному коэффициенту).

8. Сформулируйте теорему, позволяющую разложить квадратный трехчлен на множители.

Если х₁ и х₂ – корни квадратного уравнения ах² + вх + с = о, то при всех х справедливо равенство: ах² + вх + с = а (х – х₁) (х – х₂).

9. Какие уравнения называются биквадратными?

ах⁴ + вх² + с = о, а 0.

Работа с карточками для устного опроса.

II.

Задача №487. (Учебник Алгебра-7. Ш.А. Алимов, стр. 135)

Члены школьного кружка натуралистов отправились на катере для сбора лекарственных трав. Проплыв вниз по течению реки 35 км, они сделали трехчасовую стоянку, после чего вернулись назад. Определить скорость катера в стоячей воде, если на все путешествие ушло 7 часов, а скорость течения реки 3 км/ч.

Травы собирались летом, чтобы зимой и весной заваривать и пить витаминный чай, как общеукрепляющее средство при дефиците витаминов.

Листья смородины, малины, земляники, душица обыкновенная, сушеные плоды этих растений используют в качестве профилактического средства.

Итак, перейдем к решению задачи.

1. Какой процесс рассматривается в задаче?

движение

2. Какие величины необходимы для описания процесса?

Скорость движения, время, расстояние.

3. Как связаны эти величины?

S = V · t

4. Какой способ наглядного представления условия задачи мы выберем?

Табличный.

Пусть х км/ч – скорость катера в стоячей воде.

Составляем уравнение:

Общий знаменатель: (х + 3) (х – 3)

35 (х – 3) + 35 (х + 3) – 4(х² – 9) = 0,

35х – 105 + 35х + 105 – 4х² + 36 = 0

- 4х² + 70х + 36 = 0 | : (-1)

4х² - 70х - 36 = 0

2х² – 35х – 18 = 0

D = в²– 4 ас = (-35)² – 4 · 2 · (-18) = 1225 + 144 = 1369.

х₁ = = 18

х₂ = = - 1/2 - не удовлетворяет условию задачи, скорость не может быть отрицательной

Значит, скорость катера в стоячей воде 18 км/ч.

Ответ:18 км/ч.

Физминутка.

1. Закройте глаза и сделайте вдох и выдох. Представьте, что при вдохе в ваши глаза вливается тепло и любовь, а при выдохе вас покидают силы. Вы должны получить ощущение, будто в ваши глаза устремляется поток энергии, а затем он снова отступает. В результате при вдохе глаза слегка сдвигаются вовнутрь, наступает расслабление, а при выдохе снова чуть-чуть выдвигаются вперед. Такое движение улучшает коммуникацию между глазами и мозгом.

2. Ладонями похлопайте себя по голове – чувствительно, но не слишком сильно. При этом дышите глубоко и шумно через рот. Мы с вами активируем кровообращение в голове, тем самым несколько смягчаем посадку в глазницах.

И сейчас мы примем несколько глотков травяного чая, настоянного из листьев смородины, малины, земляники, душицы обыкновенной. Чай – источник биологически активных веществ, укрепляющих и обезвреживающих организм человека. Он приятен, но и полезен, так как лист черной смородины – первейший источник витамина С, лист малины – от простуды, душица обыкновенная – успокаивающее средство.

В народной медицине лечебные свойства этих растений известны со времен Аристотеля и Диоскорида (16 век до н.э.). Но опустимся в наше время и продолжим урок. Этот чай нам приготовила Долматова Нина Ивановна.

Работа в группах.

1 группа: Решите квадратное уравнение

3х² + 11х + 6 = 0.

D = в² – 4 ас = 121 – 4 · 3 · 6 = 121 – 72 = 49

х = ,

х₁ =

х₂ =

Ответ: х₁ = - 3, х₂ =

2 группа: Решите приведенное квадратное уравнение, используя т. Виета

х² - 6х + 8 = 0

х₁ + х₂ = 6

х₁ · х₂ = 8,

х₁ = 2, х₂ = 4.

Ответ: х₁ = 2, х₂ = 4.

3 группа: Разложите на множители трехчлен: 2а² – 5а + 2

2а² – 5а + 2 = 0

D = 25 – 4 · 2 · 2 = 9

а = а₁ = 2, а₂ = 1/2

2а² – 5а + 2 = 2 (х – 2) (х – 1/2) = (х – 2) (2х – 1)

4 группа: Составьте уравнение, если заданы корни: 4 и – 7,

x²+ px + q = 0.

x₁ + x₂ = - p 4 + (-7), p = 3;

x₁ · x₂ = q 4 · (-7), q = - 28.

Ответ: х² + 3х – 28 = 0

5 группа: Решите уравнение:

х⁴ – 13х² + 36 = 0.

Пусть х² = t,

t²– 13t + 36 = 0

D = 169 – 4 · 36 = 169 – 144 = 25,

t = t₁ = 9, t₂ = 4,

х² = 9, х² = 4,

Ответ: х_{1, 2} = ± 3, х_{3, 4} = ± 2.

Итог урока.

Ребята, посмотрите что мы с вами сотворили за 40 минут урока. Мы создали памятку по теме “Квадратные уравнения” и подкрепили каждое правило практическим материалом, который вы наработали в группах. Вам нравится?

Дома: Решить любые 6 уравнений.

Спасибо всем за урок.