Тема: «Элементы комбинаторики» в 5
классе.
Тип урока: урок обобщения и
систематизации знаний;
Цели урока:
- обобщить, систематизировать и закрепить знания учащихся по отдельным темам комбинаторики;
- тренировать способности практического использования формул при решении комбинаторных задач;
- развивать внимание, исследовательские умения, речь.
ХОД УРОКА
I. Разминка (устный счет). Игра «Муха»
На доске:
| 1 | 2 | 3 |
| 4 | 5 | 6 |
| 7 | 8 | 9 |
Учитель комментирует: Муха сидит на крайней левой клетке, она прыгнула на одну клетку вправо, на две клетки вниз и т.д. Задача учащихся – сложить числа тех квадратов, на которые «прыгает» муха. Например, 1 + 2 + 8 = 11. Данное упражнение в игровой форме способствует развитию внимания, готовит учащихся к активной познавательной деятельности на уроке. У игры могут быть варианты: учитель может задать другие действия для работы с клетками (вычитание, умножение и т.д.), в клетках могут находиться десятичные дроби, отрицательные числа и т.д.
II. Проверка домашнего задания
Основной педагогический акцент на уроке делается на проговаривание и обязательное устное пояснение решения задачи.
а) Задача. Можно ли рассадить 101 кролика в 100 клеток, что можно было бы утверждать, если бы было 35 клеток и 743 кролика.
Решение:
Если 101 кролика рассадить 100 клеток, то по
крайней мере в одной клетке будет 2 кролика.
Понятно, почему: в худшем случае, если бы в каждой
клетке сидело не больше одного кролика, в 100
клетках их было бы не больше 100.
А если было бы 35 клеток и 743 кролика, то что можно
было утверждать? 743 : 35 = 21 (ост. 8). Значит, в худшем
случае, если бы в каждой клетке сидело по 21
кролику, и еще 8 кроликов резвилось бы на свободе.
Следовательно, если рассадить в клетки всех
кроликов, то по крайней мере в одной клетке будет
сидеть не меньше 22 кроликов.
б) Задача. В клетки таблицы по некоторому правилу записали не сколько чисел. Определить, что это за правило и заполнить 2 последние клетки таблицы.
| 2 | 7 | 4 | 9 | 6 | 11 | 8 | ? | ? |
Ответ: 13, 10.
в) Задача. Требуется определить арифметическое действие, с помощью которого с двух крайних чисел получено среднее, вместо знака «?» вставить пропущенное число.
а) 42 (47)
5
б) 36 (25)
11 в)
6 (66)
11
г) 48 (4) 12
31 (?)
8
48 (?)
12
5 (?)
12
100 (?) 5
Ответ: а) сложение, 39; б) вычитание, 36; в) умножение, 60; г) деление, 20.
г) Задача. Требуется найти пропущенные числа:
? 26 52
11 ? 44
Ответ:
13 26 52
11 22 44
В каждой строчке последующее число в два раза больше предыдущего.
III. Актуализация знаний
1. Доклад по теме «Основной принцип комбинаторики»
Комбинаторика – один из разделов математики,
который приобрел важное значение в связи с
использованием его в теории вероятностей,
математической логике, теории чисел,
вычислительной техники, кибернетике.
При изучении комбинаторики целесообразно
систематически использовать понятия множества и
операции над множествами.
Человеку часто приходится иметь дело с задачами,
в которых нужно посчитать число всех возможных
способов расположения некоторых предметов или
число всех возможных способов осуществления
некоторого действия. Сколькими способами можно
расположить 50 человек в очереди в кассу кино?
Сколькими способами могут быть распределены
золотая, серебряная и бронзовые медали на
чемпионате мира по футболу? Задачи такого типа
называются комбинаторными.
С комбинаторными вычислениями приходится иметь
дело представителям многих специальностей:
ученому-химику при рассмотрении различных
возможных типов связи атомов в молекулах,
биологу при изучении различных возможных
последовательностей чередования аминокислот в
белковых соединениях, конструктору
вычислительных машин, агроному,
рассматривающему различные возможные способы
посевов на нескольких участках, диспетчеру при
составлении графика движения. Комбинаторные
соображения лежат в основе решения многих задач
важного раздела современной математики,
посвященного изучению случайных явлений.
Усиленный интерес к комбинаторике в последнее
время обусловлен развитием кибернетики,
вычислительной техники.
2. Сообщение содокладчика по теме «Основное правило комбинаторики»
Если некоторый выбор А можно осуществить Х различными способами, а для каждого из этих способов некоторый другой выбор В можно осуществить У способами, то выбор А и В (в указанном порядке) можно осуществить Х * У способами.
Задача: Из Киева до Чернигова
можно добраться пароходом, поездом, автобусом,
самолетом; из Чернигова до Новгорода-Северского
– пароходом и автобусом. Сколькими способами
можно осуществить путешествие по маршруту Киев
– Чернигов – Новгород-Северский?
Если некоторые действия, (например, выбор пути от
Киева до Чернигова) можно осуществить четырьмя
различными способами, после чего другое действие
(выбор пути от Чернигова до Новгорода-Северского)
можно осуществить двумя способами, то два
действия вместе (выбор пути от Киева до
Чернигова, выбор пути от Чернигова до
Новгрода-Северского) можно осуществить 4 * 2
способами.
3. Сообщение содокладчика по теме «Основное правило комбинаторики (правило умножения) в общем виде»
Пусть требуется выполнить одно за другим х действий. Если первое действие можно выполнить n1 способами, второе действие – n2 способами, а третье действие n3 способами и так до х-го действия, которое можно выполнить nх способами, то все х действий вместе могут быть выполнены n1 . n2 . n3 . … . nх способами.
Задача. Сколько четырехзначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4, 5 если ни одна из цифр не повторяется более одного раза?
Решение. Первой цифрой числа может быть одна из 5 цифр 1, 2, 3, 4, 5 (0 не может быть первой цифрой потому, что в таком случае число не четырех значное); если первая цифра выбрана, то вторая может быть выбрана 5 способами, третья – 4 способами, четвертая – 3 способами. Согласно правилу умножения общее число способов равно 5 . 5 . 4 . 3 = 300.
4. Сообщение содокладчика по теме «Множества и операции над ними»
Количество элементов произвольного рода образует множество. Примеры множества:
А – все натуральные числа;
В – все четные числа;
С – все нечетные числа.
Все числа множества В находятся в множестве А и все числа множества С находятся в множестве А, тогда множества В и С называют подмножествами множества А. Говорят, А содержит В и С или В и С принадлежат множеству А и обозначаются В ‹ А, С ‹ А.
Определение: Произведение чисел от 1 до п, включая п называют «эн факториал» и обозначают п!.
О! = 1
Примеры:
- 5! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5
- 7! = 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7
Определение: Число всех а элементных подмножеств множества из п элементов равно n : а! (n – a)! (а меньше п) это число сочетаний из п элементов по а и оно равно
Саn = п! : [(п – а)! а!]
Задача. Сколькими способами читатель может выбрать три книги из пяти?
Решение: число сочетаний из 5 книг по 3 равно
С35 = 5! : [3! (5 – 3)!] = 5! : (3! 2!) = (1 . 2 . 3 . 4 . 5) : (1 . 2 . 3 . 1 . 2) = 10
IV. Решение задач (см. Приложение)
V. Самостоятельная работа
Задания для самостоятельной работы сформулированы по принципу ЕГЭ.
1-й вариант
В розыгрыше первенства страны по футболу принимает участие 16 команд. Сколькими способами могут быть распределены золотая и серебряная медали?
Выберите букву правильного ответа.
А) 256 Б) 31 В) 240 Г) 16
Решение: Золотую медаль может получить одна из 16 команд. После того как определен владелец золотой медали, серебряную медаль может иметь одна из 15 команд. Следовательно, общее число способов, которыми могут быть распределены золотая и серебряная медали, равно 16 . 15 = 240.
Ответ: В
2-й вариант
В классе 25 учащихся, сколькими способами можно выбрать старосту класса и его заместителя?
Выберите букву правильного ответа.
А) 25 Б) 600 В) 49 Г) 625
Решение: Староста класса может быть выбран 1 из 25 человек, значит существует 25 способов выбора старосты и 24 способа выбора его заместителя. Существует 25 . 24 = 600 способов выбора старосты класса и его заместителя. Ответ: Б
VI. Подведение итога урока
VII. Домашнее задание
– Повторить основные понятия комбинаторики и методы решения комбинаторных задач.
Используемая литература:
1. Н.Я. Виленкин, А.Н. Виленкин, П.А. Виленкин.
Комбинаторика. М., 2006.
2. В.Е. Гмурман Теория вероятностей и
математическая статистика. М., 2006.
3. И.И. Ежов, А.В. Скороход, М.И. Ядренко.
Элементы комбинаторики.
М., 1977.
4. Д.Ж. Риордан. Введение в комбинаторный
анализ. М., 1963.