Цели урока:
- обобщить теоретические знания по теме: «Производная. Геометрический и физический смысл производной»;
- рассмотреть решение задач, связанных с этой темой, базового и повышенного уровней сложности;
- организовать работу учащихся по указанной теме на уровне соответствующем уровню уже сформированных у них знаний.
Урок разработан для учащихся 11 класса. Тема
урока выбрана на основании анализа результатов
краевых диагностических контрольных работ в
данном классе, которые выявили, что учащиеся
класса ещё не в полной мере усвоили тему:
«Производная. Геометрический и физический смысл
производной».
В классе 28 учащихся. По результатам выявлено, что:
- 8 учащихся класса справляются с заданиями по данной теме на базовом уровне на 100%;
- 12 учащихся справились с заданиями на эту тему на 50–80% (на базавом уровне);
- 8 учащихся справились с заданиями на эту тему менее, чем на 50%.
В соответствии с этим учащиеся класса разделены на три группы. Перед началом урока учащиеся рассаживаются на определенные ряды в соответствии с тремя уровнями подготовки. При этом учащиеся знают, что по мере усвоения материала они могут переходить в следующую по уровню подготовки группу.
ХОД УРОКА
I этап урока – организационный (1 мин.) Учитель сообщает учащимся тему урока, цель и поясняет, что во время урока постепенно будет использоваться тот раздаточный материал, который находится на партах.
II этап урока – повторение теоретического материала по теме «Производная. Физический и геометрический смысл производной». (7 мин.)
Словарная работа.
На доске плакат с математическими терминами: производная, скорость, дифференцирование, предел, касательная, функция, угловой коэффициент.
Учитель: Сейчас мы повторим, как связаны между собой эти понятия. Что называется производной функции?
Определение: Функция y = f(x) определена в некоторой точке х и ее окрестности. Если существует конечный предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда последний стремится к нулю, то этот предел называют производной функции.
Учитель: Назовите правила вычисления производных и формулы производных элементарных функций.
Учащиеся в произвольной последовательности должны перечислить правила и формулы, а учитель заранее подготовить таблицу производных элементарных функций, правила вычисления производных и закрыв каждый в отдельности, открывает названные учащимися.
Таблица производных элементарных функций
Функция у = f(x) |
Производная y'=f'(x) |
|
| 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. |
C (постоянная) xp, p ? R, p=0 ax ex logax ln x sin x cos x tg x ctg x |
0 p xp –1 ax ln a ex 1/x ln a 1/x cos x – sin x 1/cos2x –1/sin2x |
Правила вычисления производных
1. Постоянный множитель можно выносить за знак
производной (cf(x))' = cf' (x)
2. Производная суммы (разности) двух функций (f(x)
+ q(х))' = f' (x) + q' (x)
3. Производная произведения двух функций (f(x) .
q(x))' = f' (x)q(x)+ f (x) . q' (x)
4. Производная частного двух функций
(f(x))' |
= | f'(x) . q(x) –
f(x) . q'(x) |
5. Производная сложной функции (f(q(x)))' = f' (q(x)) . q'(x)
Учитель: В чем состоит геометрический смысл производной?
Учащиеся: Если к графику функции y = f(x) в точке с абсциссой х0 можно провести касательную, не параллельную оси 0у, то значение производной f'(x0) равно угловому коэффициенту касательной y = kx+ b, то есть k = f (x0)
Дополнение. Так как угловой
коэффициент k = tg a, где a – угол
наклона касательной к оси 0х, то есть f(x0)
= tga.
Записать на доске уравнение касательной к
графику функции y = f(x) в точке с абсциссой x0:
y = f (x0) + f(x0)(x – x0)
Учитель: В чем состоит физический смысл производной?
Учащиеся: Если материальная точка движется прямолинейно по закону S(t), то производная функции y = S(t) выражает мгновенную скорость материальной точки в момент времени t0 v= S' (t0)
III этап урока (5 мин.)
Устная работа по решению простейших задач на тему «Производная. Физический и геометрический смысл производной».
Учитель предлагает учащимся применить только что сформированные теоретические факты к решению задач. Учащимся розданы листы с заданиями для устной работы, следующего содержания:
1. Найти производную функции y(x) = x6 – x4 + 2x3 – 3
1) x6 – x3 + 2x2
2) x6 – x4 + 6x3 – 3
3) 6x5 – 4x3 + 6x2
4) 6x5 – 4x3 + 6x2 – 3
2. Найти значение производной функции y(x) = x2 – 3x в точке с абсциссой x0 = 1
1) –2
2) –1
3) 1
4) 2
3. Найти производную функции у(х) = (1/5x – 7)5
1) y'(x) = (1/5x – 7)4
2) y'(x) = (1/5x – 7)3
3) y'(x) = 5(1/5x– 7)4
4) y'(x) = 5x4 – 7
4. Найти угловой коэффициент касательной, проведенной к графику функции f(x) = ex – 2x2 в его точке с абсциссой x0= 0
1) –1
2) 1
3) 2
4) –2
5. Точка движется прямолинейно по закону S(t) = 2t3 – 3t. Вычислите скорость движения точки в момент t0 = 2c
1) 9
2) 13
3) 21
4) 18
IV этап урока (10 мин.)
Решение упражнений (учащиеся под руководством учителя решают на доске и в тетрадях). Задания подготовлены заранее, в зависимости от той техники, которой оснащен класс.
1. Найти значение производной функции f(x) = 7x.lnxв точке x0 = e
1) 12
2) 14
3) 7
4) 7+7e
Решение:
Применим правило вычисления производной
произведения: f' (x) = (7x)'.ln x + 7x .
1/x = 7ln x + 7
Подставим x0 = e
f' (e) = 7 lne + 7 = 14
Ответ: 2
2. Найдите производную функции y = cos3x + x3
1) y' = 3cos 2x + 3x2
2) y' = – 3cos 3x + 3x2
3) y' = – 3sin 3x +3x2
4) y' = – sin 3x + 3x2
Решение: Используя правило вычисления производной сложной функции, получаем y' = 3 (– sin 3x) + 3x2 = –3sin 3x + 3x2
Ответ: 3.
3. Найдите абсциссу точки графика функции f(x) = 14x2 – 27x + 15, в которой касательная наклонена под углом 45o к оси абсцисс.
1) 29/27
2) – 28/15
3) 2
4) 1
Решение:
k = tg45o = 1, тогда f' (x0) = 1
f'(x) = 28x – 27
28x0 – 27 = 1
x0 = 1
Ответ: 4
4. Материальная точка движется по закону x(t) = t3 – 5t2 + 6t+ 7 (x – перемещение в м, t – время в с). Через сколько секунд после начала движения ускорение точки будет равно 8м/с2?
1) 1
2) 2
3) 3
4) 4
Учитель: Ускорение материальной точки это изменение её скорости, т.е. чтобы найти ускорение а(t) материальной точки в произвольный момент времени t необходимо найти производную скорости.
v(t) = x' (t) v(t) = 3t2 – 10t + 6
a(t) = v(t) a(t) = 6t – 10
a(t) = 86t – 10 = 8, t = 3.
Ответ: 3
V этап урока (15 мин.)
Разноуровневая самостоятельная работа
Учитель выдает задания для самостоятельной
работы, сообщая учащимся, что на её выполнение
отводится 15 минут.
Для учащихся 3-й группы учителем составлены
розовые карточки в двух вариантах. Учащиеся 3-й
группы – это как правило, со слабой
математической подготовкой. Работа для них
содержит простейшие задания аналогичные тем,
которые разбирались на уроке. Все задания в
варианте базового уровня сложности. Для учащихся
2-й группы учителем составлены синие карточки.
Учащимся 1-й группы учитель выдает белые карточки
с задачами повышенного уровня сложности.