Урок алгебры и начал анализа по теме: "Методы решения показательных уравнений"

Цели урока:

1. Создание условий для открытия новых знаний: методов решения показательных уравнений, формирования умений и навыков правильно определять и применять эти методы при решении конкретных показательных уравнений.
2. Способствовать развитию моторной и смысловой памяти, умений анализировать, сравнивать, отбирать теоретический материал и представлять его в сжатой форме в виде блок-схем, алгоритмов, умений отбирать ключевые задачи по теме и методы их решения.
3. Способствовать становлению коммуникативной компетентности (работать в группе, оценивать себя и товарищей), информационной (работать с учебником, справочником, дополнительной литературой, выступать перед аудиторией).

Оборудование:

Таблицы показательных функций y = 2^x , y = (1/2)^x, дидактические материалы, справочники, учебники разных авторов: Алимова, Колмагорова, Мордковича, компьютеры, медиаресурсы по решению показательных уравнений.

Основные формы работы учащихся во время урока: индивидуальная, групповая, работа в парах.

Подготовка к уроку:

1. Заранее одним из учащихся готовится сообщение о показательных функциях, как моделях реальных ситуаций, показывается межпредметная связь (связь математики с физикой).
2. Класс разбит на четыре группы по 4-5 человек, распределены обязанности между всеми членами в каждой группе.
3. Приготовлены таблицы, учебники разных авторов, справочники.
4. Подобран материал для математического диктанта, составлена самостоятельная работа.
5. Приготовлены карточки- консультанты, разноуровневые задания по решению показательных уравнений.
6. Подобран комплект мультимедиа – средств обучения решению показательных уравнений.

Структура урока.

1. Самоопределение к деятельности (определена основная цель урока).
2. Систематизация знаний и умений по теме: “Показательная функция”.
3. Открытие “новых” знаний через постановку проблемной задачи (выполнение заданий в группах). Обсуждение полученных результатов.
4. Первичное закрепление изученного материала (выполнение практических заданий в группах).Проверка и обсуждение полученных результатов.
5. Самостоятельная работа.
6. Постановка домашнего задания.
7. Подведение итога урока (рефлексия).
8. Резерв: дифференцированные задания.

Ход урока

1. Организационный момент.

Подготовка учащихся к работе на уроке.

2. Актуализация знаний. Систематизация знаний, умений и навыков по теме: “Показательная функция”.

Подготовка учащихся к открытию новых для них знаний, к активному и осознанному изучению нового материала.

Двое учащихся готовят сообщения по таблицам о свойствах показательных функций y = 2^x, y = (1/2)^x по следующей схеме:

• Область определения функции.
• Множество значений функции.
• Промежутки монотонности функции.
• Четность функции.
• Ограниченность функции.
• Наибольшее и наименьшее значения функции.
• Непрерывность функции.
• Выпуклость функции.

Третий ученик готовит сообщение о показательных функциях - математических моделях реальных ситуаций. Примерное сообщение ученика: Показательная функция описывает ряд физических процессов: радиоактивный распад; изменение силы тока при замыкании и размыкании цепи; затухание звуковых и других колебаний.

Рассмотрим радиоактивный распад (речь идет о естественном распаде неустойчивых изотопов). Радиоактивный распад описывается уравнением m = m₀*2^{-t/ T} или m = m₀ (1/2) ^{t/ T}, где m- масса вещества в момент времени t, m₀ – масса вещества при t = 0, T – период полураспада.

Ученик предлагает решение одной из трех следующих задач по выбору.

Задача 1. Вычислите период полураспада вещества, если за год его масса уменьшилась в 10 раз.

Решение: m: m₀ = 0,1; 2^-t/T= 10 ^-1 , t = 1.

- lg 2= -lg 10; T = lg 2 0,3.

Ответ: приближенно 0,3 года.

Задача 2. Вычислите, какая доля радия останется через 1000 лет, если период его полураспада равен 1550 лет.

Решение: m: m₀ = (0,5)^1000/1550 (0,5)^{2/ 3} 0,7.

Ответ: приближенно 0,7.

Задача 3. Радиоактивное вещество теряет половину своей массы каждые 20 дней. Через сколько дней от тела, массой 32 грамма, останется 1 грамм.

Решение. = ()^{t/ 20} , t = 100.

Ответ: 100 дней.

Одновременно с учащимися, выполняющими индивидуальные задания у доски, остальные ребята пишут по собственному выбору либо математический диктант, либо самостоятельную работу с последующей самопроверкой и анализом ошибок, допущенных учащимися. Анализ проводится, опираясь на свойства показательной функции, в частности монотонности показательной функции при а > 1 и при 0 < a <1.(Фронтально).

Математический диктант.

1.Какие из данных функций являются показательными (указать букву):

a) y = 2^x, б) y = x², в) y = (-3) ^x, г) y = () ^x, д) y = x, е) y = (x-2)³, ж) y = ^x, з) y = 3^-x .

Ответ: а), г), ж), з).

2. Какие из перечисленных показательных функций, являются возрастающими и какие убывающими, указать букву:

а) y = 5^x , б) y = (0,5)^x, в) y = ()^x , г) y = 10^x , д) y = ^x, е) y = ()^x, ж) y = 49^-x/2, з) y = (14 cos )^-x.

Ответ: возрастающие функции: а), в), г), д); убывающие функции: б), е), ж), з).

3. Укажите среди всех значений функции y = 2 ^sinx наибольшее и наименьшее.

Ответ: наибольшее-2, наименьшее – 0,5.

4. Какому из промежутков (-; 0), (0; 1), (1; +) принадлежит корень уравнения: а) 3^x = 3,5; б) ()^x =4.

Ответ: а) (1; +), б) (-; 0).

5. Дана функция y = 8^x и значения x, равные 2; 4; -6; - ; 0,04; - ; 7. Выберите те значения x, при которых верно неравенство 8^x >1.

Ответ: 2; 4; 0,04; 7.

Самостоятельная работа.

1.Сравнить с единицей заданное число:

1 вариант

а) 17^-3/4
б) (9,1)^√7

2 вариант

а) ()^-2,5
б) ()⁸

2. Решить неравенство:

1 вариант

а) 4^х 32
б) ()^x <

2 вариант

а) 5^х 125
б)()^x >

3. Постройте графики функций:

1 вариант

а) y = 3^x -2
б) y = ()^x+1

2 вариант

а) y = ()^x-2
б) y = 5^x +3

4. Решите уравнение:

1 вариант

3^x = -3x+ 6

2 вариант

() ^x = x+ 1

Ответы для самопроверки математического диктанта и самостоятельной работы заготовлены на отдельных карточках и на классной доске. Карточки предназначены для индивидуальной самопроверки, доска – для фронтальной проверки. Приложение №1

Результатом данного этапа урока является выявление уровня подготовки учащихся к “открытию” новых знаний (методов решения показательных уравнений).

3. Этап “открытия” новых знаний. (Этап постановки проблемной задачи).

На доске записаны показательные уравнения:

1. 2^{2x – 4}=64;
2. 3^x = – ;
3. 4^x+2^{x + 1}– 24 = 0;
4. 2*2^2x -6*2^x +8=0
5. 5 ^{xx – 3x} = 5^{3x – 8};
6. 5 ^{2x + 1} – 26 * 5 ^x + 5= 0;
7. 3 ^x-1= ;
8. - + 12 = 0;
9. 5 ^3x-1= 0,2;
10. 5^2x+1 – 13*15^x +54*9 ^x-1=0;
11. 3 ^x =4-x;
12. 3 ^x+1*5^x =675;
13. 7 ^2x+1+ 7 ^2x+2 + 7 ^2x+3= 57;
14. 2^2x+1 = x² +2.

Задание всем учащимся:

Среди данных уравнений найдите те, которые по каким либо общим внешним признакам похожи друг на друга. Запишите уравнения по этим общим признакам в отдельные столбики.

Учащиеся записывают уравнения в столбики. (Уравнения под номерами 10, 12 и 13 на первый взгляд могут быть определены учащимися в отдельный четвертый столбик)

Вопрос:

- Объяснить, по каким общим внешним признакам проведено разбиение уравнений по столбикам?

Заслушивается мнение каждого учащегося, пожелавшего ответить на вопрос.

Ответы анализируются.

Возникает вопрос “Как решить каждое из данных уравнений?”.

Вместе с учащимися определяется тема урока “ Методы решения показательных уравнений”, ставятся задачи:

• Ознакомится с методами решения показательных уравнений;
• Каждому из написанных на доске показательному уравнению подобрать метод решения;
• Сформировать первоначальные умения и навыки решения показательных уравнений рассмотренными методами.

Класс разбивается на группы, каждая из которых выбирает один из столбиков с уравнениями. По учебникам самостоятельно изучается теоретический материал членами каждой группы, определяется метод решения выбранных уравнений, составляется алгоритм их решения. Каждый член группы решает одно из уравнений, выбранного типа (одинаковые уравнения, учащимися одной группы, не решаются), верность выполненного задания проверяется по карточкам- консультантам с готовыми решениями Приложение №2, готовится презентация каждого метода решения показательных уравнений.

Каждая группа готовит презентацию выбранного метода решения показательных уравнений с примерами его применения и представляет классу.

Приложение №3

- Какие методы решения показательных уравнений были вами рассмотрены?

-Укажите, каким методом решается каждое уравнение, записанное на доске.

Учащимися делается вывод:

• К первому столбцу относятся уравнения под номерами 1, 5, 9, 12,13, которые решаются методом уравнивания показателей.
• Ко второму столбцу – уравнения под номерами 2, 7, 11, 14, решаемые функционально- графическим методом.
• К третьему столбцу– уравнения под номерами 3, 4, 6, 8, 10, которые можно решить как квадратные уравнения, используя метод введения новой переменной.

Находят свое место уравнения под номерами 10, 12 и 13, над решением которых работала отдельная группа.

Учащиеся составляют общую блок- схему по решению показательных уравнений.

4. Этап первичной отработки умений и навыков по решению показательных уравнений разными методами: методом приравнивания показателей, методом введения новой переменной, функционально- графическим методом.

( Блок – схема решения показательных уравнений, алгоритмы трех методов решения показательных уравнений, изученных на уроке, представлены на доске).

Каждый ученик, используя полученную информацию о методах решения показательных уравнений, решает из каждого столбика по два уравнения, применяя необходимый метод решения.

Затем первоначальные группы распадаются, идет работа в парах, каждый учит каждого, определяя себе в пару члена любой другой группы для совместного обучения, идет обмен информацией, проверка решенных уравнений, анализ допущенных ошибок. Таким образом, учащиеся получают первичные умения и навыки по решению показательных уравнений тремя методами.

Приложение №2. (Решения всех уравнений, записанных на доске) 

5. Этап проверки первичных умений и навыков применения трех изученных методов решения показательных уравнений.

Самостоятельная работа. ( Дидактический материал) Приложение №4. (ответы заданий самостоятельной работы) Работа предусмотрена на четыре варианта.

6. Задание на дом. Изучение теоретического материала “Методы решения показательных уравнений”. Сравнить изложение теоретического материала в учебниках разных авторов. Выполнение любого другого варианта самостоятельной работы, который не был выполнен в классе или задания из резерва.

7. Подведение итогов (рефлексия).

8. Резерв (показательные уравнения повышенной сложности и подборка заданий из ЕГЭ нескольких последних выпусков). Приложение №5.