I. Цели урока:
1. Образовательные:
- сформировать у учащихся прочное представление об уравнении, способах решения простейших уравнений и проверки решения;
- рассмотреть свойства уравнений;
- сформировать представление о применении изученных свойств к решению уравнений.
2. Развивающие:
- формирование прочных умений решать простейшие уравнения;
- формирование умения применять свойства уравнений к их решению.
II. Тип урока: урок изучения нового материала.
III. План урока:
- Организационный момент.
- Актуализация опорных знаний.
- Мотивация обучения.
- Изучение нового материала.
- Решение упражнений.
- Домашнее задание и итог урока.
I. Организационный момент. Подготовить учащихся к уроку.
II. Актуализация опорных знаний:
а) история вопроса:
Выслушать сообщения учащихся по решению уравнений в древнем мире и средние века.
б) составить уравнения по рисункам:
рис.1
Ответ: х + 6 = 15
рис.2
Ответ: 2х = х + 2
III. Мотивация обучения:
Сообщить учащимся цель урока - рассмотреть различные виды уравнений, их свойства и способы их решения.
IV. Изучение нового материала:
Беседуя с учащимися напомнить им о том, что с уравнениями они уже встречались.
Попросить учащихся привести примеры уравнений.
Возможные ответы:
- 3х = 12;
- х +7 =14;
- 8х +1 = 9;
- 2х - 5 = 15 и т.д.
Далее предложить учащимся выполнить такие упражнения [5,аттестация 11, вариант 1]:
1. Какое из приведенных чисел является корнем уравнения -2х = 8
а) 1/4
б) 4
в) -4
г) -1/4
Ответ: в)
Размышляя, учащиеся приходят к выводу, что число -4 является корнем уравнения.
При этом они могут мыслить так:
Для нахождения корня уравнения нужно произведение (т.е. число 8) разделить на известный сомножитель (т.е. число -2).
2. Корень уравнения 5х = 2 равен значению выражения:
а) 5 : (-2)
б) -2 : 5
в) -2 + 5
г) 5 * (-2)
Ответ: б)
Следует заметить, что при выполнении задания 1 учащиеся в большинстве своем безошибочно находят корень уравнения.
При выполнении задания 2 учащиеся делают весьма распространенную ошибку:
х = 5 : (-2), таким образом выбирая ответ а).
На самом деле верным является ответ б).
Для предотвращения этой ошибки в дальнейшем следует отработать у учащихся место расположения значения произведения и сомножителя в произведении.
Далее, освежив в памяти учащихся рис.1, рассмотреть рис.3.
рис.3
По этому рисунку учащиеся видят способ решения уравнения видят способ решения уравнения:
х + 6 = 15
х + 6 – 6 = 15 – 6. (х = 9) или так: х + 6 + (-6) = 15 + (-6). (х = 9).
При этом учащиеся приходят к выводу:
Если к обеим частям уравнения прибавить (или от обеих частей уравнения вычесть) одно и тоже число, то получим верное уравнение.
Далее нужно подвести учащихся к мысли, что прибавлять и отнимать можно не только числа, но и выражения. Сделать это можно так.
Рассмотрев с учащимися рис.2 перейти к рассмотрению рис.4, который показывает способ решения уравнения 2х = х + 2
рис.4
Учащиеся видят способ решения:
2х = х +2
2х – х = х –х + 2
х = 2
После этого можно ввести свойство уравнения, сформулированное в [1] в том виде, в котором оно там есть:
Если к обеим частям уравнения прибавить (или от обеих частей уравнения вычесть) одно и тоже число, то получится уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
Следующее, второе свойство является ключевым для решения уравнений в дальнейшем, поэтому его осмыслению следует уделить особое внимание. Сделать это можно опираясь на рекомендации [6] (стр. 115 – 116).
Пусть нужно решить уравнение 5х + 10 = 20 (*)
Прибавим к обеим частям уравнения (-10) пользуясь свойством (1) 5х + 10 + (-10) = 20 + (-10) (**)
Обратить внимание учащихся на то, что уравнение (**) равносильно уравнению 5х = 20 - 10 (***)
После этого решить уравнение окончательно:
5х = 10
х = 2
Сравнив (*) и (***) с учащимися подвести их к мысли, изложенной в [1] в виде свойства уравнений:
Если какое-нибудь слагаемое перенести из одной части уравнения в другую, изменив при этом знак на противоположный, то получим уравнение, имеющее те же корни, что и данное.
Следует обратить внимание на смену знака при переносе слагаемого.
Если не уделить достаточно внимания свойству и учащиеся не осознали этого факта, то при переносе слагаемого ученики не меняют знак, что приводит к ошибкам в решении уравнений.
Для их предотвращения следует особо обратить внимание учащихся на (**).
Далее рассмотреть с учащимися задания [5, аттестация 11, вариант 1]:
3. Если в уравнении 6х + 5 = 7 слагаемое 5 перенести в правую часть, то получим уравнение:
а) 6х = 7 +5
б) 6х = 7 * 5
в) 6х = -7 * 5
г) 6х = 7 – 5
Ответ: г)
Размышления учащихся при выполнении задания могут быть такими:
Рассмотрим уравнение 6х + 5 = 7.
а) Прибавим к обеим частям уравнения (-5) согласно свойству 1:
6х + 5 + (-5) = 7 + (-5)
6х + 5 -5 = 7 -5
6х = 7 –5
б) При использовании свойства 2:
6х = 7 –5
получается переносом 5 в правую часть и заменой знака одновременно.
4. Если в уравнении 5х = 2х - 3 слагаемое 2х перенести в левую часть, то получим уравнение:
а) 5х – 2х = -3
б) 5х – 2х = 3
в) 5х + 2х = 3
г) 5х + 2х = -3
Ответ: а)
Рассуждения учащихся при этом могут быть такими же как и при выполнении задания 1.
Аналогично свойству 1 можно рассмотреть и свойство 3 (см. [1])
Если обе части уравнения умножить (или разделить) на одно и тоже отличное от нуля число, то получим уравнение имеющее те же корни, что и данное.
Вопрос умножения и деления обеих частей уравнения воспринимается учащимися более легко, чем перенос слагаемого из стороны в сторону.
V. Решение упражнений:
При отработке навыков в использовании свойств уравнений полезно использовать те задания, которые есть в пособии [5].
Это необходимо для формирования умений использовать свойства уравнений, представление о которых учащиеся получили в ходе их изучения. В зависимости от подготовки класса можно начать с заданий 1 или 2 уровня [5, аттестация 11, вариант 2].
I уровень:
1. Какое из приведенных чисел является корнем уравнения -3х = 12
а) -4
б) 4
в) 1/4;
г) -1/4
Ответ: а)
2. Корень уравнения 7х = -4 равен значению выражения:
а) 7 * (-4)
б) 7 + (-4)
в) 7 : (-4)
г) -4 : 7
Ответ: г)
3. Если в уравнении 3х + 2 = 11 слагаемое 2 перенести в правую часть, то получим уравнение:
а) 3х = 11 – 2
б) 3х = 11 + 2
в) 3х = 11 * 2
г) 3х = -2 * 11
Ответ: а)
4. Если в уравнении 7х = 3х - 5 слагаемое 3х перенести в левую часть, то получим уравнение:
а) 7х – 3х = 5
б) 7х + 3х = 5
в) 7х - 3х = -5
г) 7х + 3х = -5
Ответ: в)
II уровень:
1. Решить уравнение:
а) –5х = 4
б) 15х – 3 = 0
Решение:
а) -5х = 4
х = 4:(-5)
б) 15х – 3 = 0 (используя свойство 2)
15х = 3
2. Решить уравнение:
8х + 3 = -11 + х
Решение:
8х + 3 = -11 + х (используя свойство 2)
8х – х = - 11 – 3
7х = -14
х = - 2
Решению такого типа уравнений следует уделить особое внимание, т.к. при его решении возникает необходимость переноса выражений с переменной в левую часть, а слагаемых без переменной в правую.
Задания 3 и 4 из уровня 1 формируют каждое из двух необходимых умений отдельно, поэтому их выполнению следует уделить должное внимание. Для упрочения сформированных умений можно решить еще одно ([5],аттестация 11 вариант1)
Решить уравнение:
7х - 11 = 13 - х
Решение:
а) 7х – 11 +11 = 13 – х + 11
7х + х = 13 + 11 – х + х
8х = 24
х = 3
б) 7х + х = 13 + 11 (используя свойство 2)
8х = 24
х = 3
При решении уравнения в случае а) используется свойство 1, а в случае б) исполь-зуется свойство 2.
После этого можно воспользоваться рекомендациями [2] и решить предложенные там упражнения или воспользоваться рекомендациями [3].
V. Домашнее задание:
Пункт 40, Упражнения следует задать так, чтобы учащимися были отработаны умения, сформированные на уроке, т.е. последовать рекомендациям, данным [1].
Альтернативой этим рекомендациям может быть использование материала, размещенного в [5] (аттестация 11, вариант 3).
Решить уравнения:
а) 6х = - 18
б) –5х = 16
в) 4х + 3 = 15
г) 19х = -5х + 2
д) –5х = 4
е) 6х + 12 = 0
ж) 10х – 43 = 2 + х
з) 7(х – 3) – 10 = 2 – 3(х + 1)
и)
к)
Для подготовленных учащихся можно организовать самостоятельное решение предложенных уравнений. Их решение можно оценить, например, так:
а) и б) – 1б;
в) – 1б;
г) – 1б;
д) –1б;
е) – 1б;
ж) – 1б;
з) – 2б;
и) – 2б;
к) – 2б.
Решение:
Домашнее задание при этом может быть таким: ([5],аттестация 11, вариант 1, уровни 2, и 3, и 4) пункт 40.
Решить уравнения:
а) -9х = 5
б) 10х - 9 = 0
в) 2(х – 1,5) + 4 = х – 5
г)
д)
Приложения: