Число Пи на уроке математики

Число на уроке математики.

“Геометрия – неотъемлемая часть мировой сокровищницы человеческой мысли. Некоторые теоремы геометрии старше, чем Библия. Если человек не слышал о Моне Лизе или не знает, где находится Парфенон, может ли он считаться культурным человеком? А если он не знает теоремы Пифагора или проблемы квадратуры круга?”

И. Ф. Шарыгин

Число относится к старейшим понятиям математики (много старше Библии). Богатейшая история этого числа благодатный материал для решения на уроке задачи “воспитания гордости от приобщения к истокам мировой цивилизации”.

Предлагаю вариант знакомства с числом на уроке математики в 6 классе.

При наличии времени, на изучение материала отводится 2 урока. На первом уроке проводится подготовительная и экспериментальная работа, на втором – обобщение полученных знаний. При необходимости можно изучить материал за один урок, но тогда учителю необходимо очень тщательно спланировать и скоординировать домашнее задание учащихся. (Например, можно предложить 2 и 3 группам провести эксперименты в классе после уроков, распечатать вопросники для 1 группы, приготовить литературу для 4 группы)

Класс делится на группы, и каждая группа получает свое домашнее задание:

1 группа – провести социологический опрос (среди родителей, учителей начальных классов, учащихся 10, 11 классов) Что обозначают числом ? Чему равно его приближенное значение?

2 группа – получает описание лабораторной работы “Получение числа по методу древних математиков”, изучает описание и готовит оборудование для ее проведения, проводит дома работу.

Уложить вдоль окружности нить, а потом развернуть её и измерить. Затем сложить окружность пополам и измерить линейкой диаметр. В качестве окружности можно использовать дно пластикового стакана, вдоль него удобно уложить нить, но чтобы измерить диаметр придется отрезать его или обвести дно стакана карандашом, поставив его на бумагу. Найти отношение длины окружности к диаметру.

3 группа – получает описание опыта Бюффона, изучает описание и готовит оборудование для его проведения, проводит опыт дома.

Описание опыта Бюффона. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, – лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, – и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет. Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист сукно. Бросание иглы повторяют много раз, каждый раз отмечая, было ли пересечение. Потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение.

4 группа – готовит сообщения на темы “Число в работах Архимеда”, “Число в работах математиков разных стран”, “Как запомнить число ”, “Число в литературе”.

Краткий план урока.

1. Знакомство с целями и задачами урока. Вступительное слово учителя (2-3 минуты)
2. Работа в группах. Обработка домашних заданий, подготовка отчетов (3-5 минут)
3. Заслушивание отчетов групп (25 минут)
4. Вопросы и ответы
5. Подведение итогов, запись выводов (5-7 минут)
6. Оценка работы групп, выставление отметок (3 минуты)
7. Объяснение домашнего задания (2 минуты)

Ход урока

1. Вступительное слово учителя

Сегодня на уроке мы познакомимся с числом – одной из вечных ценностей, которой человечество пользуется уже много веков. Узнаем лишь некоторые аспекты его богатейшей истории. Выясним, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру. Посмотрим наглядно, какими способами можно получить число . На основе экспериментов вычислим приближенное значение числа различными способами. Проведем обработку и анализ результатов эксперимента. Так что же это за число и зачем оно необходимо нам сегодня? Ещё в древности математики пытались решить задачи, связанные с кругом: измерить длину окружности или её дуги, площадь круга или сектора. Первые попытки делались ещё до нашей эры! Впервые Архимед (около 287-212 гг. до н.э.) вычислил отношение длины окружности к диаметру и нашёл, что оно заключено между тремя целыми и десятью семьдесят первыми и тремя целыми и одной седьмой.

Архимед установил, что это постоянная величина. А в середине XVIII века знаменитый русский академик Леонард Эйлер ввёл обозначение этой постоянной. Её стали называть числом (“пи” - начальная буква греческого слова perimetron, которое и означает “окружность”).

Попробуем и мы приподнять завесу богатейшей истории числа , которым человечество пользуется уже много веков.

В глубокой древности считалось, что окружность ровно в 3 раза длиннее диаметра. Эти сведения содержатся в клинописных табличках Древнего Междуречья. Такое же значение можно извлечь из текста Библии: “И сделал литое из меди море, – от края его до края его десять локтей, – совсем круглое... и снурок в тридцать локтей обнимал его кругом”

Какая же на самом деле связь между длиной окружности и ее диаметром? Это мы выясним сегодня на уроке.

2. Работа в группах. Провести статистическую обработку материалов (1-3 группы), выбрать самые яркие и интересные сведения из приготовленных (4 группа).

3. Отчет 2 группы: описание эксперимента, демонстрация, анализ результатов группы и сравнительный анализ результатов работ шестиклассников разных лет.

Отчет 3 группы: демонстрация опыта Бюффона, результаты эксперимента.

Самый оригинальный и неожиданный способ для приближенного вычисления числа состоит в следующем. Запасаются короткой (сантиметра два) швейной иглой, – лучше с отломанным острием, чтобы игла была равномерной толщины, – и проводят на листе бумаги ряд тонких параллельных линий, отделенных одна от другой расстоянием вдвое больше длины иглы. Затем роняют с некоторой (произвольной) высоты иглу на бумагу и замечают, пересекает ли игла одну из линий или нет. Чтобы игла не подпрыгивала, подкладывают под бумажный лист сукно. Бросание иглы повторяют много раз, каждый раз отмечая, было ли пересечение. Если потом разделить общее число падений иглы на число случаев, когда замечено было пересечение, то в результате должно получиться число , конечно, более или менее приближенно.

Объясним, почему так получается. Пусть вероятнейшее число пересечений иглы равно К, а длина нашей иглы – 20 мм. В случае пересечения точка встречи должна, конечно, лежать на каком-либо из этих миллиметров, и ни один из них, ни одна часть иглы, не имеет в этом отношении никаких преимуществ перед другими. Поэтому вероятнейшее число пересечений каждого отдельного миллиметра равно К/20. Для участка иглы в 3 мм оно равно

3	К
	20

, для участка в 11 мм –

11	К
	20

и т.д. Иначе говоря, вероятнейшее число пересечений прямо пропорционально длине иглы.

Эта пропорциональность сохраняется и в том случае, если игла согнута. Заметьте, что при изогнутой игле возможны пересечения черты двумя и более частями иглы сразу. Но мы уже установили, что вероятнейшее число пересечений пропорционально длине иглы. Поэтому вероятнейшее число (К) пересечений нашей иглы должно быть меньше 2N в 2 раз, т.е. равно N/. Отсюда

=	число бросаний
	число пересечений

Чем большее число падений наблюдалось, тем точнее получается выражение для . Один швейцарский астроном Р. Вольф в середине прошлого века наблюдал 5000 падений иглы на разграфленную бумагу и получил в качестве число 3,159... – выражение, впрочем, менее точное, чем архимедово число.

Как видите, отношение длины окружности к диаметру находят здесь опытным путем, причем – это всего любопытнее – не чертят ни круга, ни диаметра, т.е. обходятся без циркуля. Человек, не имеющий никакого представления о геометрии и даже о круге, может тем не менее определить по этому способу число ?, если терпеливо проделает весьма большое число бросаний иглы.

Отчет 4 группы: краткий обзор истории числа , способы запоминания числа , задачи из литературных произведений.

Как запомнить первые цифры числа

Три первые цифры числа = 3,14... запомнить совсем несложно. А для запоминания большего числа знаков существуют забавные поговорки и стихи.

Например, такие:

Нужно только постараться И запомнить всё как есть: Три, четырнадцать, пятнадцать, Девяносто два и шесть.

С. Бобров. “Волшебный двурог”

Тот, кто выучит это четверостишие, всегда сможет назвать восемь знаков числа : 3,1415926...

В следующих фразах знаки числа я можно определить по количеству букв в каждом слове:

“Что я знаю о кругах?” ( = 3,1416);

“Вот и знаю я число, именуемое Пи. – Молодец!” ( = “3,1415927);

“Учи и знай в числе известном за цифрой цифру, как удачу примечать”  ( = 3,14159265359).

Известно стихотворение на английском языке – в 13 слов, дающее 12 знаков после запятой в числе .

See I have a rhyme assisting My feeble brain, its tasks ofttimes resisting.

Поговорку “Что я знаю о кругах?” предложил замечательный популяризатор науки Яков Исидорович Перельман. Учитель одной из московских школ придумал строку:

“Это(3) я(1) знаю(4) и(1) помню(5) прекрасно(9)”, а его ученица сочинила забавное продолжение: Пи(2) многие(6) знаки(5) мне(3) лишни(5), напрасны(8)…”. Это двустишие позволяет восстановить 12 цифр.

Небольшие стихотворения или яркие фразы дольше остаются в памяти, поэтому каждый может попробовать себя в этом виде “математической поэзии” или запомнить уже сочиненные.

Число в литературе

Геометрия знает немало поучительных и необычных задач. Одна из них описана в романе Жюля Верна, герой которого подсчитывал, какая часть его тела прошла более длинный путь за время его кругосветных странствий – голова или ступни ног.

Приведём решение этой здачи.

Ноги прошли путь 2R, где R – радиус земного шара. Верхушка же головы прошла при этом 2 (R + 1,7), где 1,7 м – рост человека. Разность путей равна 2(R + 1,7) - 2?R = 2 • 1,7 = 10,7 м. Итак, голова прошла путь на 10,7 м больше, чем ноги.

Любопытно, что в окончательный ответ не входит величина радиуса земного шара. Поэтому результат получится одинаковый и на Земле, и на Юпитере, и на самой мелкой “планетке”. Вообще, разность длин двух концентрических окружностей не зависит от их радиусов, а только от расстояния между ними.

Прибавка одного сантиметра к радиусу земной орбиты увеличила бы ее длину ровно настолько, насколько удлинится от такой же прибавки радиуса окружности пятака.

На этом геометрическом парадоксе и основана любопытная задача, приведённая в самом начале моей работы: “Если обтянуть земной шар по экватору проволокой и затем прибавить к ее длине 1 м, то сможет ли между проволокой и землей проскочить мышь?”

Обычно отвечают, что промежуток будет тоньше волоса: что значит один метр по сравнению с 40 миллионами метров земного экватора! В действительности же величина промежутка равна

100 см	приблизительно 16 см
2

Не только мышь, но и крупный кот проскочит в такой промежуток!

Отчет 1 группы:

Любой школьник сегодня должен знать, что обозначает и чему приближенно равно число . Ведь у всех первое знакомство с числом , использование его при вычислении длины окружности, площади круга происходит в 6 классе. Но, к сожалению, эти знания остаются для многих формальными и уже через год – два мало кто помнит не только то, что отношение длины окружности к её диаметру одно и то же для всех окружностей, но даже с трудом вспоминают численное значение числа , равное 3,14. Как показал тест-опрос только 50% резидентов смогли вспомнить чему равно число , а что оно означает смогли пояснить только 5%. (Отчет можно оформить в виде круговой или столбчатой диаграммы).

Вопросы и ответы. Если у учащихся есть вопросы после отчетов групп, они их задают, а участники группы отвечают на них.

Слово учителя: Современная наука развивается очень быстро. Некоторые достижения человеку трудно было себе представить несколько десятков лет назад. Но есть вечные ценности, простые на первый взгляд, которыми человечество пользуется уже много веков. К таким вечным ценностям относится и число .

Определяя указанными способами, мы получили результаты, не совпадающий с 3,14: один раз получим 3,1, другой раз 3,12, третий 3,17 и т.п. Случайно может оказаться среди них и 3,14, но в глазах вычислителя это число не будет иметь больше веса, чем другие. Такого рода опытный путь никак не может дать сколько-нибудь приемлемого значения для . В связи с этим становится более понятным, почему древний мир не знал правильного отношения длины окружности к диаметру, и понадобился гений Архимеда, чтобы найти для ? значение 3 1/7 – найти без измерения, одними лишь рассуждениями.

“… в любой окружности, независимо от её диаметра, отношение длины окружности к её диаметру, есть величина постоянная” - шедевр человеческой мысли, не менее ценный и прекрасный, чем, например, “Джоконда” Леонардо да Винчи. Но чтобы насладиться красотой Джоконды в полной мере, необходимо отправиться в Париж. А для того чтобы не просто полюбоваться, но и получить в собственность уникальную ценность – знания о числе – достаточно вдумчиво прочитать школьный учебник, и, возможно, тогда знания, полученные на сегодняшнем уроке, станут прочными и неформальными.

5. Подведение итогов, запись выводов. В рабочей тетради (или конспекте) записывается обозначение числа , его приближенное значение, смысл понятия, происхождение символа, способы запоминания.

6. Оценка работы групп, выставление отметок. Если учитель практикует работу в группах, то у него есть своя система оценивания работы группы, я на подобных уроках использую самооценку и взаимооценку.

7. Объяснение домашнего задания. Кроме домашнего задания из учебника, можно предложить творческие задания (возможно, кто-то захочет повторить эксперимент другой группы, или провести свой опрос, или найти новые факты из истории числа )

Темы, варианты творческих заданий могут быть распечатаны заранее.

Урок может быть проведен с использованием интерактивной доски и ПК у каждой группы. Тогда результаты работы группы выводятся на доску и демонстрируются (с комментариями) всему классу.

Урок может быть организован как краткосрочный проект. Учащиеся оформляют отчет о работе группы на листах формата А4, которые затем прикрепляются на лист ватмана с заранее написанным заголовком. При наличии интерактивной доски результатом занятия может стать презентация, составленная из отчетов групп или электронная версия математической газеты.

История числа заинтересовала моих учеников. Был подготовлен проект для участия в муниципальной конференции “Поиск и творчество”, а ученица 8 класса Андрухова Елена участвовала с работой, посвященной числу в международном конкурсе “Математика и проектирование” в 2007 году и стала его лауреатом. Ее работа (презентация со звуковым сопровождением, смена слайдов – автоматическая, продолжительность – около 12 минут, объем около 50 Мб) размещена на сайте конкурса. Она может быть использована как фрагментарно на уроках, так и полностью, например, на тематическом классном часе, в рамках недели математики. А можно посмотреть эту работу 14 марта – в международный день числа .