Логарифмическая функция и ее приложения

• дидактическая: научить уч-ся применять полученные знания при решении задач повышенного уровня сложности, расширить представления уч-ся о логарифмической функции;
• развивающая: развивать логическое мышление, память, познавательный интерес, продолжить формирование математической речи;
• воспитательная: приучать к эстетическому оформлению записи в тетради, умению выслушивать других, прививать аккуратность и трудолюбие.

I. Организационный этап (проверка готовности уч-ся к уроку, организация внимания).

Начало XX века. Франция. Париж. Проходя по площади Экзюпери, господин Команьон указал на дом Денизо: «Что-то больше не слышно о провидице, общавшейся со святыми. Меня водил туда Лакарель, правитель канцелярии префекта. Она сидела в кресле, закрыв глаза, а человек десять почитателей задавали вопросы… На все вопросы она отвечала в поэтическом стиле и без особого затруднения. Когда черед дошел до меня, я задал самый простой вопрос: «Каков логарифм 9?». Она мне ничего не ответила. Как же так? Провидица не знает логарифма 9? Да виданное ли это дело! Все были смущены. Я ушел, провожаемый общим неодобрением».

«Ох, опять логарифмы», - подумаете вы. А мне хочется сказать: «Ах, эти логарифмы». И сегодня на уроке мы продолжим отрабатывать навыки решения логарифмических уравнений, неравенств, систем уравнений, но задания будут повышенной сложности, а также рассмотрим приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и техники.

- Исторический экскурс.
- Повторение (задание с ключом);
- Решение упражнений повышенного уровня сложности;
- Приложения логарифмической функции;
- Самостоятельная работа;
- Домашнее задание.

Повторение ранее изученного.

Более трехсот лет прошло с того дня, как в 1614 году были опубликованы первые логарифмические таблицы, составленные Джоном Непером. Значение логарифмов трудно переоценить. Они нужны инженеру и астроному, штурману и артиллеристу, всем, кому приходится вести громоздкие вычисления. Совершенно прав великий французский математик и астроном Лаплас, который сказал: «Изобретение логарифмов, сокращая вычисления нескольких месяцев в труд нескольких дней, словно удваивает жизнь астрономов».

Задание с ключом.

Этот прием, пришедший к нам из программирования, состоит в следующем: я буду произносить некоторые утверждения и, если вы согласны со мной, то в тетради ставите «1», если нет – «0». В результате у вас должно получиться число.

1. Если lg x=lg y, то x=y.
2. 
3. 1>.
4. Если , то .
5. Графики функций и совпадают.
6. Если 3²=9, то
7. Область определения функции промежуток (0; ?).
8. lg7<3lg2.
9. Если , то
   при .
10. Выражение справедливо для любого х?0.

Ключ: 1010000100.

Рассмотрим различные примеры применения знаний, полученных на предыдущих уроках при решении заданий повышенного уровня сложности.

№1. Решите уравнение.

№2. Решите систему уравнений

Данная система предлагалась на вступительных экзаменах в 2004 году в МГУ на факультет вычислительной математики и кибернетики.

№3. При каких значениях числа являются длинами сторон некоторого равнобедренного треугольника?

Продолжим урок остроумной алгебраической головоломкой, которой развлекались участники одного съезда физиков в Одессе.

Задача: любое данное число, целое и положительное, изобразить с помощью трех двоек и математических символов. Пусть, например, данные числа – 3 и 5.

Общее решение задачи записывается в виде

№4. Построить график функции

Поистине безграничны приложения логарифмической функции в самых различных областях науки и технике. Рассмотрим некоторые из них (приложение 1).

1. Звезды, шум и логарифмы.
2. Логарифмы и ощущения.
3. Завещание на сотни лет.
4. Логарифмическая спираль.

1) Найдите значение , если

2) Найдите множество значений , при которых выполняется неравенство

Решите систему уравнений

4) Постройте график функции, найдите ее область определения, промежутки возрастания и убывания.

VII. Домашнее задание. (Приложение 2)

Решите систему уравнений

Число 7 изобразить с помощью трех 2 и математических символов.

№ 6.292 из Сборника заданий для проведения письменного экзамена за курс средней школы

Найдите наименьшее значение функции

на отрезке [1;4]

4) Доказать

Итак, сегодня на уроке мы убедились, что как сказал знаменитый французский философ и математик Жан Кондорсе, «гениальное изобретение логарифмов, упрощая арифметические операции, облегчает все применения вычисления к реальным предметам и, таким образом, расширяет сферу всех наук». Поэтому тема нашего урока выбрана не случайно.

Приложение 3