Ромбовая игра "Суд над теоремой Виеты" (для учащихся 8-го класса)

Цели и задачи:

1) Оригинальна по форме, включить один из основных внутренних мотивов учащихся к изучению предмета - интерес.

2) Позволяет решать конкретные дидактические задачи:

а) показать учащимся как коэффициенты выражаются через корни; показать высокую честь ученого быть и отцом алгебры;
б) сравнить, что модуль произведения всех корней уравнения равен модулю свободного члена;
в) подчеркнуть, что же можно извлечь из теоремы Виста;
г) обратить внимание учащихся на применение теоремы Виета для уравнений высшей степеней, т.е. если корни уравнения-целые числа, то они должны быть делителями свободного члена.

3) В нетрадиционной Форме обобщить и расширить знания учащихся 8-го класса по применению теоремы Виета.

4) Рассмотреть применение теоремы Виета и его место в алгебре для учащихся 8-11 классов.

5) Подготовка к игре учащихся, приобщить учащихся к чтению литературы научной, способствовать развитию их творческих способностей.

Оборудование:

• видеопроектор,
• таблица с теоремой Виета,
• портрет ученого Виета (154О-16ОЗ),
• сувениры,
• плакаты: "Счет и вычисления - основа порядка в голове", "У математиков существует свой язык - это формулы", "Не знающий математики да не войдет в Академию".

С.В. Ковалевская.

Виета теорема - теорема, устанавливающая зависимость между коэффициентами, приведенного квадратного уравнения х² + рх + q =О и его корнями х₁ и х₂, т.е. х₁ + х₂ = - р и х₁ • х₂ = q для уравнения общего вида ах² +bх+ с =О, х₁ + х₂ = - и х₁ • х₂ = или c= a(х₁* х₂)

Действующие лица

Игра рассчитана на 1,5 часа и проводится во время обобщения знаний по решению квадратных уравнений.

Ход игры

1. Часть первая:

Секретарь (входя в класс) - Встать! Суд идет. (Входят судья и двое заседателей).

Прошу садиться.

В открытом судебном заседании слушается гражданское дело №1. "Об опротестовании прав теоремы Виета называться самым знаменательным утверждением школьной алгебры".

Представляю вам состав суда:

1. Судья_________________________________________________________

2. Присяжные заседатели__________________________________________

З. Главный защитник ______________________________________________

4. Главный обвинитель _____________________________________________

5. Свидетель защиты ______________________________________________

6. Эксперт _____________________________________________________

7. Секретарь _______________________________________________________

Есть ли у защиты и ответчиков отводы к членам суда? К обвинителям?

Судья: Позвольте огласить поступившее в суд заявление от учащихся 8-а класса МОУ “Гимназия № 5” города Чебоксары.

"Доводим до сведения следственных органов независимого государства "Алгебра", что мы учащиеся 8 класса, не хотим признавать учения "отца Алгебры – Виета". Изучив на уроках алгебры тему "Квадратные уравнения" пришли к выводу, что теорема, которая носит имя Французского математика Виета, не может быть удостоена чести называться самым знаменательным утверждением школьной алгебры, ибо она применима только при решении узкого класса квадратных уравнений и малоубедительна. Просим наказать его вплоть до исключения из программы, ибо наши квадратные уравнения хорошо решаются и без применения теоремы Виета. Суд просит независимых экспертов представить объективную биографическую справку и характеристику научной деятельности ученого Виета и для Алгебры его теоремы.

Эксперт: Возглавляемая мною группа независимых экспертов в ходе тщательного расследования ознакомилась с родословной и биографическими данными подсудимой теоремы Французского математика Франсуа Виета”

Виет родился в 1540 году на юге Франции в небольшом городке Рантенелм-Конт. Отец Виета был прокурором. По традиции сын избрал профессию отца и стал юристом, окончив Университет в Пуату. Но, через 3 года перешел на службу в знатную гугенотскую семью де Партене. Он стал учителем 12 летней Екатерины. Именно преподавание побудило в молодом юристе интерес к математике. Когда ученица выросла и вышла замуж, Виет не расстался с ее семьей и переехал с нею в Париж, где ему легче было узнать о достижениях ведущих математиков Европы.

В 1571 году Виет перешел на государственную службу, став советником парламента, а затем советником короля Франца Генриха III. Находясь на государственной службе, Виет оставался ученым. Он прославился тем, что сумел расшифровать код переписки короля Испании с его представителями в Нидерландах, благодаря чему король Франции был полностью в курсе действий своих противников.

После смерти Генриха III, Виет перешел на службу к Генриху IV. Находился при дворе и пользовался огромным уважением как математик.

В 1591 году было издано знаменитое "Введение в аналитическое искусство", в котором автор изложил программу своих исследований и перечислил трактаты, объединенные общим замыслом и написанные на математическом языке новой буквенной алгебры. Виет первым догадался обозначать буквами не только неизвестные, но и коэффициенты при них. Виет показал, что, оперируя с символами, можно получить результат, который применим к любым соответствующим величинам, то есть решить задачу в общем виде. Недаром Виета часто называют "отцом Алгебры". Он умер 14 Февраля 1603 года в Париже.

Теорема, которую он нам оставил, сейчас носит имя Виета, была обнародована в 1591 году. Она устанавливала связь коэффициентов многочлена с его корнями. В школьном учебнике алгебры теорема формулируется так:

“Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену”.

То есть, для уравнения х + pх + q = 0 выполняется условие х₁ + х₂ = -р и х • х₂ = q при D >0. Если D=0, то х + х = - р или 2х = -р и х =-; x₁•   х₂ = q или х₁² = q и х₁ = ± при q 0.

Судья: Спасибо за объяснительное исследование истории появления теоремы. Продолжим детальное изучение семейства квадратных уравнений.

Эксперт: Рассмотрим полное квадратное уравнение ах² + в х + с =0, а 0. Пусть оно имеет корни х₁ и х₂. Равносильное ему квадратное уравнение имеет вид х² + x + =0.

По теореме Виета х₁ +х₂ = -, х₁* х₂ =.

Справедливо утверждение обратное теореме Виета.

"Если числа m и n таковы, и что их сумма равна - р, а произведение равно q, то эти числа являются корнями уравнения х² + рх + q = 0.

Если m + n = - р, а m* n = q, то m и n корни уравнения х² + рх + q = 0

(все написано на бумаге и отдает судье)

Судья: Спасибо за обстоятельный анализ теоремы Виета. Суд примет к сведению документы экспертизы. Объявляется перерыв на одну минуту. (Судьи выходят из зала).

Игра с залом.

II. Часть вторая.

Секретарь: Встать! Суд идет! (Судья и заседатели входят). Прошу сесть.

Судья: Продолжим судебное заседание. Слушаем показания свидетелей и потерпевших.

Суд предупреждает: вы должны говорить правду и только правду. За дачу ложных показаний свидетели и потерпевшие будут привлекаться к ответственности.

Заслушаем показания представителей обвинения. Слово предоставляется главному обвинителю.

Главный обвинитель: Я хочу продемонстрировать Высокому суду, что квадратные уравнения можно решать без применения теоремы Виета.

Одним из способов решения является метод выделения квадрата двучлена. Так как ах² +bх + с = а (х² + 2х + ()^{2 _} ()² + ) = а ((х +)² – ) и ax² + b x + c = 0 , то (х +)² - = 0

Эту Формулу можно заполнить, но более полезно понять, как именно она получается и в каждом конкретном случае выделять полный квадрат указанным способом.

Приведу пример конкретный 2х² - 3х - 8 = 0.

Решим уравнение.

2х² - Зх - 8 = 2 (х² – 2x + ()² - ()² - 4) = 2((х - )² –).

(х - ())² - = 0, (х - - )?(х - +) = 0

х - = -и х - = , отсюда x_{1 =} , x₂ =.

Вот видите, быстро и понятно. Можно обойтись и без теоремы Виета. Судья: Слушаем показания защитника.

Главный защитник: Решение квадратного уравнения выделением квадрата двучлена часто приводит к громоздким преобразованиям. Кроме того, этот способ не рационален, так как вызывает трудности при вычислениях.

Вот пример. Решим уравнение 245х² - 142х + 322 = 0,

245 х² - 142 х + 322 =245(х² – 2*x + ()² - ()² + = 245 ((x - )² - ()² +)) ⁽¹⁾

Вот теперь вычисляй. Хорошо, если есть калькулятор. А если при поступлении в колледж такое уравнение дадут, а там калькулятором пользоваться не разрешают, то все экзаменационное время уйдет на вычисление.

Судья: Спасибо обеим сторонам. Продолжим заседание. Слушаем: показания свидетелей обвинения.

Свидетель обвинения: Квадратные уравнения можно решать по Формулам корней. Если дано уравнение а х² + bх + с = 0, где a = 0,

то его корни х_{1 =} и х₂ =

Эти формулы общеизвестны (показывает формулы на плакате) и позволяют находить корни даже неполных квадратных уравнений. Выражение b²-4ас называется дискриминантом. При D >0, х_1,2 = , два различных корня имеет уравнение ах² + bх + с, при а ? 0. При D=0, х₁ = х₂ = -, два равных корня. При D<0, нет корней.

Судья: Что скажут свидетели защиты. Свидетели зашиты: Высокоуважаемые судьи! Уважаемые присяжные заседатели! Квадратные уравнения можно решать без применения "Формульных" знаний, а только с помощью сообразительности. В простейших случаях можно не выполнять каких-либо преобразований.

Пример:

1) х²+6х + 9 = 0 или (х + З)² =0. Уравнение имеет корень второй кратности х =-3.

2) х²-5х + 6 = 0 х₁=3 и х₂=2.

Вовсе не надо применять формулы. Ведь и без того ясно, что двумя числами, сумма которых 5, а произведение 6, могут быть числа 2, и 3. Главный обвинитель: А как вы можете доказать, что других корней нет?

Свидетель защиты: Применим теорию многочленов. Многочлен второй степени имеет не более двух различных корней. Если бы многочлен (пишет на доске) Р(х) второй степени имел корни х₁, х₂, х₃, то он делился бы на произведение (х-x₁)?(х-х₂)?(х-х₃), что невозможно. Иными словами, квадратное уравнение не может иметь более двух корней, и если два корня найдены, то других быть не может.

Главный обвинитель: В защиту теоремы Виета вы привели пример уравнения, у которого целые коэффициенты и целые корни. А как быть, если уравнение с целыми коэффициентами имеет дробные корни, если конечно они существуют.

Свидетель защиты: Существует один прием, позволяющий практически с той же степенью легкости находить дробные корни.

(Видеопроектор!)

Комментарии: ах + b х + с = 0, если помножить обе части уравнения на а

(ах) ² = а bх + ас = 0

и положить у = ах, то получится приведенное квадратное уравнение у + b у + ас = 0,

для которого следует подбирать целые корни.

Рассмотрим пример: 21х² - х - 2 = 0 (1)

(21х)² - 21х - 42 = 0

21х = у, у² – y - 42 = 0,

у_] + у₂ = 1 у₁ =7.

y_1* y₂ = -42 у₂ = -6.

Корни уравнения (1): х₁ =-= -; x₂ = =.

Судья: Спасибо за информацию. Что еще можете сообщить суду?

Свидетель обвинения: Хочу обратить внимание присяжных заседателей, что учащиеся 8 классов усомнились в авторитетности теоремы Виета в связи с ее редким применением. Может ли защита опровергнуть это обвинение?

Свидетель защиты: Попробую доказать всем присутствующим здесь, что теорема Виета является одной из самых интересных и заслуживающих внимания.

Теорема Виета позволяет ответить на вопросы задания, не решая самих уравнений. Предлагаю рассмотреть следующую задачу.

(Видеопроектор!)

Комментарии: Корни какого из уравнений обладают свойствами 1) -4)?

Судья: Что скажут присяжные заседатели?

Заседатель: Посовещавшись мы пришли к следующему выводу.

Ответы:

1) х² -6x -16 = 0;

2) х² -6х = 0;

3) х²-10х + 25 = 0;

4) В последнем задании сумма корней уравнения х² - 6х -16 = 0 равно 6, значит сумма корней искомого уравнения должна быть равной 2. Это или уравнение

х² - 2х - 24 = 0, или х² - 2х + 24 = 0. Однако второе уравнение не имеет корней, D<0.

Значит искомое уравнение х² - 2х - 24 = 0.

Защитник: Заслугой теоремы Виета, несомненно, является то, что используя обратную теорему, можно проверить, правильно ли найдены корни квадратного уравнения. (Пример на проекционной доске).

По формуле корней квадратного уравнения находим корни уравнения:

х² + 3х - 40 = 0; х₁ = -8 и х₂ = 5.

Проверка:

х₁ + х₂ = 5 - 8 = -3.

х₁ • х₂ = 5(-8) = -40.

Можно так же выделить квадратные уравнения особого вида, корни которых находятся быстро и легко по теореме Виета.

(видеопроектор)

х2 + 4х - 5 = 0 х2 - 4х + 3 = 0 2х2 - 5х + 3 = 0 Зх2-8х + 5 = 0 -7х2 +13х-6 = 0

Все они обладают одним и тем же свойством. Сумма коэффициентов а+в+с=0 или, если их решить, один из корней равен 1.

Эти квадратные уравнения особого вида. Один корень равен 1, а другой?

Другой находится по теореме Виета. (Пишется на доске.)

Тогда, вторым корнем для данных уравнений будут числа:

1) -5;

2) 3;

3) ;

4);

5).

Можно придумать еще один вид квадратных уравнений, где корни находились бы столь же быстро. Очевидно, надо взять х = -1, тогда а-в+с=0. По теореме Виета второй корень равен -.

Представитель обвинения: Я хочу продемонстрировать несколько примеров, решая которые, благодаря теореме Виета, получил “ двойку”.

1. Найдите сумму, произведение корней уравнения + 17х - 74 = 0.
2. Найдите сумму, произведение и сумму квадратов корней уравнений: а) х- 17х + 145=0; б) х -17х + 74 = 0; в) х-(2 + )х + 4 + = 0.
3. Найдите сумму всех корней уравнения (0,5х+ 4х + 3)(х - 5х + 7) = 0.

Не нужно обладать сколь-нибудь значительным опытом, чтобы определить: каждая из представленных задач решается с помощью теоремы Виета. Любой безошибочно даст верный ответ к первому примеру: сумма корней уравнения х+ 17х - 74 = 0 равна -17, а произведение корней равно -74. Попытка перенести предыдущий опыт на решение второго примера привело к такому итогу: сумма корней уравнения х- 17х + 145 = 0 равна 17, произведение корней равно 145. Используя тождество х + х = (х+ х) -2хх, получил сумму квадратов. Она равна 17- 2*145 = -1. Сумма квадратов двух чисел отрицательна: ошибка логическая!

Что касается уравнения х- 17х + 74 = 0, то х+ х= 17- 2*74 = 141, то в отличие от предыдущего сумма квадратов оказалось положительной. Благодаря теореме Виета допустил ошибки и в других примерах.

Защитник: Действительно существуют два пути, по которым может пойти решающий задачу: истинный, состоящий в оценке дискриминанта, и ложный, связанный с применением теоремы Виета, в этом случае – совершенно бесполезный. Представитель обвинения, зная теорему Виета, упустил из виду важное обстоятельство: условие применимости теоремы. Это условие очевидно: существование у квадратного уравнения корней. Все формальные действия, связанные с суммой и произведением корней квадратного уравнения, законны лишь при выполнении такого требования. Прежде чем производить такие действия, необходимо убедиться в наличии корней.

Мы рассмотрели уравнения, в которых прослеживается зависимость между коэффициентами и корнями. Но, прошу отметить, что теорема Виета достойна восхищения, тем более, что ее можно обобщить на многочлены любой степени. В самом деле, пусть дан многочлен.

(видеопроектор!) f(х) = х +а₁х^-1 +... + а _n-1 х + а_n, l₁,l₂,l₃,l₄,...,l_n его корни. Тогда

a₁ = -(l₁ + l₂ + …+ l_n),

а₂ = + (l_1?l₂ + l_1?l₃ +... + l_n-1 ? l_n)

a₃ = -(l₁?l₂?l₃+ l₁? l₂?l₄+ l_n-2? l_n-1? l_n)

a_n=(-1)ⁿ?l₁?l₂…?l_n

Пример. Решим уравнение.

1) х³-10х²+31х-30 = 0

х₁ + х₂ + х₃ = -(-10).

х₁*х₂* х₃ = -(-30)

Ответ: корни уравнения х₁ = 2, х₂ = 3, х₃ = 5.

2) х⁴ -6х³ +7х² +6х-8 = 0.

х₁ + х₂ +х₃ + х₄ = -(-б).

х₁ * х₂ + х₁ * х₃ *х₁ * х₄ + х₂*х₃+ х₂*х₄+ х₃*х₄ = 7

х₁ * х₂ *х₃+ х₁ * х₂ *х₄+ х₁ * х₃ *х₄+ х₂ * х₃ *х₄ = -6

х₁ * х₂ *х₃ * х₄ = -8

3) х⁵-4х³+2х²+Зх-2 = 0.

х₁ + х₂ + х₃ + х₄ + х₅ = 0.

х₁ * х₂ + х₁ * х₃+ х₁ * х₄ + х₁ * х₅+ х₂ * х₃+ х₂ * х₄+ х₃ * х₅+ х₄ * х₅ = -4

х₁ * х₂* х₃+ х₁ * х₂* х₅+ х₂ * х₃* х₄+ х₂ * х₃* х₅+ х₃ * х₄* х₅+ х₁ * х₃* х₅+ х₁ * х₄* х₅+ х₂ * х₄* х₅

х₁ * х₂* х₃* х₄+ х₁ * х₂* х₃* х₅+ х₂ * х₃* х₄* х₅+ х₁ * х₃* х₄* х₅+ х₁ * х₂* х₄* х₅ = 3

х₁ • х₂ • х₃ • х₄ • х₅ = -(- 2)

Ответ: х₁ = -2, х₂ = -1, х₃ = х₄ = х₅ = 1.

Далее. Формулы Виета сохраняют силу при наличии кратных корней, но в этом случае надо каждый корень писать столько раз, какова его кратность.

Например, если многочлен (пишется на доске). а х² + bх + с имеет кратность два, то

2x = - и x= .

Укажу, наконец, что общая формула корней усложняет решение в случаях, когда коэффициенты уравнения зависят от параметра. В этом случае, неоценимую помощь оказывает теорема Виета.

Например:

(видеопроектор!) При каких значениях параметра а сумма квадратов корней уравнения х² - 2(а + 1)х + а² =0 равна 4.

Решение

По условию уравнение должно быть разрешимо, то есть D * 0 х₁²+х₂² =4,

Где х₁ и х₂ корни уравнения. Значит

х12 + х22 = 4 D >0

D = 4(а + 1)² -4а² =8а + 4,

x₁² + х₂² = (х₁ + х₂)² - 2х₁ • х₂ = 4(а +1)² - 2а² = 2а² + 8а + 4,

т.к. по теореме Виета х₁ + х₂ = 2(а +1), х₁ • х₂ = а². Тогда

Высокий суд! Восьмиклассники с недоверием относятся к теореме Виета.

Как мы видим, теорема Виета применима при решении самых разнообразных задач. Она удостоена чести называться самым знаменательным утверждением школьной алгебры.

Судья: Слушание представителей обвинения и защиты завершено. Суд предоставляет заключительное слово главному обвинителю.

Обвинитель: Уважаемые судьи! Мы поняли, что мы теорему Виета обвиняли незаслуженно. Но теперь мы обвиняем программу, в том, что она мало уделяет внимания теореме Виета. Кроме того, изучение только части теоремы Виета, не дает нам права обвинять теорему, что она малоупотребительна.

Судья: Заключительное слово предоставляется главному защитнику.

Защитник: Граждане судьи и присяжные заседатели!

Никогда еще на протяжении своей профессиональной карьеры, я не приступал к делу с чувством такой глубокой ответственности за дело о защите прав теоремы Виета. Ибо как мы смогли сегодня убедиться, все обвинения против нее оказались необоснованными.

Теорема Виета необходима не только при решении квадратных уравнений. Она незаменима при решении задач, связанных с практической деятельностью. Например, если нужно разбить сад, у которого известна площадь и периметр.

Теорема Виета позволяет составлять задания, что особенно необходимо для развития сообразительности и логического мышления.

Еще долго великий Франсуа Виет и его знаменитая теорема будут будоражить умы не только школьников, но и ученых всего мира.

Теорема. Виета является основополагающим звеном в стройной системе алгебры. Нет никаких сомнений, что Франсуа Виет достоин нашего восхищения и почитания.

Защита требует, чтобы отныне и во веки веков в школах изучали, изучая алгебру, теорему Виета, и чтобы ученики 8 класса будучи несдержанными, самонадеянными, основательно изучали теорему Виета и знали, что Франсуа Виет "отец алгебры"

Судья: Слушание представителей обвинения и зашиты завершено. Судебная коллегия под председательством в присутствии присяжных изучив обстоятельства дела, документы экспертизы и заслушав показания защиты и обвинителей по делу "С теореме Виета" отмечает следующее:

1) соответственно статье первой Конституции, что для уравнения  aх² +bх + с = 0 и его корни х₁ и х₂ верно, что х₁ + х₂ = - и х₁ • х₂ =

2) согласно статье второй, если х₁ и х₂ таковы, что х₁ + х₂ = - р и

x₁ • x₂ =q, то х² + рх + q = 0.

3) на основании статьи третьей устав школы и утвержденная министерством образования программа на данный период не подлежит к изменению.

Таким образом, обвинения в малоупотребительности теоремы Виета беспочвенны.

Суд так же отмечает важность изучения теоремы Виета, т.к. с нею связана цивилизованность государства "Алгебра".

Для оглашения приговора прошу всех встать.

Приговор.

Именем Основного Закона независимой страны "Алгебра" суд по делу "Изучение теоремы Виета'' постановляет:

1) все обвинения, выдвинутые против теоремы Виета считать необоснованными;

2) обязать учащихся 8 класса, уделить больше внимания теореме Виета, видеть возможности ее применения.

3) обязать учащихся изучать дополнительный материал, касающийся жизни и деятельности Франсуа Виета и его последователей для более глубокого понимания их учения.

Литература:

1. Пичугин Л.Ф. За страницами учебника алгебры.
2. “Журнал "Математика в школе"” 1992.№4-5.
3. Дорофеев Г.В.Квадратичная функция и ее свойства.
4. Шуба И.Ю. Занимательные задания в обучении математике.
5. Мочалов В.В., Сильвестров В.В. Уравнения и неравенства с параметрами.