В процессе обучения математике в средней общеобразовательной школе ученикам приходится решать огромное количество задач (подсчитано [1], что более 20 тысяч). Тем не менее, многие, даже очень хорошо подготовленные ученики часто оказываются в недоумении при встрече с задачей, алгоритм решения которой им не известен. Понять ученика можно: решение содержательной математической задачи носит творческий характер, а как учить детей математическому творчеству – вопрос непростой и мало разработанный в современной педагогике.
Мы рассматриваем процесс решения задачи с позиции применения эвристических приемов, т.е. таких приемов, которые позволяют вести поиск способов решения проблемы. Установлено [2], что эвристические приемы можно разбить на три группы: общие приемы, специальные (предметные) эвристические приемы, отражающие специфику сферы деятельности, в которой решается проблемная задача, и частные (проблемные) приемы, которые применяются для решения определенного круга задач, могут обобщаться в специальные методы, алгоритмы. К общим эвристическим приемам относятся: акцентуация, варьирование объекта, редукция, реверсия, трансляция, варьирование условий.
Весь процесс решения задачи, вслед за Д. Пойа [3], разобьем на четыре этапа: 1) анализ задачи; 2) поиск решения задачи; 3) осуществление плана решения; 4) оценка решения задачи. Очевидно, на каждом из этих этапов решающий проводит целую цепочку эвристических рассуждений, связанных с построением и проверкой гипотез, поиском преобразований, позволяющих свести решаемую задачу к выполнению уже известных ему операций, для продвижения к цели – нахождению решения задачи.
Исходя из позиций деятельностного подхода, мы считаем важным знакомить учеников с возможными действиями не только (и не столько) предметного, в частности, математического характера, сколько с общеучебными приемами, позволяющими организовать и контролировать свою работу.
Учителю, особенно работающему с учениками по решению задач повышенного уровня сложности, по подготовке к олимпиадам, необходимо вооружить своих учеников общей схемой деятельности по решению задач. Один из вариантов такой схемы мы предлагаем внимаю читателей.
I-й этап. Анализ задачи1.1. Прочитай текст задачи два раза:
– При чтении в первый раз обрати особое внимание на термины, содержащиеся в тексте, выдели для себя, какие объекты “участвуют” в задаче, что с ними “происходит”.
– При чтении во второй раз приступай к моделированию: это значит, что каждый “кусочек” задачи ты пробуешь перевести на другой язык; читая каждый “кусочек” ты сопровождаешь чтение составлением чертежа, схемы, таблицы, графика, и т.п. Как правило, удобно “переписать” условие задачи, используя схему “Дано:..., Найти (доказать):..., Решение (доказательство):...”.
1.2. Проверь, все ли данные ты выделил, перечитав текст задачи. Перескажи себе, в чем состоит требование задачи: что нужно найти или доказать.
II-й этап. Поиск решения задачи2.1. Если ты успешно справился с предыдущей работой, возможно, ты уже вспомнил похожую задачу, и знаешь, как надо действовать.
2.2. Если полученная модель не дает тебе идеи к решению, попробуй привлечь дополнительные средства, которые помогут тебе привести задачу к узнаваемой ситуации. Для этого можно попробовать:
– выделить ключевой объект (“бяку”), выделить определенные отношения (например, если есть процесс – ищи инвариант);
– произвести комбинирование объектов: перестановку, перевертывание, разъединение, достраивание, перегруппировку, добавление вспомогательного элемента (фигуры, неизвестного и т.п.);
– изменить объект: произвести упрощение путем тождественных преобразований, преобразовать форму или размеры, увеличить, уменьшить, сделать “малые шевеления” и т.п.;
– заменить объект другим объектом, переместить, использовать предельный переход, заменить какое-либо из условий более сильным или более слабым утверждением, оценить величину и рассмотреть ее наибольшее или наименьшее значение. Хорошие помощники в этом деле – определения, свойства (теоремы), формулы; они подскажут тебе, какие еще свойства можно рассмотреть.
2.3. Можно попробовать решить задачу обходным путем: произвести преобразование во времени и в пространстве, ввести систему координат, “выйти” из плоскости в пространство или наоборот; включить объект в другую структуру, рассмотреть его совместно с другими объектами (равными, подобными и т.д.).
III-й этап. Осуществление плана решения3.1. Четко фиксируй все, что ты пытаешься сделать, записывай свое решение. В ходе решения, возможно, тебе придется несколько раз пробовать различные преобразования, отказывать от одной идеи и браться за другую. Все это зависит от сложности задачи. Если попытки безуспешны, возможно, ты просто “не увидел” какой-то мелочи или допустил “глупую” ошибку. Стоит отвлечься от решения и переключиться на что-либо другое, просто отдохнуть.
3.2. Иногда имеет смысл повторить все свои рассуждения: а вдруг как раз увидишь ту самую “мелочь”, из-за которой ты не мог продвинуться в решении.
3.3. Еще одно соображение, которое может тебе помочь: иногда можно пойти от противного: пробовать представить, что задача уже решена и пойти в направлении от ответа (заключения) к условию. В конце концов, стоит посомневаться, верно ли утверждение задачи. При хороших рассуждениях в этом направлении можно “нащупать” доказательство “от противного”, контрпример. А может быть при таких данных задача вообще не решаема? Тогда хороший математик начинает искать условия, при которых она может быть решена.
3.4. Рано или поздно тебе должна прийти в голову общая схема решения. Не забывай только заботиться о двух вещах:
- какие бы приемы ты не пробовал, ситуация задачи должна измениться так, что ты “зацепишься” за уже решенную ранее задачу;
- каждый раз, пробуя какую-либо идею или отказываясь от нее, еще раз посмотри на то, что дано и то, что требуется, чтобы не упустить чего-либо важного.
Если все в порядке, ты почувствуешь необыкновенный прилив сил, и дорешаешь задачу “на одном дыхании”.
IV-й этап. Оценка решения задачи4.1. Не торопись записать ответ. Просмотри (а еще лучше – проговори) все этапы решения. Проверь еще раз, нет ли у тебя ошибок в вычислениях и рассуждениях. Проверь, правдоподобен ли ответ, соответствует ли он здравому смыслу, нет ли в твоем доказательстве ссылок на сомнительные утверждения. Если все в порядке – ты просто молодец!
4.2. Не торопись записать ответ. Подумай, всегда ли решаема данная задача, какие условия можно было бы изменить и как. Может быть, ты сможешь обнаружить что-то, что может оказаться полезным при решении других задач.
4.3. Запиши ответ. Поздравляем, твоя задача решена!
Следует заметить, что приведенная схема с успехом может быть использована не только в процессе решения математической задачи, но и при решении любой проблемы, причем не только учебной. Так что работа ученика будет иметь не только учебный, но, что важнее, и развивающий и воспитывающий эффект.
Литература:
- Фридман Л.М. Теоретические основы обучения математике: Учебное пособие. – изд. 2-е, испр. и доп. – М.: Едиториал УРСС, 2005. – 248 с.
- Мугаллимова С.Р. О видах эвристических приемов // Омский научный вестник – 2006 – №9. – С. 107-109.
- Пойа Д. Как решать задачу. – Львов. Журнал “Квантор”, 1991. – 215 с.
- Уфнаровский В.А. Математический аквариум. – Ижевск: Ижевская республиканская типография, 2000 – 216 с.