Программа учебного курса "Практикум по математике", 10-й класс

Цель и задачи данного курса можно выразить словами математика Д. Пойа: “Что значит владение математикой? Это есть умение решать задачи, причем не только стандартные, но и требующие известной независимости мышления, здравого смысла, оригинальности, изобретательности”.

Курс “Практикум по математике” рассчитан на 50 учебных часов в 10 классе с углубленным изучением математики (1,5 часа в неделю) и состоит из трех основных блоков: “Планиметрические задачи на построение”, “Задачи оптимизации с точки зрения элементарной математики”, “Элементарное введение в функциональные уравнения”.

Тематика этих блоков выбрана не случайно. Многолетняя практика работы в классах с углубленным изучением математики показывает, что задачи по предлагаемым темам традиционно вызывают затруднения у выпускников школы. Причины этого разнообразны. Изучение некоторых вопросов (“Элементарное введение в функциональные уравнения”) не предполагает Программа по математике для школ (классов) с углубленным изучением математики, хотя на вступительных экзаменах в вузы они встречаются, а также нередки на олимпиадах различного уровня (в том числе вузовских, результаты которых иногда приравниваются к результатам вступительных испытаний). На изучение некоторых достаточно непростых вопросов на уроках отводится крайне мало времени, в результате чего не все школьники овладевают устойчивым навыком в их решении (“Задачи оптимизации с точки зрения элементарной математики”). И, наконец, на рассмотрение задач по определенным темам отводится вроде бы достаточное количество часов, однако рассмотрение разнообразных методов и приемов их решения разбросано во времени, в результате чего у обучающихся они недостаточно систематизированы. Это не может не отразиться негативно на качестве умений школьников решать такие задачи (“Планиметрические задачи на построение”)

Как показала практика, решение этих проблем во внеклассной работе (во внеурочное время) недостаточно эффективно по ряду причин, в большинстве своем объективных: происходит значительное увеличение учебной нагрузки обучающихся за рамками учебного расписания уроков, возникают сложности в организации этих занятий с точки зрения времени проведения, удобного для большинства школьников, и т.п. Поэтому рассмотрение названных выше учебных вопросов именно на уроках видится наиболее целесообразным.

Блок №1. “Планиметрические задачи на построение”.

Данный  блок расширяет курс планиметрии 8-9 класса,  систематизирует и углубляет знания и умения школьников по данной теме, знакомит  с   нестандартными,   интересными   подходами  при  решении задач на построение.

Роль задач на построение в математическом развитии школьников трудно переоценить. Посредством задач на построение более глубоко осознаются теоретические сведения об основных геометрических фигурах, так как в процессе решения этих задач ученик создает наглядную модель изучаемых свойств и отношений и работает с этой моделью. Задачи на построение способствуют пониманию учащимися происхождения различных геометрических фигур, возможности их преобразования – всё это является важной предпосылкой развития пространственного мышления школьников (следовательно, способствует более успешному усвоению курса стереометрии 10-11 классов). Эти задачи развивают логическое мышление, геометрическую интуицию. План решения любой задачи на построение – цепочку основных построений, приводящих к цели – можно рассматривать как некоторый алгоритм и, следовательно, в процессе решения задач на построение совершенствуются элементы алгоритмической культуры школьников. Задачи на построение развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, что очень важно в формировании умений и навыков умственного труда. Решение задач на построение развивает такие качества личности, как внимание, настойчивость и целеустремленность, инициативу, изобретательность, дисциплинированность, трудолюбие.

Блок №2. “Задачи оптимизации с точки зрения элементарной математики”.

Задачи, связанные с поиском наибольших и наименьших значений различных величин, неспроста пользуются большой популярностью у составителей экзаменационных заданий: ведь чтобы решить подобную задачу, абитуриенту приходится комбинировать приемы и методы из различных разделов школьного курса математики. А, значит, с помощью таких задач легко определить степень широты и глубины его математической подготовки.

Стало традицией применять производную в любой задаче оптимизации. Однако при решении целого ряда таких задач это приводит к неоправданно громоздким вычислениям и, как следствие, к большим затратам времени и арифметическим ошибкам. Эти недостатки оказываются легко устранимыми, если при решении таких задач использовать другие способы решения — алгебраические и геометрические, которыми пользовались в течение веков, пока не было изобретено дифференциальное и интегральное исчисление. Но даже после разработки методов математического анализа приемы алгебры и геометрии не забыты, а во многих случаях оказываются предпочтительнее новых методов. Вряд ли стоит закрывать глаза на этот факт и обращаться к производным даже в тех случаях, когда легче обойтись без них.

Данный блок “Практикума по математике” посвящен рассмотрению этих методов.

Кроме того, задачи на вычисление наибольших и наименьших значений функции средствами элементарной математики нередко являются частью более сложных задач (например, уравнений, в которых наименьшее значение левой части совпадает с наибольшим значением правой части), относящихся к разряду нестандартных.

Блок №3. “Элементарное введение в функциональные уравнения”

На вступительных экзаменах в ряде вузов (например, МГУ) нередко предлагаются задачи на решение функциональных уравнений, неравенств и их систем. Задачи эти необычны как по внешней форме, так и по методам решения, и очень немногие выпускники школ умеют их решать. Рассматриваемый блок “Практикума по математике” призван приоткрыть перед школьниками завесу одного из старых, но до сих пор мало изученных разделов математического анализа. Однако решение отдельных функциональных уравнений требует тонкого понимания основных вопросов анализа и искусного их применения. Поэтому данный блок посвящен лишь первому знакомству с теорией решения функциональных уравнений, в нем основные виды таких уравнений и методы их решения иллюстрируются примерами экзаменационных задач и задач школьных олимпиад.

Подводя итог сказанному выше, можно сделать вывод о том, что овладение материалом всех блоков рассматриваемого “Практикума по математике” способствует подготовке выпускников средней школы к успешному поступлению в технические вузы и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Содержание обучения

1. Планиметрические задачи на построение

Построения с помощью циркуля и линейки: экскурс в историю

Исторические факты развития геометрических построений, их значимость в современной жизни.    Решение проблемы  разрешимости   геометрических  задач  на построение.

Методы решения геометрических задач на построение

Метод геометрических мест точек. Метод осевой симметрии. Метод поворота. Метод параллельного переноса. Метод подобия. Алгебраический метод.

Задачи с недоступными точками(задачи с ограничениями)

Задачи, в условии которых встречается треугольник, у которого одна или несколько вершин недоступны, например, задачи на нахождение центров вписанной и описанной окружностей для треугольника, вершины которого недоступны, определение построением длин сторон такого треугольника и др.

Построения  при помощи  односторонней линейки

Примеры построений Штейнера (“Геометрические   построения, выполняемые  с помощью   прямой линии  и   неподвижного   круга”). 

Построения  при  помощи  двусторонней   линейки

Правила  пользования  линейкой. Построение биссектрисы  данного  угла.   Построение центра  окружности, вписанной   в  данный  треугольник. Удвоение   данного  угла.  Деление  отрезка   пополам.  Построение  центра   окружности, описанной  около данного   треугольника.  Удвоение данного отрезка.   Проведение  перпендикуляра  к  прямой   через  точку,  принадлежащую  этой   прямой.  Проведение  через данную точку   прямой,  параллельной  данной  прямой.

 Построения  с  помощью одного   циркуля

Построение  точки  диаметрально   противоположной  данной точке   окружности. Построение  перпендикуляра   из данной  точки на  данную  прямую. Построение  прямой через данную точку,   параллельную известной  прямой.   Построение  касательной  к  данной   окружности  через данную  точку. 

2. Задачи оптимизации с точки зрения элементарной математики

Методы решения формальных задач оптимизации

Решение задач, условие которых содержит конкретно заданную функцию с требованием найти её наибольшее и/или наименьшее значения, следующими методами:

• замена переменной, с помощью которой решение может быть сведено к исследованию квадратного трехчлена на некотором промежутке;
• применение стандартных неравенств:

- неравенство между средним арифметическим и средним геометрическим двух неотрицательных чисел (неравенство Коши) , а также его следствие для положительных чисел a и b и любого отличного от нуля действительного числа t;
- неравенство ;
- неравенство ;
- неравенство ;
- неравенство ;

• использование определения возрастающей (убывающей) функции;
• исследование элементарными приемами множества значений функции.

Неформализованные задачи оптимизации

Решение задач (арифметических, текстовых, геометрических), в которых оптимизируемая величина задана описательно. Важным этапом в решении таких задач является процедура их формализации, т.е. построение подходящей математической модели, такой, что элементы множества, на котором определена оптимизируемая величина, отождествляются со значениями специально выбранной числовой независимой переменной х и тогда сама оптимизируемая величина является конкретной функцией от х, а исходная задача равносильна нахождению наименьшего или наибольшего значения этой функции на множестве допустимых значений переменной х.

3. Элементарное введение в функциональные уравнения

Основные понятия теории функциональных уравнений

Определение функционального уравнения и его решения; классы функций, в которых ищется решение; задачи на доказательство или опровержение утверждения о том, что указанная функция является решением конкретно заданного функционального уравнения.

Виды функциональных уравнений и методы их решения

Параметризуемые уравнения (т.е. те, в которых требуется найти решение в классе функций из некоторого параметрического семейства, например, линейных или квадратичных). Общие функциональные уравнения: уравнения, в которых неизвестная функция зависит от одной переменной и не содержит свободных переменных; уравнения, в которых неизвестной является функция одной переменной, а в уравнении содержатся две (или более) независимые переменные. Решение этих уравнений методом подстановки. Классические функциональные уравнения Коши. Функциональные уравнения для последовательностей.

В результате изучения курса “Практикум по математике” обучающиеся

д о л ж н ы  з н а т ь:

• основные методы решения

планиметрических задач на построение;
задач оптимизации без использования аппарата математического анализа;
простейших функциональных уравнений;

д о л ж н ы  у м е т ь:

• владеть основными методами и приемами решения задач по темам, рассматриваемым в ходе изучения данного курса;
• осуществлять выбор наиболее рационального метода решения задачи и аргументировать сделанный выбор;
• давать теоретические обоснования при решении задач, опираясь на факты школьного курса математики;
• рассказывать свои решения задач у доски доступно для слушателей, но на достаточно высоком научном уровне;
• защищать свою точку зрения;
• проверять чужие решения задач, находить ошибки в ключевых утверждениях решения и/или существенные пробелы в обоснованиях или плане решения;
• работать в коллективе;
• самостоятельно работать с дополнительными источниками информации.

Тематическое планирование

1 полугодие – 2 часа в неделю, 2 полугодие -1 час в неделю (всего 50 часов)

Методические рекомендации по изучению курса

Успешность решения задач курса во многом зависит от организации учебного процесса. Учитель вправе самостоятельно выбрать методические пути и организационных форм обучения. Однако при этом рекомендуется обратить внимание на некоторые положения, изложенные ниже.

1. Последовательность рассмотрения блоков 1-3 данного “Практикума” не нарушает логического соответствия рассмотрению учебного материала на уроках алгебры и математического анализа и геометрии, а именно:

• Изучение блока №1 “Планиметрические задачи на построение” опирается на материал основной базовой школы, способствует его повторению и систематизации, развитию пространственного воображения школьников и, как следствие, - более успешному освоению параллельно изучающихся на уроках геометрии первых тем курса стереометрии 10-11 классов.
• Изучение блока №2 “Задачи оптимизации с точки зрения элементарной математики” предваряет изучение темы “Приложение производной функции к решению задач на нахождение наибольшего и наименьшего значений функции”, расширяет базу средств решения таких задач и подводит учащихся к мысли о необходимости осуществления выбора наиболее рационального метода их решения.
• Изучение блока №3 “Элементарное введение в функциональные уравнения” базируется на знании материала по теме “Функции и последовательности” курса алгебры и математического анализа 10 класса и расширяет его.

Однако все эти блоки достаточно автономны и, при желании, некоторые из них можно поменять местами.

Программа не исключает возможности изучения курса с различной степенью полноты, что позволяет учителю, включая или исключая некоторые из рекомендуемых вопросов, варьировать объём изучаемого материала в зависимости от конкретных условий.

В разделе “Тематическое планирование” предлагается вариант планирования, ориентированный на использование любых доступных учителю учебных и методических пособий для изучения курса. Учитель имеет право варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, включать в них некоторые дополнительные теоретические вопросы.

2. При изучении курса приветствуется использование активных форм проведения уроков: дискуссий, занятий-обсуждений, консультаций, уроков-боев, а также с целью интенсификации уроков “Практикума” целесообразно использование компьютерных технологий.

3. При организации занятий на “Практикуме по математике” целью должно являться не только формирование умений решать задачи конкретных типов, но и выработка навыков владения различными математическими методами и приемами.

При решении задач только одним способом у учащихся единственная цель — найти правильный ответ. Если же требуется применить при этом несколько способов, школьники стараются отыскать наиболее оригинальное, красивое, экономичное решение. Все это активизирует учебную деятельность школьников, прививает интерес к предмету. Обычно на уроке “Практикума по математике” в классе при рассмотрении нового материала предполагается решение задачи одним способом. Поиск других способов дается на дом. Задачи, решаемые несколькими способами, используются при итоговом повторении какого-либо раздела программы. При изучении предлагаемого курса это особенно приветствуется при проведении “урока-боя”. Решение задач различными способами предоставляет большие возможности для совершенствования обучения математике, т.к. систематическая, планомерная и настойчивая работа в привитии учащимся навыков в отыскании различных способов решения задач способствует развитию приемов логического поиска, который, в свою очередь, развивает исследовательские способности учащихся.

4. Формы организация промежуточного и итогового контроля:

• Содержание самостоятельных работ обучающего характера с последующей проверкой и обсуждением результатов и самостоятельных работ с целью определения степени сформированности определенного умения и/или навыка выбирает и разрабатывает учитель, учитывая складывающуюся образовательную ситуацию: уровень подготовки школьников к началу изучения “Практикума”, темп освоение тем курса, возникающие при этом трудности в изучении и т.п.
• Программа предусматривает проведение контрольной работы по окончании изучения темы № 2 курса.
• Проведение зачета как формы итогового контроля предлагается по окончании изучения блока №1.
• Подведение итогов изучения курса в конце учебного года предлагается организовать в форме защиты творческих проектов .