Программа учебного курса "Практикум по математике", 11-й класс

Курс “Практикум по математике” рассчитан на 68 учебных часов в 11 классах с углубленным изучением математики (2 часа в неделю) и является продолжением курса “Практикум по математике” для 10 класса. Он состоит из трех основных блоков: “Нестандартные задачи”, “Алгебраические задачи с параметрами”, “Многофигурные стереометрические задачи”.

Тематика этих блоков выбрана не случайно. Многолетняя практика работы в классах с углубленным изучением математики показывает, что задачи по предлагаемым темам традиционно вызывают затруднения у выпускников школы. Причины этого разнообразны. На изучение некоторых достаточно непростых вопросов на уроках отводится крайне мало времени, в результате чего не все школьники овладевают устойчивым навыком в их решении (“Многофигурные стереометрические задачи”). А на рассмотрение задач по определенным темам отводится вроде бы достаточное количество часов, однако рассмотрение разнообразных методов и приемов их решения разбросано во времени, в результате чего у обучающихся они недостаточно систематизированы. Это не может не отразиться негативно на качестве умений школьников решать такие задачи (“Нестандартные задачи”, “Алгебраические задачи с параметрами”).

Как показала практика, решение этих проблем во внеклассной работе (во внеурочное время) недостаточно эффективно по ряду причин, в большинстве своем объективных: происходит значительное увеличение учебной нагрузки обучающихся за рамками учебного расписания уроков, возникают сложности в организации этих занятий с точки зрения времени проведения, удобного для большинства школьников, и т.п. Поэтому рассмотрение названных выше учебных вопросов именно на уроках видится наиболее целесообразным.

Блок № 1 “Нестандартные задачи”

Данный блок включает задачи, не решаемые традиционными школьными алгоритмами. Обычно подобные задачи условно называют нестандартными. Эти задачи бывают разных видов, однако, их можно разделить на два типа: нестандартные и стандартные с точки зрения внешнего вида.

К первому типу можно отнести задачи, необычность условия которых сразу бросается в глаза. Такие задачи представляют нечто вроде “функционального винегрета”, т.е. их конструируют функции из различных разделов школьной математики. Уже “внешний вид” подобной задачи подсказывает, что для ее решения надо придумать что-то нетрадиционное.

Задачи второго типа внешне выглядят стандартно, но стандартными приемами они не решаются (либо решаются крайне нерационально, с очень большими затратами времени). Поэтому для решения подобных задач особенно важны такие качества школьника, как сообразительность, интуиция, высокая логическая культура.

Данный блок “Практикума” ставит своей целью систематизацию различных, основанных на материале программы средней школы, методов решения таких задач.

Блок № 2 “Алгебраические задачи с параметрами”.

Владение приемами решения задач с параметрами по праву считают критерием знаний основных разделов школьной математики, уровня математического и логического мышления.

Среди задач вступительных экзаменов в вузах, где к знаниям абитуриентов по математике предъявляются высокие требования, задачи с параметрами достаточно популярны. Это не случайно. Теоретическое изучение и математическое моделирование многообразных процессов из различных областей науки и практической деятельности человека часто приводят к достаточно сложным уравнениям, неравенствам или их системам, содержащим параметры. Можно сказать, что задачи с параметрами, предлагающиеся на конкурсных экзаменах, являются упрощенным прообразом подобных важных научно-исследовательских задач, которые предстоит решать будущим научным сотрудникам. Как показывает практика, вероятность того, что абитуриент без целенаправленной специальной подготовки в этом направлении успешно справится с подобными задачами, невелика.

Основная задача данного блока – совершенствование и систематизация знаний и практических умений выпускников средней школы по данной теме.

Блок №3 “Многофигурные стереометрические задачи”

В стереометрии задачи на комбинации сфер (шаров) с многогранниками традиционно являются одними из самых сложных и интересных. При решении таких задач важно уметь проводить методически грамотный анализ конфигурации, правильно понимать условия взаимного расположения сферы (шара) с геометрическими объектами, иметь хорошее геометрическое воображение. Как правило, только в этом случае удается сложную пространственную задачу разложить в цепочку более простых.

Разнообразие вариантов взаимного расположения и трудности геометрического представления делают эту тему очень популярной на выпускных экзаменах, ЕГЭ, вступительных экзаменах в ведущие вузы России.

Данный блок “Практикума” направлен на отработку навыков решения подобных стереометрических задач и развитие геометрического воображения.

Подводя итог сказанному выше, можно сделать вывод о том, что овладение материалом всех блоков рассматриваемого “Практикума по математике” способствует подготовке выпускников средней школы к успешному поступлению в технические вузы и продолжению образования, а также к профессиональной деятельности, требующей достаточно высокой математической культуры.

Содержание обучения

1. Нестандартные задачи

Решение уравнений, неравенств и их систем следующими методами:

• Метод оценки границ, в которых могут лежать значения каждой из частей заданного уравнения или неравенства.
• Метод тригонометрической подстановки, упрощающей алгебраическую структуру выражения.
• Метод геометрической подстановки в решении задач, когда можно:

1. изобразить соответствующие уравнениям или неравенствам кривые или области в декартовой системе координат и рассмотреть их взаимное расположение;
2. истолковать уравнение или неравенство как алгебраическое соотношение между длинами сторон и углами в каких-либо геометрических фигурах (треугольник, параллелограмм и т.п.), пользуясь теоремами геометрии (теорема синусов, теорема косинусов и т.п.);
3. интерпретировать уравнение или неравенство в виде соотношения между векторами, используя запись операции с векторами в координатной форме (сложение, вычитание векторов, скалярное произведение и т.п.)

• Использование симметрии алгебраических выражений, т.е. того факта, что уравнение, неравенство или их система не меняет своего вида при какой-либо циклической замене переменных местами, изменения их знаков и т.п.
• Использование общих свойств функции: монотонности, периодичности, четности-нечетности.
• Использование для доказательства равенств и решения уравнений свойств пропорции, а именно - использование для известной пропорции (b) производных пропорций (соответственно).
• Решение методом замены функций некоторых (содержащих модули, корни, а также показательных, логарифмических) достаточно сложных (хотя и стандартных) неравенств, в результате чего удается избежать громоздкого решения традиционным способом (например, обобщенным методом интервалов).
• Использование свойств абсолютной величины:
  при ав
  при ав
  при в(а-в)0
  при в(а+в)0
  при ав<0
  при ав>0 и др.

2. Алгебраические задачи с параметрами

Аналитическое решение основных типов задач.

Рассматриваются следующие типы задач:

• задачи, где параметр “управляет” поиском значений переменной (для решения используется “метод ветвления” - разбор различных случаев в зависимости от определенных значений параметра);
• задачи, в условии которых параметр связан с количеством решений уравнения, неравенства или их систем;
• задачи, в условии которых параметр связан со свойствами решений уравнения, неравенства или их систем;
• задачи, метод решения которых основан на рассмотрении параметра в качестве переменной, “равноправной” с другими, присутствующими в задаче.

Свойства функций в аналитическом решении задач с параметрами.

Использование функционального подхода к рассмотрению аналитических выражений, конструирующих уравнение (неравенство, систему).

Рассматриваются следующие типы задач:

• задачи, условие которых содержит непосредственное требование поиска множества значений функции;
• задачи, условие которых не содержит прямой подсказки использовать множество значений функции; такая необходимость возникает в ходе решения;
• задачи, в решении которых множество значений функции помогает найти далеко не очевидную замену переменной, чаще – тригонометрическую подстановку;
• задачи, условие которых может привлекать не все множество значений, а лишь некоторые (характерные) его элементы – наибольшее и наименьшее значения функции;
• задачи, решение которых основано на свойствах монотонности, четности и периодичности функций.

Графические приемы: координатная плоскость (х; у).

Прием решения задач, в которых параметру отводится роль, неравноправная с переменными, - построение графического образа на координатной плоскости (х; у).

Рассматриваются следующие преобразования плоскости, позволяющие перейти на плоскости (х; у) от одной кривой семейства у=f(x; a), где “а” – параметр, к другой:

• параллельный перенос;
• поворот;
• гомотетия.

Графические приемы: координатная плоскость (х; а).

Прием решения задач, в которых параметру отводится роль, равноправную с переменными, - построение графического образа на координатной плоскости (х; а), где “а” – параметр, и получение нужной информации пересечением полученного графика прямыми, перпендикулярными параметрической оси.

Для наиболее полного раскрытия возможностей этого метода, рассматривается его применение для решения основных типов задач, которые ранее решались аналитическими методами:

• параметр и количество решений уравнения, неравенства и их систем;
• параметр и свойства решений уравнения, неравенства и их систем;
• параметр и поиск решений уравнения, неравенства и их систем – метод “ветвления”.

Методы поиска необходимых условий.

Рассматриваются задачи, в которых непосредственный поиск значений переменной затруднен, но возможно выделение необходимых условий для получения ответа, а затем от необходимых условий осуществляется переход к достаточным, т.е. к ответу.

Методы решения таких задач:

• использование симметрии аналитических выражений;
• выбор “выгодной” точки и др.

3. Многофигурные стереометрические задачи

Так как ребра многогранников – отрезки прямых, а их грани – части плоскостей, то рассмотрение конфигурации многогранника и шара (или нескольких многогранников и шаров) сводится к рассмотрению задач, в условии которых говорится о пересечении или касании прямых и плоскостей с шаром:

• пересечение шара с гранями и ребрами многогранника;
• шар, описанный около многогранника;
• касание шара граней многогранника;
• шар, вписанный в многогранник;
• касание шара ребер многогранника.

Требования к математической подготовке обучающихся

В результате изучения курса “Практикум по математике” обучающиеся

д о л ж н ы  з н а т ь:

• основные методы решения

“нестандартных” задач;
задач с параметрами;

• основные типы задач на комбинацию многогранников и сфер (шаров) в многофигурных стереометрических задачах и приемы их решения.

д о л ж н ы  у м е т ь:

• владеть основными методами и приемами решения задач по темам, рассматриваемым в ходе изучения данного курса;
• осуществлять выбор наиболее рационального метода решения задачи и аргументировать сделанный выбор;
• давать теоретические обоснования при решении задач, опираясь на факты школьного курса математики;
• рассказывать свои решения задач у доски доступно для слушателей, но на достаточно высоком научном уровне;
• защищать свою точку зрения;
• проверять чужие решения задач, находить ошибки в ключевых утверждениях решения и/или существенные пробелы в обоснованиях или плане решения;
• работать в коллективе;
• самостоятельно работать с дополнительными источниками информации.

Тематическое планирование

2 часа в неделю (всего 68 часов)

Методические рекомендации по изучению курса

Успешность решения задач курса во многом зависит от организации учебного процесса. Учитель вправе самостоятельно выбрать методические пути и организационных форм обучения. Однако при этом рекомендуется обратить внимание на некоторые положения, изложенные ниже.

1. Последовательность рассмотрения блоков 1-3 данного “Практикума” не нарушает логического соответствия рассмотрению учебного материала на уроках алгебры и математического анализа и геометрии, а именно:

• Изучение блоков № 1 “Нестандартные задачи” и № 2 “Задачи с параметрами” основывается на уже изученном материале курса алгебры и математического анализа 10-11 классов.
• Изучение блока № 3 “Многофигурные стереометрические задачи” соответствует завершающему этапу изучения школьного курса стереометрии, способствует его повторению и систематизации.

Программа не исключает возможности изучения курса с различной степенью полноты, что позволяет учителю, включая или исключая некоторые из рекомендуемых вопросов, варьировать объём изучаемого материала в зависимости от конкретных условий.

В разделе “Тематическое планирование” предлагается вариант планирования, ориентированный на использование любых доступных учителю учебных и методических пособий для изучения курса. Учитель имеет право варьировать число часов, отводимых на ту или иную тему, включать в них некоторые дополнительные теоретические вопросы.

2. При изучении курса приветствуется использование активных форм проведения уроков: дискуссий, занятий-обсуждений, консультаций, уроков-боев, а также с целью интенсификации уроков “Практикума” целесообразно использование компьютерных технологий.

3. При организации занятий на “Практикуме по математике” целью должно являться не только формирование умений решать задачи конкретных типов, но и выработка навыков владения различными математическими методами и приемами.

4. Формы организация промежуточного и итогового контроля:

1. Содержание самостоятельных работ обучающего характера с последующей проверкой и обсуждением результатов и самостоятельных работ с целью определения степени сформированности определенного умения и/или навыка выбирает и разрабатывает учитель, учитывая складывающуюся образовательную ситуацию: уровень подготовки школьников к началу изучения “Практикума”, темп освоение тем курса, возникающие при этом трудности в изучении и т.п.
2. Программа предусматривает проведение контрольных работ по окончании изучения тем №1 и №2 курса.
3. Подведение итогов изучения курса в конце учебного года предлагается организовать в форме защиты творческих проектов .