Обобщающий урок в 10-м классе (профильный уровень) по теме "Приемы решения тригометрических уравнений"

Разделы: Математика

Цели урока:

  1. систематизировать, обобщить, расширить знания и умения учащихся, связанные с применением методов решения тригонометрических уравнений;
  2. способствовать развитию навыков самостоятельного применения знаний при решении тригонометрических уравнений, в том числе нестандартными способами;
  3. формировать познавательную мотивацию и эмоциональную включенность учащихся в учебный процесс;
  4. подготовить учащихся к контрольной работе по теме: “Приемы решения тригонометрических уравнений”.

Оборудование урока:

  • мультимедийный проектор,
  • карточки,
  • рабочие листы с элементами самооценки,
  • наборы заданий.

Ход урока

I. Организационный момент.

– На уроке поговорим о методах решения тригонометрических уравнений. Правильно выбранный метод упрощает решение, познакомимся с нестандартными приемами решений уравнений.

II. Устная работа.

Среди уравнений (указанных на экране) выберите те, которые решаются:

  1. приведением к квадратному;
  2. как однородное уравнение I степени;
  3. как однородное уравнение II степени;
  4. с помощью формул суммы и разности;
  5. понижением порядка;
  6. разложением на множители;
  7. методом вспомогательного угла;
  8. с помощью равенства одноименных функций.

Обсуждение проводится устно в быстром темпе, проговариваются некоторые ходы преобразований.

III. Самостоятельная работа №1 (на 2 варианта)

Цель – закрепить умения решать тригонометрические уравнения, дать возможность осознать учащимся собственные умения.

Методы: приведение к квадратному, разложение на множители, однородное уравнение, вспомогательный угол.

I вариант II вариант

Учащиеся работают на листах. Проверяется выполнение работы (см. на экран) и выставляются баллы за выполнение: по одному баллу за каждое правильно решенное уравнение.

IV. Систематизация приемов решения тригонометрических уравнений (у доски работают 6 учеников, показывая приемы решения уравнений (6 вариантов)). Задания на рабочих листах.

1-й ученик (I вариант). (графическим способом)

; . В одной системе координат построим графики функций и .

,

Ответ: ,

2-й ученик (II вариант). (универсальная подстановка)

Введение выражений для и через предполагает, что , т.е. . т.к. >0 =2; =1;

При универсальной подстановке может произойти потеря решений, т.к. D(sinx), D(cosx), D(tgx) разные, поэтому проверим, является ли решением уравнения (верно). Следовательно, , решение уравнения.

Ответ: .

3-й ученик (III вариант).

(Это однородное уравнение II степени). Так как среди решений уравнения нет таких x, при которых , то разделим обе части уравнения на , получим уравнение

Ответ:

4-ый ученик (IV вариант).

заменим где возведем (1) в квадрат, имеем: тогда (удовлетворяет условию ), тогда

Ответ: ,

5-й ученик (V вариант).

Это уравнение со сложным аргументом: . т.к. то . Тогда n = -2; -1; 0; 1; 2, тогда

, , , ,

(Объединяя, получаем ) (Объединяя, получаем ).

Ответ: .

6-й ученик (VI вариант).

Из свойств и следует, что следовательно, произведение тогда и только тогда, когда:

Решим систему (1): . (умножим на ), получаем: где , то дробь целое число, если отсюда, подставив в первое уравнение системы (1): т.е. где - решение системы (1).

Решим систему (2): ,

; ; . Данное уравнение не имеет решений в целых числах, т.к. но 52.

Ответ:

Выводы: Итак, при решении тригонометрических уравнений применяется графический метод, решение однородных уравнений II степени, способ “универсальная подстановка”, если уравнение содержит , то применяется замена , особое внимание необходимо обратить на решение уравнений со сложными аргументами, использование ограниченности функций и .

V. Самостоятельная работа №2 (3 уровня сложности на 2 варианта)

(Задания даются на экране)

Решите любые 3 уравнения из предложенных:

I вариант II вариант
1б
1б
2б
2б
3б
3б

VI. Работы – рабочие листы учащихся собираются, проверяются учителем, учитывается самооценка учащихся. Если вы набрали: 9-10 баллов – оценка “5”

7-8 баллов – оценка “4”

5-6 баллов – оценка “3”

VII. Работа учащихся в рабочих тетрадях.

Цель работы – ознакомить учащихся с нестандартными приемами решения тригонометрических уравнений.

Монотонность (через экран). Вспомним важные свойства монотонных функций, которые наиболее часто используются при решении уравнений:

10. Если функция строго возрастает (или строго убывает) на промежутке I, то для любого действительного числа Р уравнение = Р имеет на промежутке I не более одного корня.

20. Если функция строго возрастает на промежутке I, а функция строго убывает на том же промежутке, то = имеет на промежутке I не более одного корня.

30. Если функция строго возрастает (или убывает) на промежутке I и числа а и b принадлежат промежутку I, то равенство равносильно равенству а=b.

40. Если две функции и возрастают (или убывают) на промежутке I, то их сумма + возрастает (или убывает) на промежутке I.

50. Если две функции и , принимающие положительные значения, возрастают (или убывают) на промежутке I, то их произведение возрастает (или убывает) на промежутке I.

Найти все значения , для которых справедливо равенство (1) (см. на экран)

Функция строго возрастает на промежутке, как сумма возрастающих функций; функция - строго убывает на промежутке, следовательно (1) выполняется только при одном значении либо является ложным при всех , нетрудно догадаться (подбором), что , проверим:

Ответ:

2. Умножение обеих частей уравнения на одну и ту же тригонометрическую функцию (разбирается на доске). Решить уравнение: .

В уравнении раскроем скобки и преобразуем произведение в сумму, имеем: (1)

Умножим обе части уравнения (1) на , т.к. решения уравнения не являются решениями (1): .

Преобразуем произведения, стоящие в левой части уравнения:

тогда

Теперь исключим из найденных серий корней корни вида .

а) ясно, что n – четное число, т.е. поэтому

б) т.к. то но тогда

Ответ: , ,

Итог урока.

Подчеркивается значимость методов решения тригонометрических уравнений, которые позволяют быстро и рационально решать конкретные задачи. Оценка, полученная учащимися за данный урок, покажет насколько они готовы к контрольной работе. Даются указания к домашнему заданию: решить уравнение (раздаются карточки).

Найдите значения выражения где- наибольший отрицательный корень уравнения

(указание: обе части уравнения умножить на );

(указание: рассмотрите функцию , если );

Проблема: Можно ли решить уравнение, используя скалярное произведение векторов